S IV. RÈGLE A CALCUL

303. Une des applications pratiques les plus ingénieuses des logarithmes consiste dans l'emploi des Règles à calcul ou Règles logarithmiques. Répandu en Angleterre dès la fin du dix-septième siècle, cet instrument si simple et si utile était encore peu connu en France il y a quelques années ; mais tout porte à espérer qu'il ne tardera pas à y devenir usuel, comme chez les Anglais, pour tous les calculs qui n'exigent pas trop de précision et que ton désire effectuer promptement.

504. La Règle à calcul est un instrument composé d'une partie fixe ou Règky et d'une partie mobile appelée Réglette, qui glisse à Tintérieur de la première; l'une et l'autre peuvent d'ailleurs être en bois, en ivoire, en métal ou en carton. (Nous supposerons que l'on a sous les yeux une Règle à calcul, et plus particulièrement la Règle à calcul à enveloppe de verre de M Léon Lalanne, ingénieur en chef des ponts et chaussées*.)

♦ Cette Règle, dont le prix est de beaucoup inférieur à celui de Ja règle en bois de Lenoir-Gravet, se trouve chez MM. Hachette et C«'», avec une instruction très-complète, applicable d'ailleurs à toutes les Règles à calcul. Nous avons emprunté à^ cette instructionja majeure partie de ce qui ydi suivre* et nous ne pouvons mieux faire que d*y renvoyer le lecteur pour de plus amples détails»

305. Si Ton examine la face principale de la Règle, on remarque de suite une échelle graduée portant à sa gauche la désignation abrégée nowô. (nombres). Sur la première moitié à gauche de cette échelle que l'on nomme échelle des nombres , ou échelle principale^ sont inscrits à des intervalles inégaux et décroissants les dix nombres

la seconde moitié à droite est aussi divisée en neuf parties, respectivement égales aux neuf parties de la première ; elle porte, à partir de 10, les nombres

Sur la Réglette est tracée une échelle identique à celle des nombres, portant les mêmes divisions et les mêmes chiffres. Si donc on amène le chiffre 1 de la Réglette sous le chiffre 1 de l'échelle des nombres, toutes les autres divisions principales numérotées 2, 3, 4,..., 90, 100 devront se correspondre parfaitement.

Les neuf parties de chacune des moitiés de l'échelle principale sont toutes subdivisées en dix autres : la subdivision de 1 h 2 est la même que celle de 10 à 20 ; celle de 3 à 4 est la même que celle de 30 à 40, et ainsi de suite. Les points de division entre 10 et 20 pourront être considérés comme correspondant aux chiffres

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,18,19; ceux entre 20 et 30, aux chiffres

«le. ; de sorte que l'on pourra compter tous les nombres de 10 à 100 sur la moitié à droite de l'échelle.

Ces subdivisions peuvent être à leur tour partagées en un certain nombre de parties* ; il n'y a d'autre limite que l'impos-

Sur une Règle de 0",^5 de longueur, comme celle que nous considérons.

sîbililé matérielle de tracer des divisions facilement appréciables à l'œil.

306. Ainsi, les nombres compris entre 1 et 10 seront lus exclasivement sur la moitié de gauche de la Règle et de la Réglette. Les nombres compris entre 10 et 100 seront lus sur la moitié de droite ; mais ils pourront l'être aussi sur la moitié de gauche, en supposant que le 1 de cette moitié vaille 10, et que le 10 vaille 100. Or, en faisant cette supposition, le 10 de la moitié de droite vaudra 100, et le 100 vaudra 1000, de sorte qu'on pourra compter sur celle-ci les nombres suivants de 10 en 10:

à son tour, la moitié de gauche se prêtera à une semblable lecture, si Ton y considère le 1 comme valant 100, le 2 comme valant 200, et le 10 comme valant 1000.

Maintenant, il est facile de voir qu'au moyen des dernières subdivisions (note du n« 505) on pouna lire les nombres entiers de deux en deux :

et les nombres entiers de cinq en cinq t

à partir de 500, il n'y a plus de subdivision, et l'on ne lit les nombres que de dix en dix :

Les divisions entre 1 et 2, a et 3,..., 9 et 10 de la moitié ^

elles soDt partagées seulement en 5 parties entre les divisions principalei 1 et 2, 10 et 20, et en 2 parties entre les divisions principales 2 et 5, 20 et 50.

