ar:75; d'où Ton tire

en supprimant les facteur^^^ommuns aux deux termes de l'expression de x".

Méthode dite de réduction à l*unité. — Les proUèmes que nous venons de résoudre (L. . LU), et ceux que nous avons tmilés

FJK)BLt:JM£S. 251

précédemment (VIL... XIII.,«. XXII.... XXy)>S0Dt, comme on voit, telgy que les quantités que l'on y ^^ossidàre y forment les termes de deux séries .i)arallèles : chaque terme pris dans roae d'elles correspond 4ans l'autre à un ternie de même espèee ; et si l'on compare les deux termes correspondant à l'cmeqiMsilconque des quantités considérées avec les deux termes c^mspondant à une autre quelconque 4e œs quantités, il arri\« toujours que ces deux quantités varient, «oit dans le même rapport, soit en rapport inverse.

Tous ces problèmes peuvent aussi se résoudre par une méthode générale dite de réduaiion à Funité, Cette méthode est ainsi nommée parce qu'elle revient à décomposer chaque règle de trois simple en deux autres ayant chacune un terme égal à l'unité ; de sorte que l'on est ramené à résoudre des questions Identiques anx problèmes I, II, III, V et YL fiUe va être mise en évidence par les exemples suivants.

LIIL Z2 ouvriers orU fait un certain ouvragé en lâ6 j(mrs, combien faudrait-il de jours, à 24 ouvriers, pour faire U même ouvrage dans les mmes conditions?

Nous raisonnerons de la manière «livante :

!• Si 32 ouvriers ont mis 126 jours pour faire un ouvrage, combien un ouvrier mettra-t-U de jours pour faire le même ou-vrage?

Il est clair qu'un seul ouvrier mettra 32 fois plus de temps, c'est-à-dire un nombre de jours égal à 126^x32.

2* Si UN ouvrier met 126^X32 poinr faire un ouvrage, combien 24 ouvriers mettront-lis de jours pour faire le mime ouvrage?

Il est évident que 24 ouvriers mettront 24 fois moins de temps, c'est-à-dire un nombre de jours égal à ^^ff^ = 126* X 11=^168 jours.

Ainsi, en disposant les données de la question et l'inconnue Bur deux lignes horizontales de la manière suivante :

on voit que la valeur de Finconnue x s'obtient en multipliant la quantité donnée correspondante 126 par le rapport f| des deux autres quantités données, celle d'en haut étant divisée par celle d*en bas, si, comme dans notre exemple, elles varient dans un rapport inverse de celui des quantités de même espèce que Tinconnuc {moins il y a d'ouvriers, plus il faut de jours), Le rapport se formerait en divisant celle d'en bas par celle d'en haut, si ces deux quantités variaient dans le même rapport que rinconnue et la donnée correspondante.

LIV. 48 ouvriers 9 travaillant^ 14 heures par jour^ ont mis 54 jours pour creuser un fossé cfe 12 mètres de long sur 6 décimètres de large et 9 de profondeur^ dans un terrain dont la difficulté est représentée par 14 : combien de jours mettraient 36 ouvriers^ qui travailleraient 10 heures par jour ^ pour creuser y dans un terrain dont la difficulté est représentée par 8, un fossé de 225 décimètres de long sur S de large et 4 de profondeur? U activité et la force des premiers ouvriers sont représentées par Ibet 21, et celles des se^ conds par IS et 20.

Nous commencerons par disposer sur deux lignes horizon* taies les quantités correspondantes, données et inconnue :

48«»\ 14^. 541.. 12tf«. 6^. 9P'.. 14*.. 15».. 21',

Supposons d'abord que les ouvriers travaillent le même nombre d'heures par jour ; que le travail soit le même, ainsi que leur force et leur activité, etc.; nous dirons : 48 ouvriers ont mis 54 jours pour faire un certain ouvrage; combien 36 ouvriers mettront-ils de jours pour faire le même ouvrage dans les mêmes conditions ?

1 ouvrier mettra 54ix48

/ 36 ouvriers mettront. . . . ^^ = 54J x f J.

