io:î

Divisant le premier moyen par 5 et multipliant le second par ce nombre (253), pour que x forme seul le conséquent du premier rapport, il viendra

lsoo:â;::50:y.

Donc, m vertu du principe du n^» 858^ nous aurons

1200-f 50:a?+y:: 1200: a?, ou bien 1250: 500 :: 1200 :a;;

d'où a?=^^^Jûû=480'.

LXV. Une personne qui a besoin (T argent comptant propose^ le 4 mai^àun banquier de lui escompter un billet de SOO^ payable le 12 décembre suivant. Le banquier prend Tescompte à raison de 6 pour 100 par an : quelle somme remettrait-il au porteur du billet?

Il est clair que le banquier, sortant de sa caisse une' somme qui ne doit y rentrer que dans 222 jours*, doit retirer un certain intérêt de cette somme, lequel s'évalue à raison de 6 pour 100 par an d'après les conditions de l'énoncé, et dont il devra trouver le remboursement à l'échéance du billet. La question proposée reûent donc à celle-ci : Quel est le capital primitif de SOO^ j. somme reçue tant en principal qu'en intérêts au bout de 222 jours y Vintérêt étant à 6 pour 100 f

Réponse : 771',46 (Problème LXIV).

Mais les banquiers n'opèrent pas ainsi : ils trouvent plus commode de regarder le montant du billet comme un capital ; ils s'en font donc payer l'intérêt, et retirent par conséquent l'in-

* Od calculera le nombre de jours du 4 mai inclusivement au 12 décembre exclusivement (28+30+31 +31 + 30 + 31 + 30 +11 =222) . Dans le commerce ou la banque, on compte le nombre exact des jours; mais, pour simplifier les calculs, on regarde le jour comme ^^ de Tannée, et non comme ^1?, ainsi qua nous Pavons déjà dit (Problème LXIII).

térèt de l'intérêt de la somme qu'ils devraient remettre au porteur du billet. Ainsi ils cherchent qml est rintérit de 800' pour 222jour^y le taux dtVintérèt étant de 6 pour 100 par an. On trouvera de cette manière (Problème LXI) que le porteur du billet recevra 770',40, l'escompte étant 29',60. On dit alors que V escompte est m dehors^ tandis que dans la première manière d'«nvisager la question U est en dedans.

Ainsi on appelle escobiptë commercial ou en dehors la retenue qui est faite sur le montant dTune créance qui ne doit être payée qu'au bout d*un certain temps, et dont on veut être payé avant l'échéance. LcT manière dont se calcule cette retenue dans la banque ou le commerce n'est pas équitable ; on retient, en effet, l'intérêt de la somme portée sur le billet (ou de sa valeur nominale), et on ne paye néanmoins qu'une partie de cette somme.

LXVI. Un banquier qui a un compte courant avec un négociant a reçu pour lui: !• 4528' te 16 février 1847 ; 2*» 3256',75 le 13 mars; 3''1520' le 1*' avril; déplus, il lui redevait, au 31 décembre 1846, 2321', 15. D'un autre côté, il a payé pour lui 2500' te Ik janvier, et 5000' te 3 m^i. On propose de régler le compte au ^Ojuin 1847, sachant d^ ailleurs que le banquier s'est réservé une commission de ^ pour 100 sur les sommes qu'il a encaissées, et que le taux de IHntérét est de 5 pour 100.

On pourrait évidemment résoudre la question en calculant d'une part ce que le banquier doit au négociant, tant pour les sommes qu'il en a reçues que pour leurs intérêts, et d'une autre part ce qui lui est dû, tant pour les payements qu'il a faits que pour leurs intérêts et pour son droit de commission. Mais on a trouvé un moyen très-ingénieux d'établir un compte courant, et qui permet de le régler, presque sans calculi, le jour qu'on le désire.

Il est clair que, sile banquier quiareçu4528'le 16 févricrl847 en paye l'intérêt depuis le 3 1 décembre 1 846 jusqu'au jour où l'on règle le compt^;, le négociant lui devra l'intérêt de cette somme depuis le 31 décembre jusqu'au 16 février, c'est-à-dire pour

kl jours. On portera done le premier de ces iotérèls au doft dtt banquier, et le second à son avaùr.