-Sp.-

gauche de Téchelle, peuvent aussi être considérées comme donnant les nombres de dixième en dixième :

De même au moyen des subdivisions (note du n"" 505} on pourra lire les nombres de deux en deux centièmes :

et, de cinq en cinq centièmes :

à partir de 5 , on ne lira que les nombres de dix en dix cen* tièmes :

5C7. Enfin, à la partie inférieure de la face principale de la Règle, on remarque une échelle portant la désignation abrégée car. (lignes des carrés). Sa longueur totale est la même que celle de l'échelle des nombres; mais ses divisions principales sont doubles de celles tracées sur la Règle et la Réglette , de sorte que son chifTre l étant placé sous le chiffre 1 de la Règle et de la Réglette, son chiffre 10 correspondra au chiffre 100 de celles-ci.

Les échelles que nous venons de décrire, suffisant pour tous les calculs de Tarithmétique, nous ne nous occuperons pas des échelles portant les dénominations abrégées : cos^ sirty tang, cot.

508. Supposons, maintenant, que Ton ait pris pour t^m^é la longueur commune aux deux moitiés de l'échelle principale, et que les distances respectives du chiffre 1 aux divisions 2, 3, 4,...., 9 aient été prises proporlionnelles aux valeurs numériques des logarithmes des nombres 2, 3, 4,...., 9; que, de même, les distances du chiffre 1 aux subdivisions (1,1), (1,2),. .. . , (1,9) aient été prises proportionnelles aux logarithmes des nombres (1,1), (l>2),. . . . , (1,9) ; et ainsi de suite

pour les centièmes. Il est évident que la distance du chiffre 1 à la division 21, par exemple, de la moitié de droite de réchelle représentera précisément le logarithme de 21. En effet,

Iog21=logl0+log2,l.

Or la distance du chiffre 1 au chiffre 21 se compose de deux parties, savoir : la distance du chiffre 1 au chiffre 10, qui, ayant été prise pour unité, représente le logarithme de 10, et la distance du chiffre 10 au chiffre 21, laquelle est égale, par suite de la construction de la Règle (305), à celle du chiffre 1 à la division 2,1, c'est-à-dire au logarithme de 2,1; donc la distance du chiffre 1 au chiffre 21 représente bien le logarithme de 21.

Ainsi, en considérant l'ensemble des deux moitiés de l'échelle principale, les longueurs successives comptées à partir du chiffre 1 jusqu'au chiffre 100 représentent les logarithmes des nombres de 1 à 100 pris avec leur caractéristique exacte. Quant aux nombres en dehors de ces limites, l'échelle donne la partie décimale de leurs logarithmes, abstraction fuite de la caractéristique. Soient, par exemple, les nombres 0,75 et 340; les parties décimales des logarithmes de ces nombres sont les mêmes que celles des logarithmes des nombres 75 et 34 compris entre 1 et 100; elles sont donc représentées sur la Règle.

509. De ce qui précède résulte évidemment cette propriété fondamentale de la Règle à calcul :

Pour trouver le produit do deux nombres y il faut placer le chiffre l de la Réglette sous Vun des deux nombres lus sur la moitié à gauche de V échelle principale de la Règle. Le produit cherché correspond , sur la Règle y au second nombre lu sur la Réglette.

II est clair, en effqt, que l'on détermine ainsi sur la Règle un nombre dont la distance au chiffre 1 de la Règle, c'est-à-dire le logarithme, est égale à la somme des distances du premier nombre au chiffre 1 de la Règle, et du second nombre au chiffre

1 de la Réglette, c'est-à-dire à la somme des logarithmes des deux nombres donnés. Ge nombre est donc leur produit (281). La manière d'opérer peut être indiquée d'une façon abrégée ainsi qu'il suit; soit à multiplier 2 par 3, on aura :

Règle. 2 (1« facteur) 6 (produit).

Réglette, l >» 3 (2* tacleur).

