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et^ en effet, la somme de ces trois nombres est 240*.

. LTir. Partager 192 en trois parties Ulles que la première soit à la seconde :: 6 : h\ et que la première soit à la troisième

Heprésen<toii6 les tnns partie» inconnues p^ x^jy,, js, et nous aiiECi» immédiatetnent

Si les seconds antécédents de ces deux proportions étaient égaii&.c«iimelespremiiersyelk&ac^eircaûent.ua rapport com mun en intenrertissamt Tordre des moyens, et l'on retomberait dans le cas du problème précédent. Tâchons donc de n^ndre égaux les aeconib anléeédents* ûa y parviendrait évidemment en multipliant les deux termes du second rapport de la pre^ niière proportion par Î5, et les deux termes du seeendrap»» port de la deuxième par 6 : mais il seca plus simple d^op^er sur ces deux rapports comme si l'on voiûait réduire les deux fractions | et pâleur plus petit dénominateur commun (108). Le plus petit nombre divisible par 6 et par 15 est 30 ; jelediviisè

successivement par 6 et par 15, et je multiplie les deux termes du second rapport de la première proportion par le premier quotient 5, et les deux termes du second rapport de ladeuxième par le second quotient 2, ce qui donne :

parlant, a? : 30 :: y : 25 :: z : I6, etc.

LVIII. Trois joueurs qui s'étaient associés ont fait un bénéfice de 30 francs. Le premier avait mis 20 francs^ le second 60, et le troisième 70. Combien revient-il à chacun*?

Si les joueurs avaient tout perdu, celui dont la mise aurait été 2, 3, 4 fois plus ou moins grande que celle d*un autre, aurait éprouvé une perle 2, 3, 4 fois plus ou moins grande; il est donc juste qu'il gagne aussi 2, 3, 4 fois plus ou moins que cet autre; donc les gains sont proportionnels aux mises. La question revient donc à partager 30 francs en parties proportionnelles aux nombres 20, 60 et 70. On trouvera ainsi que les bénéfices des trois joueurs sont 4 francs, 12 francs et 14 francs^ ^ LIX. Trois négociants s'étant associés ont fait un bénéfice de 4750^ On propose de le répartir entre eux, sachant que le premier avait fourni 2000' pendant 5 mois, le second 3000' pendant 15 mois y et le troisième kOOO^ pendant 10 mois.

♦ Cette queAion et la suivante sont de celles que les arithméticiens nomment des règles de société simples et composées. On y admet que les pertes ou les gaius des associés sont proportionnels à leurs mises et aux temps pendant lesquels ces mises sont restées dans la société; et Ton en conclut facilement que les pertes ou les gains sont proportionnels aux produits des mises par les temps. En effet , soit 5 le bénéfice correspondant à une mise m faite peudant le temps t ; le bénéfice correspondant à une mise m' pendant le

môme temps t sera 6 — ; mais si 5 — est le bénéfice correspondant à la mise m' faite pendant le temps tj le bénéfice b' correspondant à la môme mise m' faite

pendant le temps*' sera 5'= &^'x^', ou l»'=ô^'; c'est-à-dire que l'on a

b' mW , , , ,^ , 37 = --T, ou 5' : 5 :: m's^ ; mt, mt

Le bénéfice produit par une somme qui est restée dans la société pendant 5 mois doit être le même que celui produit par. une somme 5 fois plus grande placée seulement pendant un mois : donc

3000' placés pendant 5 mois=2000'.5 ou 10000' placés pendant un mois.

On verra de même que

3000' placés pendant 15 mois=3000M5 ou 45000' placés pendant un mols« 4000'. id 10 =4000'.10 ou 40000'- id id.

Ainsi la question revient à celle-ci : Trois négociants ont fait un bénéfice de 4750' ; on propose de le partager entre eux^ sachant que leurs mises respectives sont lOGOO', 45000' et 40000'. Le premier recevra 500*, le second 2250', et le troisième 2000'.

LX. Trois marchands se sont associés pour fournir à un ré" giment, le premier 510"" (fe Urap rouge ^ le second 2000"" (fe drap bkUf et le troisième SGOC" de toik, La qualité du drap bleu est ks^de celle du drap rouge, et le prix de la toile est le huitième de celui du drap bleu. On demande ce qui revient à chacun sur un bénéfice de 3750'.