Or, puisque 100' rapportent 5' en 360 jours; Tintérèt d'un franc pour un jour est 7^ =:^ ^^^ et par consiéquent le capital 4528' rapportera en 47 jours ^iîûi;^^fi:4ic=s4K?f|i2. Ainsi, pouf avoir Vintértl d'un capital à 5 pour 100 par an^ il fmtt fmdtiplier le centième de ce capital par le nombre des jours pendant lesquels U a été placée el diviser Is produit (les banquiers rappellent le nombre) par 72, de sorte que la somme des intéréts%^oduits par différents capitaux est égale à uUe des nombres correspondasiis ddvisée par 12* *

D*après cela, le jour même où une somme entre dans sa caisse ou en sort, le banquier porte en regard à son avoir ou à son Don le nûmqrb correspondant. Ainsi il écrira Yis-àrvis de 4528 et à son avoir le nombre 2128"**, produit de 45,28 par 47.

Veut-on maintenant régler le compte au 30 juin, par ex^nple : on se rappellera que le banquier doit l'intérêt de chacune des sommes qu'il a reçues depuis le 31 décembre jusqu'au 30 juin, c'est-à-dire pour 181 jours, et qu'il a (on lui doit) l'intérêt pour le même temps de chacune de celles qu'il a payées : de sorte qu'il faudra ainsi porter à son doit ou à son avoir Tintérêt pour 181 jours de la différence entre la somme des capitaux qui sont entrés dans sa caisse et la somme de ceux qui en sont sortis^, différence qu'en style de banque on appelle la balance des capi-

* Ce nombre 72» correspondant au taux de 5 pour 100, s'appelle le diviseur. A chaque taux correspond un ditjiseur qui en dépend et ne dépend que de lui. Ainsi, les diviseurs correspondants aux taux de 3 pour 100; 4 pour 100»

'|- pour 100, sont respectivement 120, 90, 80. En général, si Fon appelle A le capital, i le taux de Tintérét^ n le nombce de jours pendant lesquels ce

capital a été placé, la valeur du nombre est N:=:rr: X «/celle du diviseur est D =M, et rintérôt est 1=5 ^.

^ Ce nombre est calculé à moins â^vne demi-unité: car on conçoit qu'en le divisant par 72, le quotient ne sera pas erroné à*Mn eea^aie.

PROBLÈNES.

uxw. Elle est ici, en faveur du négociant, de 1 1625^,00— 7500' =4125^90, somme quipour 181 jours produit le nombre 7468, que l'on porte au doit. On voit alors que la balance des nombres est 8112, dont le quotient par 72 fournit un intérêt de 112', 67 que Ton écrit dans la colonne des sommes reçues, puis on additionne cette colonne, ce qui donne 11738',57. En ajoutant ensuite aux payements faits par le banquier sa commission, qui*, à ^ pour 100 sur une somme de. 9304S75 qu*il a encaissée,' produit 31S02, ou trouve pour résultat 753l',02. Ainsi le banquier doit 11738S57, et il a 7531',02 : donc le négociant est créancier de la différence, c'est-à-dire de 4207', 55-

-On dispose ordinairement les comptes courants comme ciaprès :

Dorr M. N*** son compte courant chez iV***, banquier. Avoir.

Janv.

Mai..

Juin .

fr. c-

Payé 2S00, »

Payé 5000, »

Balance des capitaux 4125,90

Commission à 1 sur 9304,75.! 31,02

Créancier pour balance . . . . ..4207,55

Dec.

Févr.

Mars.

Avril

fr. e.

Créancier.... 3321, i s

Reçu 4528, *

Reçu 3256,75

Reçu, i 1520, »

Intérêt sur la

balance des

nombres.... 112,67

Créancier à ' 'iivean, valeur M juin 1847... 4207,55

XYII. Une personne qui a besoin (Forgent propose ^ le 20 juin 1853, à un banquier de lui escompter les effets suivants : l'^unbiUetde 600 francs payable le 5 septembre 1853; 2*i^n biUet de 850',50 payable le l*' décembre 1853; a^» un bUlet de 1000 francs payable le 10 janvier 1854. Le banquier prend Vescompte à raison de 6 pour 100 : quelle somme remettrort-it du porteur des biUets î On appliquera avantageusement à la solution de cette qucs<*

lion la méthode des nombres et des diviseurs. Le diviseur correspondant au taux de 6 pour 100 est 60; on disposera le calcul de la manière suivante :

Capitaux. Datai. Jours. Kombras,

eoo' du 20 juin au 5 sept. 77 462

850,50 » l"déc. 164 1395

1000 > lOjanv. 205 2050*

2385,38 (à payer) ; ^ = 65', 12 (escompte).