510. Nous allons appliquer, comme exercices, celte règle à différents exemples; mais nous commencerons par énoncer un principe très-simple et très-général pour déterminer d'avance le nombre des chiffres d'un produit de deux nombres entiers;

Lorsque le produit obtenu (par le procédé du n* 509) se trouve sur la moitié à droite de V échelle fixe de la Règle j ce produit a juste autant de chiffres quHl y en a à la fois dans les deux facteurs; lorsquHl tombe sur la moitié à gauche, il a un chiffre de moins.

511. Nous considérerons d'abord des facteurs n'ayant pas plus de deux chiffres chacun.

!• Soit 36 à multiplier par 25. On placera le chiffre 1 de la Réglette sous le point 36 de la moitié à gauche de la Règle, et on lira le chiffre auquel correspond sur la Règle le nombre 25 lu sur la Réglette. Ce chiffre est 9, et se trouve encore sur lamoitié à gauche de la Règle; or le produit doit avoir trois chiffres; donc, en ajoutant deux zéros à la droite de 9, on aura 900 pour le produit cherché.

2"" Soit à multiplier 23 par 19. Ayant placé le 1 de la Réglettp sous le point 23 de la Règle (moitié de gauche), on trouve que le point correspondant au nombre 19 lu sur la Réglette ne se trouve pas exactement être une division de la Règle, mais qu'il tombe entre les divisions 430 et 440 , plus près de la seconde que de la première. Dans ce cas, et dans les cas analogues où le point correspondant au produit cherché tombe entre deux divisions consécutives de l'échelle, on imagine que l'intervalle entre ces deux divisions soit subdivisé en un nombre suffisant de parties égales, et on prend pour le troisième chiffre du pro<-

doit cherché le nombre des parties que Ton peut compter à vue entre le point correspondant au produit et la division la plus voisine à gauche*. Ainsi, les plus petits intervalles entre 1 et 8 étant partagés, à vue, chacun en deux, on lira les nombres entiers consécutifs :

100, 101, 102, 103,.... jusqu'à 200;

les plus petits intervalles entre 2 et 5 étant partagés, à vue, chacun en cinq , on lira les nombres entiers consécutifs :

200^ 201, 202, 203,.... jusqu'à 500;

enfin, les plus petits intervalles entre 5 et 10 étant partagés, à vue, chacun en dix, on lira les nombres entiers consécutifs :

500, 501, 502, 503,.... jusqu'à 1000.

De sorte qu'avec ces lectures à vue, on pourra déterminer d'une manière plus ou moins exacte tous les nombres possibles de trois chiffres.

Revenons à notre exemple. Les deux premiers chiffres du produit cherché sont 43; la distance qui sépare la division 430 du point correspondant au produit peut être évaluée à vue à 7 ou 8 dixièmes de l'intervalle total entre 430 et 440; on pourrait donc prendre 437 ou 438 pour valeur du produit. Mais nous remarquerons que le produit des nombres 23 et 19 se termine nécessairement par un 7, puisque 9 fois 3 font 27; le produit exact sera donc 437.

Ainsi, il est toujours facile d'obtenir rigov/reusemmt un pro^' duit de deux facteurs y quand ce produit ne doit pas avoir plus de trois chiffres. Les deux premiers chiffres sont donnés par la Règle sans incertitude; et le troisième est donné parla multiplication, faite de mémoire, du dernier chiffre de l'un des facteurs païle dernier chiffre de l'autre.

* Remarquons que ceci revient à faire usage du principe énoncé au n® 20O: les différences des logarithmes sont sensiblement proportionnelles à celles des «ombres correspondants.

LOGARITHUES. 237

3* Soit à mulliplier 24 par 33. On trouve que le point correspondant au produit tombe entre les divisions 126 et 128, plus près de la seconde que delà première; on en conclut que le nombre 127 forme les trois premiers chiffres du produit. Mais ce produit doit avoir quatre chiffres; de plus, son premier chiffre à droite est un 2; donc le produit cherché est 1272.

4« Soit à multiplier 79 par 84. Le point correspondant au produit tombe entre les divisions 66 et 67, à un intervalle qui parait être de 3 ou 4 dixièmes à partir du point 66. D*un autre côté, le produit doit avoir quatre chiffres, et son derniei chiffre à droite est 6 ; on supposera donc que le point de rencontre est à 3 dixièmes et 6 centièmes de Tintervalle entre les deux points, et l'on prendra 6636 pour le produit cherché.