Ainsi 36 ouvriers, travaillant 14 heures par jour, mettent ô^^X H pour creuser un fossé de 120 décimètres de longsui- 6 décimètres de large, etc.; combien de jours mettraient 36 ou-

vriers, travaillant 10 heures par jour, pour creuser un fossé de 225 décimètres de long sur 8' de large, etc. ? Nous supposerons que les dimensions du fossé, la force et Tactivité des ouvriers soient les mêmes, et nous dirons : des ouvriers ont mis 5^^ X H pour faire un certain ouvrage en travaillant 14 heures par jour ; combien les mêmes ouvriers metlraient-ils pour faire le même ouvrage en ne travaillant que 10 heures par jour? En travaillant une heure par jour, ils mettront 54ixJ| XI 4.

En travaillant 10 heures par jour, ils mettront — ^"^

= 54ixt|Xi^. Ainsi 36 ouvriers, travaillant 10 heures par jour, mettent 54ixff XiéP^"^ creuser un fossé de 120 décimètres de long sur 6 décimètres de large, etc. ; combien de jours mettrait le même nombre d'ouvriers, travaillant le même nombre d'heures, pour creuser un fossé de 225 décimètres de long sur 8 de large, etc. ? Nous supposerons que la longueur du fossé varie seule, toutes les autres conditions restant constantes, et nous dirons : des ouvriers ont mis 54Jx|ixU pour creuser un fossé de 120 décimètres de long ; combien mettront-ils de jours pour creuser un fossé de 225 décimètres de long?

Pour creuser un décimètre, ils mettront -^ — l^,

54JX^X-^

Pour creuser 225 décimètres, ils mettront r~: — '-^ X 225

= 5^'Xi|X foXffS. On continuera de la même manière, en réduisant successivement à l'unité chacune des quantités de la première ligne, et déterminant ce que devient le nombre de ju. On trouvera ainsi :

a;=54ixJSXi*XfîgX|X|XAX|iX|é, 54i.48.14.225.8.4. 8 .15.21 .^. „^ ^«»^^^^ ^= 36.10.120.6.9.14.18.20 =^^J^^"^'

(Il est bien entendu qu'avant d'effectuer les opérations on aura soin de simplifier la valeur de a?, en supprimant aux deux termes de la fraction tous les facteurs communs que Ton apercevra.) *

26 'é P-l^OBLÊMES.

AiiMty nous aTons ramené le problème composé h la résolu* tion de phniem? problèmes simples analogues au problème LUI; l'inconnue de chaque problème simple derient une don^ née du suivant, et chacun d'eux se résout par la réduction à rnnHé. Il est facile d'arriver à la règle générale suivante :

Les don/nées de la question et rtnœnnue élcmt disposées sur deux lignes horizontales, en faisant correspondre les quantités de même espèce^ la valeur d& rincormue est égale au produit de la quantité donnée correspondante par les rapports successifs des qttantUés données de même espèce^ divisées : celle d'en bas par celle d^en haut quand elles varient dans le même rapport que les quantités de Vespèce de l'inconnue; celle d^en haut par cette d'en bas quand elles varient dans le rapport inverse.

LV. 75 ouvriers, travaillant 9*'| par jour, ont fait un omvragede 184", 8, dont la difficulté était représentée par | : combien faudrait-il d'ouvriers, qui travailleraient 10*»^ par jour^ pour faire, dans le même nombre d^ jours, 84'*,7 d'un ouvrage dont la difficulté serait représentée par J, en supposant d^ailleurs que îaC" tivité de la première troupe soit représentée par 72, et celle de la seconde par 11 %

On commencera par eonivertir chaqoe nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seule fraction ; puis on réduira au même dénominateur les fractions qui expriment des collections de parties de la même unité, et l'énoncé de la question proposée deviendra celui-ci :

75 ouvriers, travaillant ^ d'heure par jour, ont fait un ouvrage de 1848 décimètres dont la difficulté était représentée par p; combien faudrait-ild* ouvriers, qui travailleraient^ d'heure par jour, pour faire, dans le même nombre dt jours, 847 décimètres d^v/n ouvrage dont la difficulté serait représentée par {|, en sup^ posant d'ailleurs que l'activité de la première troupe soit repré^ sentée par 72, et celle de la^secondepar 11 ?

On trouvera facilement pour te nombre d^mvriers cherché :

PI10BI.ËMSS. 255