w,7b:af=:2V,okf

LI. Un tapis al { au7w$ de long sur 5 $ de large ; on voudrait le doubler avec de la toile à ^de large : combien en faut-it d'aunes?

Si la toile avait 2, 3, 4 fois moins de largeur que le tapis, il en faudrait 2, 3, 4 fois plus d'aunes de long ; donc » autant de fois la largeur de la toile sera contenue dam celle du tapis, au-

PBWLtttES. 247

VjsM de fins la langueur en tapis sera eorUenue dans celle de la TOILE ; donc on aura la proportion

ou, Gorame tout à Tbeure^ en substituanl au rapport des deux premiers termes le rapport des nombres abstraits ^^ûrrespoadants^

ou bien, en multipliant les deux termes du premier rapport par 9, puis les deux antécédents par S pour faire évanouir les deux dénominateurs (2ttS),

Les deux questions que nous venons de résoudre sont appelées par les arithméticiens des règles de trois ^ parce qu'elles conduisent à calculer le quatrième terme d'une proportion dont les trois autres sont connus. Gomme, dans la proportion qui résont la deuxième question, l'ordre dans lequel on compare les deux quantités d'une même espèce est inverse de celui dans lequel on compare les deux quantités correspondantes de l'autre espèce, on dit que les largeurs sont en raison inverse des longueurs, et par conséquent que ce problème est une règle de trois inverse^ tandis que le premier est une règle de trois directe. Mais cette distinction est tout à fait insignifiante : il suffira, dans chaque cas particulier , d*analy8er avec soin la question, et Ton ne sera jamais embarrassé pour établir la proportion. Au reste, Lacroix a donné une règle fort simple pour résoudre les règles de trois : c'est que le plm petit terme de la première espèce est au plm graifîd terme de cette espèce comme le plus petit terme de la seconde espèce est au plus grand terme de cette espèce, ce qui résulte évidemmeftt de la considération des proportions [1] et [2]; on, autrement : fe rapport du plus petit terme de la première espèce au phts grand terme de cette espèce est égalaurapport du pliu petit terme de /a seconde espèce au pltu frand terme de cette espèce, ;- 7/ suffira donc d*examiner si le terme inconnu doit être plus

248 PROBLÊUfiS.

grand ou plus petit que celui de son espèce, et il sera facile ensuite d^écrire la proportion^ pourvu toutefois qu'il doive y avoir proportion entre les deux termes de la première espèce et ceux de la seconde. C'est ce qui n'aurait pas lieu dans la question suivante : On a payé 800' pour creuser un puits de 30 pieds de profondeur : combien coûterait un puits de 60 pieds? — Il est clair qu'il serait payé plus que le double de 800' ; car^ la difficulté du travail augmentant avec la profondeur du puits, les 30 derniers pieds coûteront plus que les 30 premiers. Ce problème ne se résout donc pas par une règle de trois, et pour en trouver la solution, il faudrait savoir suivant quelle loi augmente la difficulté du travail, à mesure que l'ouvrier descend à une plus grande profondeur. Hais dans un grand nombre de questions, au contraire, on a à considérer des grandeurs de deux espèces telles que, l'une variant et devenant par exemple un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, l'autre devient nécessairement ce même nombre de fois plus grande ou plus petite ; on dit alors qu'elles varient proportùmneHement ou dans le mime rapport. Ainsi, l'aiguille d'une montre parcourt dans un temps double, triple, etc., un nombre de divisions double, triple, etc.; les espaces varient, dans ce cas, proportionnellement aux temps employés pour les parcourir ; il n'en serait pas ainsi d'une pierre qui tomberait dans le vide à la surface de la terre. Il est dono essentiel de commencer par s'assurer que les quantités que l'on considère varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse ; quant au fait de cette variation considéré en lui-même, il a, dans chaque cas, sa raison d'être en dehors de Tarithmétique, à laquelle il n'appartient pas de le démontrer.

LII. 75 ouvriers, travaillant O*»! par jour, ont fait un ouvrage de 252* dont la difficulté était représentée par ^ : combien faudraitr il d' ouvriers j quitravaiUeraient lù^-^ par jour, pour faire, dans le même nombre de jours, 42' 4'* 8p« d'un ouvrage dont la difficulté serait représentée par J, en supposant d^ailleurs que l'activité delà première troupe soit représentée par 72, etcelledelasecondeparll^

G*est là une de ces questions que'l'on appelait règles de trois composêeSyipvirce qu'elles peuvent se décomposer en plusieurs règles de trois simples.

En effet, supposons que l'ouvrage et Taclivité des ouvriers soient les mêmes dans les deux cas ; la question sera ramenée à celle-ci : 75'"' ont fait un certain ouvrage en travaillant 9^^ par jour; combien faudrait-il d'ouvriers pour faire le même ouvrage en travailhnt 10^-^ par jour? Il est clair que, puisque la seconde troupe travaille plus d'heures par jour, elle doit èlre moins nombreuse : donc nous aurons, d'après la règle de Lacroix ^ la proportion

ou, en multipliant par 24 les deux termes du premier rapport pour faire évanouir les dénominateurs,

La valeur de rr, tirée de cette proportion , exprimera le nombre d'ouvriers nécessaires pour faire 252*^ en travaillant 10^-^ par jour. Mais ce n'est pas 252^ que la seconde troupe doit faire, c'est 42^ 4P^ dP^"; nous avons donc à résoudre cette seconde question : af^ ont fait 252''; combien en faudrait-il pour faire 42^ 4P* 8P«? Il est clair que le second nombre d'ouvriers sera plus petit que le premier, et qu'ainsi

42T4pigpo. 252"^:: a?': a?,

x' désignant le nombre d'ouvriers qui» travaillant 10*"^ par jour, feront 42* 4p* S^ d'un ouvrage dont la difficulté est représentée par f . Pour substituer au rapport des nombres concrets 42"^ 4P' Sf et 252"^ un rapport de nombres abstraits, nous convertirons ces deux nombres en unités de la plus baase espèce, c'est-à-dire en poiAces, et nous aurons ainsi la proportion

Mais la difficulté, au lieu d'être représentée par |, doit l'être par l : donc nous sommes conduits à cette troisième règle de

trois : a/ ouvriers ont fait wi ouvrage é&ru la S.ffimM est re^ésentie par { ; combien faudrait-^l iïomners pour faire %m mmrm§9 dont la difficulU le serait par ^î II faut d'autant moms d'ouvriers que l'ouvrage est rooÎBS difficile; donc

ou, en ouillipUaiit par 18 les éem. termes éa preoner rapport,

ik:ibi:x'':x' [3j.

af" représente le nombre des ouvriers qui sont nécessaires pour faire 42* ^ 8P« d'un ouvrage dont la difficulté est représentée par J, en travaillant 10*» A par jour, avec une activité représentée par 72 : mais cette activité doit Têtre par 77; donc nous aurons à résoudre cette quatrième question : af ouvriers, dont V activité est représentée par 72 , ont fait un certain ouvrage; combien faudrait-il d^ouvriers, dont Factivité serait représentée par 77, pour faire le même ouvrage? Puisque la seconde troupe a plus d'activité que la première, elle doit étr« moins nombreuse;

donc

mm: af:a/' [4];

et la valeur que l'on trouvera pour aT résoudra évidemment le problème.

Pour obtenir cette valeur, nous multiplierons les proportions [1], [2], [3], [4] par ordre (260); et comme les quantités inconnues X, a?', x^ seront facteurs communs aux deux termes du second rapport de la proportion-produit, rîbus pourrons tes supprimer, et îl viendra