On voit donc que, lorsque le produit a quatre chiffres, on n*a plus la même certitude sur le résultat ; il y a erreur possible sur le troisième chiffre, parce que sa détermination tient à une lecture dans l'appréciation de laquelle on peut se tromper d'une unité.

512. Supposons maintenant que les deux facteurs aient trois chiffres.

Soit à multiplier 627 par 384. Le facteur 627 sera pris sur la Règle fixe entre les divisions 62 et 63, par évaluation à vue, à 7 dixièmes de l'intervalle qui les sépare. Le 1 de la Réglette étant placé sous le facteur 627 ainsi déterminé sur la Règle, on lit le second facteur 384 sur la Réglette, au delà du point 380, et à 4 cinquièmes de l'intervalle entre ce point et le point 385, par une seconde évaluation à vue. Ce second facteur correspond, sur la moitié à droite de TécheUe, au point 241* Le produit devant avoir six chiffres, on complétera ce nombre de chiffres en ajoutant trois zéros, et on prendra 241000 pour le produit cherché. Le produit exact est 240768;. l'erreur relative commise est donc de 232 sur 240768, ou de l sur 1038.

513. Si nous supposons enfin que les deux facteurs soient composés d'un nombre quelconque de chiffres, on procédera

de la même manière. On se bornera à opérer comme s'ils étaient l'un et l'autre réduits à leurs trois premiers chiffres; on déterminera, comme dans le numéro précédent, les trois premiers chiflrcs du produit, et on placera à leur droite un nombre de zéros suffisant pour compléter le nombre des chiffres indiqué par la règle du n» 510.

Si le premier chiffre après les trois chiffres conservés dans l'un des facteurs était égal à 5, ou plus grand que 5, on augmenterait d'une unité le dernier chiffre conservé. En général, on ne devra pas faire cette augmentation dans les deux facteurs à la fois.

Soit, par exemple, à multiplier 238607 par 31097. Au lieu de 238607, on prendra 238000 ou plutôt 238; au lieu de 31097, on prendra 31100 ou plutôt 311. Multipliant 238 par 311, on trouvera 742 pour les trois premiers chiflres du produit; le produit doit d'ailleurs avoir dix chiffres ; nous aurons donc à écrire sept zéros à la droite de 742, ce qui donne 7420000000 pour la valeur approchée du produit.

514. Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des nombres entiers. Si l'on a à opérer sur des nombres décimaux, on commence par substituer aux deux facteurs les nombres résultant de la suppression de tous les chiffres placés à droite de leurs trois pre^ miers chiffres significatifs. On effectua ensuite la multiplication des deux nombres ainsi obtenus^ abstraction faite de la virgule, comme sHls étaient entiers; puis, à la droite de leur produit, com^

^ piété par V addition d'un nombre suffisant de zéros, on sépare autant de chiffres décimaux qu*il y en a à la fois dans les deux facteurs réduits Vun et Vautre à leurs trois premiers chiffres

' significatifs.

Quelques exemples vont éclaircir cette règle :

!• Soit à multiplier 0,35 par 0,0025. Le produit de 35 par 25 est 875; ce produit est exact (511, 2»); séparant six décimales, autant qu'il 7 en a à la fois dans les deux facteurs, nous trouverons 0,0G0875 pour le produit cherché.

assoit à multiplier 0,03836 par 62,721. Nous remplacerons les deux facteurs par les nombres 0,0384 et 62,7. Multipliant 384 par 627, on trouve pour produit 241000 (512) ; séparant enfin cinq décimales, autant qu'il y en a à la droite des deux nombres 0,0384 et 62,7, on trouve 2,41 pour le produit cherché.

3» Soit à multiplier 12,4745 par 8,0292. On prendra pour facteurs 12,5 et 8,03 ; le produit de 125 par 803 est 100400; séparant trois décimales, on aura 100,4 pour la valeur cherchée.