Réponse. Le premier a gagné 765^ le second 2400', et le troisième 585'.

8 m. QUESTIONS SUR LES INTÉRÊTS.

On appelle capital la somme que l'on prête ou que l'oii place, et intérêt celle que Ton se fait payer par Temprunleur pour s'indemniser de la jouissance de ce capital pendant la durée du prêt ou du placement.

Le taux de l'intérêt est la somme que rapporterait un capital de 100 francs prêt^ ou placé pendant t^n an. Le taux s'indique ainsi : 4 p. •/•» c'est-à-dire 4 pour 100.

L'intérêt est dit simple, quand le capital reste le même durant tout le placement. On dit au contraire que les intérêts «ont composés, lorsqu'à la fin de chaque période de temps con-

258 PROBLËVEd.

venue, à la fin de ebaque année, par exemple, on joint les^ intérêts an capital primitif, ponr former un nouveau capital qui, à son tour, produira intérêt pendant la période de temps suivante.

Les questions relatives aux inlirtts simples se résolvent à Taide des deux principes suivants : l^Tintérêt, lorsque le temps ne change pas, varie dans le même rapport que le capital ; 2* l'intérêt d'un même capital varie dans le même rapport que le temps du placement.

Soit, en général, un capital A, placé pendant nn temps (, au taux i ; quel sera l'intérêt I produit par ce capital ? On posera ainsi la question, qui n'est autre qu'une règle de trois :

100' rapportent en 1 an. . . i';

et Ton trouvera facilement que

Telle est la formule générale des intérêts simples.

LXI. Une personne emprunte 800* à raisim de 5 pour 100 par an; on demande quel intérêt elle devra payer au bout de sept m^ois.

Cette question revient à celle-ci : lOO' rapportent 5' dHntérit en 12 mois : combien 800' produiront-Us en 7 mois? et rentre dalis le problème LUI.

Réponse : 23^,33.

Si Ton avait voulu résoudre cette question au moyen de la formule générale, on aurait remplacé A par 800', i par 5, et t par t^; en effet, i représentant exclusivement l'intérêt de 100 francs pendant un an, t représente le temps exprimé en années; puisque le temps est 7 mois, on devra donc prendre

LXII. Pendant c(mbien de temps faut-U placer SOO' à 5 pour 100

ntOBLËMES. 259

fOT an y pour retirtr au k<mt de ee temps 836' tant en principal qu'en intérêts?

L'intérêt du capital 800' est évidemment 38' , de sorte qaela question n*est autre que celle-ci : 100' rapportent 5' d'intérêt en 12 mois; en eomlnen de temps 800' rapporteront-Us W?

Réponse : 10 mois 24 jours.

LXIII. A combien pour 100 par an faudrait-il placer 800' pour retirer 36' d'intérêt au botU de 96 fours?

Ce problème revient au suivant : 800' rapportent 36' en 96 jours; combien lOV produisent-^ en 360 jours?

Réponse: 16',87.

Si l'on avait voulu appliquer la formule générale, on y aurait fait t='f^. (Dans les questions d'intérêt, on considère chacun des douze mois de l'année comme composé uniformément de 30 jours, ce qui revient à compter seulement 360 jours dans l'année.)

LXIV. Quel est le capital primitif de 500', somme reçue tant éri principal qu'en intérêts au bout de 5 mois, l'intérêt étant de 10 pour \00 par an?

On trouvera facilement que l'intérêt d'un franc placé à 10 V^ par anest^' pour 5 mois, et qu'ainsi l' vaut 1'+^= H-'au bout de 5 mois, tant en principal qu'en intérêts. Donc, pour avoir la yaleur d'un capital au bout de 5 mois et à 1 %» il faut multiplier If par ce capital. Par conséquent, 500' est le produit de |f par le capital inconnu : donc on obtiendra ce capital en divisant 500' par JJ, ce qui donne fififjaLi= 430'.

On peut aussi résoudre cette question au moyen des proportions, de la manière suivante :

Représentons para; le capital inconnu et par y son intérêt pour 5 mois : nous trouverons tme relation entre ce capital ei son intérêt en nous proposant cette question : Le capital 100*^ rapporte 10' en 12 mois; combien le capital x' rapportera-l-il en 5 mois ? Nous obtiendrons la solution de ce problème par la proportion