515. Nous savons maintenant efTectuer, dans tous les cas, la multiplication de deux nombres quelconques enliers ou décimaux. Voyons comment on pourra procéder à l'opération inverse, la division. Or, si l'on considère le dividende comme un produit, le diviseur et le quotient comme les deux facteurs de ce produit, on verra que la division se fera en ajustant la Règle et la Réglette comme pour la multiplication. Soit à diviser 6 par 3, on aura :

Règle. 2 (Quotient) 6 (dividende).

Réglette. 1 >^ 3 (diviseur).

Ainsi, pour diviser deux nombres Vun par Vautre^ il faut amener le point de la partie à gauche de la Réglette correspondant au diviseur y sous le point de la partie à droite de la Règle correspondant au dividende. Le point de Véchelle de la Règle sous lequel tombe le 1 de la Réglette indique la valeur du quotient.

On déterminera d'ailleurs le nombre des chiffres .du quotient par le principe suivant :

Lorsque le point correspondant au quotient tombe sur la ■moitié à gauche de la RèglCy le nombre des chiffres dj^ quotient s'obtient en retrancfmnt le nombre des chiffres du diviseur du nombre des chiffres du dividende. Lorsque ce point tombe sur la moitié à droite, il y a au quotient un chiffre de plus que dans le > cas précédent.

1* Soit à diviser 6636 par 84. Nous amènerons le nombre %ky pris sur la moitié à gauche de la Réglette, soûs le nombre 664, pris sur la moitié à droite de la Règle. Le 1 de la Réglette tombera sensiblement au-dessous du nombre 79 de la Règle et sur la moitié de gauche de celle-ci. Le nombre des chiffres du quotient sera donc égal à deux, c'est-à-dire à Texcès de quatre, nombre des chiffres du dividende, sur deux, nombre des chiffres du diviseur. Le quotient cherché est donc 79.

5f Soit à diviser 7419961879 par 31097. Nous prendrons 742 pour dividende et 31 1 pour diviseur. En lisant le premier sur la moitié à droite de la Règle et le second sur la moitié à gauche de la Réglette, on voit que le 1 de la Réglette tombe sensiblement sous le chiffre 239 de la moitié à droite de la Règle. Le nombre des chiffres du quotient surpassera donc d*une unité l'excès du nombre des chiffres du dividende sur le nombre des chiffres du diviseur. Le dividende a dixchiffres, le diviseur en a cinq; le quotient en aura donc six; nous prendrons donc 239000 pour la valeur approchée du quotient.

3IG. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'effectuer la division de deux nombres décimaux. Considérons d'abord le cas où le dividende contient le diviseur, et où par conséquent le quotient a une partie entière.

!• Diviser 0,0953 par 0,0006237. Avançons la virgule d'un même nombre de rangs dans lé dividende et le diviseur, ce qui n'altère pas le quotient ; la question sera ramenée à diviser 953 par 6,237. Les trois premiers chiffres du quotient sont 153, et le quotient tombe sur la moitié à droite de la Règle; il doit donc avoir à sa partie entière un chiffre de plus que le nombre des chiffres entiers du dividende (trois) diminué du nombre des chiffres entiers du diviseur (un), c'est-à-dire qu'il aura trois chiffres entiers ; le quotient est donc 153.

2« Diviser 0,00953 par 0,0006237. Nous ramènerons encore la question à diviser 953 par 62,37; les trois premiers chiffres du quotient sont 153; le quotient doit d'ailleurs avoir à sa

partie entière un chiffre de plus que l'excès de trois sur deux, c'est-à-dire deux chiffres ; ce quotient est donc 15,3.

517. Considérons maintenant le cas où le dividende est plus petit que le diviseur. On ramènera facilement ce cas au précédent, en avançant la virgule d'un nombre suffisant de rangs vers la droite dans le dividende ; on déterminera le quotient, comme dans le premier cas, puis on y reculera la virgule vers la gauche d'autant de rangs qu'on l'avait avancée vers la droite dans le dividende.

1* Diviser G,6237 (ou 0,624) par 95,3. J'avance la virgule de trois rangs vers la droite dans le dividende, afin d'avoir un nombre plus grand que le diviseur, et j'ai 624,0 dont la division par 95,3 donne 6,54 (516) ; reculant la virgule de trois rangs vers la gauche, il vient, 0,00654 pour le quotient cherchét

2« Diviser 2,4 par 62,721 (ou 62,7). J'avance la virgule de deux rangs vers la droite dans le dividende, et je divise 240 par 62,7. Les trois premiers chiffres du quotient sont 384; comme ce quotient tombe sur la moitié à gauche de l'échelle, il a un chiffre entier (trois moins deux), et est 3,84; en reculant la virgule de deux rangs à gauche, on aura 0,0384 pour le quotient cherché.

518. Ainsi, nous sommes actuellement en état d'effectuer la multiplication et la division de nombres quelconques entiers ou décimaux. Il nous reste à indiquer un autre procédé que Ton peut employer pour effectuer ces deux opérations, au moyen de la Régktte renversée.

Supposons qu'ayant retiré la Réglette de sa coulisse, on l'y introduise après l'avoir retournée bout pour bout, de manière que ses chiffres apparaissent à l'envers pour l'opérateur qui tient la Règle droite. Il est facile de voir que si l'on place le multiplicateur, lu sur la Réglette, au-dessous du multiplicande, lu sur la Règle, le produit se trouvera soit sur la Règle au-dessus du 1 de la Réglette, soit sur la Réglette au-dessous du 1 de la Règle. Il est évident, en effet, que dans les deux cas la longueur correspondant au produit est égale à la somme des Ion-

a4A LOMRITBIUSS.

gueurs conresponduiC aux deui foeteurs. SoU à multiplier» pas exemple, 6 par 9* L'opération s'indique de la manière soivanto :

Régie 1 6 (mnlllpllc*») 9 (multiplie") 64 (produit).

Réglette renversée. 54 (produit) 9 (muIupUc»') 6 (multiplie**) 1

On effectuera la divisien avec la même facilité ; cette opéra* tion s*indiquera ainsi qu'il suit (divisioa de 54 par 6) :

Règle 1 6 (diviseur) 9 (quotient) 54 (dividende).

Réglette renversée. 54 (dividende) 9 (quotient) 6 (diviseur) I

Ainsi, en opérant avec la Réglette renversée, on peut lire simultanément le résultat sur deux échelles différentes* Il y a ua certain avantiige dans cette doul)le lecture, dont l'une sert à vérifier l'autre.

Les principes relatifs à la détermination du nombre des chiffres, soit du produit, soit du quotient, sont d'ailleurs applicables à la position renversée de la Régletie. Ainsi, lorsque la lecture du multiplicande et du produit se fait sur les deux moitiés différentes de la même échelle, le produit a autant de. chiffres qu'il y en a à la fois dans les deux facteurs, etc.

510. La division avec la Réglette droite, lorsque le diiddende et le diviseur ne correspondent ni l'un ni l'autre à un des traits de la graduation tracée sur les échelles, exige qu'on mette en regard l'un de Tautre deux points dont la positioa donne lieu à quelque incertitude. Avec la Réglette renversée, il sera plus facile d'ajuster le chiffre 1 sous le point qui correspond au dividende,, et de lire ensuite le quotient correspondant au diviseur.

Au contraire, dans la multiplication, il sera plus commode de lire les deux facteurs ^ec la Réglette droite.

590. PropesoBS'-iioQs comme exercices les questions suivantes :

!• MulHpKer un nombre constant par une suite de nombres variables. Soit, par exemple, à former fcy neuf premiers multî-

LMARITilMES. 2^3

plès de 365. Amène te 1 dé la Réglette sous 365 de la Règle, et, sans chmgtr de pktm ki Réglem supposée droite^ je lirai simaltanément sur la Régie les nombres 365, 730, 1095, 1460, 1825, 2190,2555, 2920 et 3ia5, ail dessUtt des nombres 1, 2, 3, / , 5, 6, 7, 8 et » lus sur la Réglette.

Règje. 365» 73C^ 1095 1460. 1825 2I9Q 2555 2920 3285

Réglette. >^123456789

2* Diviser une suite de nombres variables par une mime quanrt%U. Soit à diviser les nombres 12, 18, 24, 30, 36 par 6. Je place le 1 de la Réglette sous le 6 de la Règle, et, sans changer déplace la Réglette supposée droite^ je lirai simultanément sur la Réglette les quotients 2^ 3, 4, 5 et 6 au-dessous des dividendes 12, 18, 24^ 30 et 36. lus sur la Règle.

Hèffle. 6^ 12' \% 24 30 36

Réglette. » 1 2 3 4 5 6

Remorquons) qu'en renversant la Réglette^ il eAt été impQs->siUe de résoudre ees deux questions au moyen d'une seule lecture simuitanéep

3» Difnser un nomère cùmkmêpar um svàtê de quan^iités varier' blés. Soit à diviser successivement 360 par 2, 3, 4, d» 6. Après avoir renversé la RégleU», j'amène son chiffre 1 sous le dividende 360 lu sur lai Règle» et,, sans changBr d$ place la Bigkm rmversée, je lis sifflaltanément sur la Règle les quotients successifs 180, 120, 90, 72, 6(l> correspondant au& (kviseurs 2^ 3} 4, 5, 6 lus sur la Réglette.

Rèffle. 60 72 90 120 180 360-

Réglette renversée. <-^ 6 5 4 3 2 1

SUf . Nous aton^ dit (597) qu'il existait, à Iftpattie Infériente de la face principale de la^ Règle et* au-dessous de la Réglette, une échelle portant la dé^gnation car. Les divisions de cette échelle sont respectivement le double de» divisions correspondantes des échelles de la Règle et de la Réglette. Il s'ensuit

que sur cette échelle la distance du chiffre 1 à la division 3, par exemple, est égale à deux fois la distance, sur la Réglette, du chiffre 1 au même nombre 3, et que par conséquent elle représente le logarithme de 3*=:9; donc le 3 de l'échelle des carrés doit correspondre au 9 de la Réglette. Ainsi :

Pour trouver le CARKé d'un nombre donnéj on cherche ce nombre sur VécheUe inférieure^ et on lit son carré sur la RégleUe immédiatement au^ dessus.

Il faut remarquer avec soin que, en ce qui concerne les carrés, les lectures sur la Réglette ne peuvent plus se faire comme dans la multiplication et la division, où Ton prenait à volonté les multiples ou les sous-multiples décuples des nombres in* scrits sur l'échelle.

La règle que nous venons de donner ne présente aucune difficulté, lorsque le nombre dont on cherche le carré est compris entre 1 et 10. Quant aux autres cas, on les ramène tous à ce premier cas ; il suffit de multiplier ou de diviser le nom-bre proposé par 10, 100, 1000, etc., de manière à le rendre plus'grand que 1 et plus petit que 10 ; on cherche le carré du nombre ainsi obtenu, et on divise ou multiplie ce carré par le carré de 10, par le carré de 100, parle carré de 1000, etc., suivant que Ton a multiplié ou e^tvis^ le nombre proposé par 10, 100, 1000, etc.

Soit, par exemple, 0,008247 à élever au carré. Je multiplie par 1000, et je cherche le carré de 8,247 ou plutôt de 8,25 ; je trouve 68,0; en divisant ce résultat par 1000*= 1000000, il vient 0,000068 pour le carré cherché.

522. Pour trouver la racine CABRé£ d^un nombre donné, on cherche ce nombre sur la Réglette, et on lit sa racine sur VécheUe infêrieuf'e, immédiatement êm-dtssous.

Cette règle s'applique à un nombre compris entre 1 et 100. Tous les autres cas se ramènent à celui-ci, en multipliant ou divisant le nombre proposé par 100, 10 000, 1 000 000, etc., de manière à le rendre plus grand que 1 et plus petit que 100; on extrait la racine du nombre ainsi obtenu; cette racine est coni-

prise entre l et 10 : puis on la divise ou multiplie pur 10, 100, 1000, etc., suivant que Ton avait multiplié ou divisé le nombre proposé par 100, par 10 000, par 1 000 000, etc.

Soit, par exemple, à extraire la racine carrée de 0,4. Je multiplie par 100, ce qui donne 40, dont la racine carrée est 6,32; divisant ce résultat par 10, il vient 0,632 pour la racine cherchée de 0»4.