On a compté les jours pour chaque effet, et formé les nombres correspondants; puis on a divisé la somme des nombres par le diviseur correspondant au taux donné. On a ainsi obtena Yescompfe que le banquier retient sur le montant de la valeur nominale des billets.

LXYIII. Une propriété en vignes est à vendre :

La première année, elle a produit 84 hectolitres de vin qui s'est vendu à raison de 30' rhectolitre^ et les frais de toute espèce se sont élevés à 212'.

La deuxième année^ on a récolté 79 hectolitres qui se sont vendus à raison de 35', et les déboursés ont étédelSl'.

La troisième année^ le produit a été de 103 hectolitres qui ont été vendus à raison de 32', et on a dépensé 236'.

La quatrième année^ la récolte a été de 51 hectolitres que Von a vendus a raison de 40', et on a dépensé 218'.

La cinquième année, on a dépensé 254', et on a récolté 1 12 hectolitres valant 28' rhectolitre.

Le revenu d'une pareille propriété s'estime en prenant la moyenne (Probl. XYII) des revenus obtenus pendant 5 années consécutives; on demande combien un capUcUiste, qui serait obligé de faire gérer ce domaine par une personne à laquelle U donnerait 5 pour 100 du revenu brut, devrait Vacheter, pour placer son argent à 4 ^ t^cmr 100 par an.

La dépense se trouvant augmentée d'un vingtième du produit brut, à cause des frais de gestion , on trouvera :

Produit net pour 5 ans il ^68', 15.

Valeur de la propriété. ...... 53 191 ',78.

LXIX. Un manufacturier veut acheter un teirain sur lequel U puisse établir ses u^sines. Il a le choix entre deux propriétés différentes .*■ Fune lui est offerte pour 100000 francs, et Vautre pour 72000 francs. SHl achète celle-ci, U l'occupera tout entière; m s'il achète la première, il lui restera des terrains qu'il amodiera 1500 francs. Dans les deux cas, il doit retirer de son commerce, qui lui produit un intérêt de 7 f'powr 100, les fonds nécessaires pour payer son acquisition. Laquelle des deux propriétés doit-U cacheter?

Réponse : La deuxième propriété.

LXX. Un négociant a un compte courant avec un banquier, aux conditions suivantes: les intérêts se règlent au taux dek^ pour 100 par an, et le banquier prend une commission de ^ pour 100 sur chaque somme qu'il encaisse. Ce négociant vient de recevoir une somme dont il ne pourra trouver remploi que dans 18 jours; vaut'il mieux, pour lui, la laisser dormir dans sa caisse, ou la déposer chez son banquier?

Réponse : Le négociant gacdera son argent.

LXXL Quelle est la valeur actuelle d^im tiUet de 800 francspayable dans 5 ans 5 mois? L'intérêt est pris à raison de 10 pour 100 par an, et l'on a égard aux intérêts des intérêts.

Pour se former une idée nette de ce qu*on entend par intérêts composés, il fetut concevoir qu'une personne emprunte une certaine somme, 200' par exemple, pour un an. Elle devra à l'échéance du billet cette somme plus ses intérêts, c'est-à-dire 220'. Si donc cette personne ne peut s'acquitter alors, elle devra à son créancier, au bout de la seconde année, les 220< qu'elle lui devait à la fin de la première, plus les intérêts de

cette somme, c'est-à-dire 242'; et ainsi de suite d'année en année, jusqu'à l'acquittement de la dette, de sorte qu'à la fin de chaque année les intérêts s'ajoutent au capital pour produire eux-mêmes un intérêt. Gela posé, puisque l'intérêt est de 1 pour 100, 1' rapporte en un an ^ d'intérêt^ et yaut par conséquent 1^ +^ = |iî au bout d'un an, tant en principal qu'en intérêts. Ainsi, pour avoir la valeur -dCun capital au bout d'un an à 10 pour 100, il faut le multiplier par -f^. Il suit de là que 1', au bout de 2 ans, vaudra en principal et intérêts H^ih^iHYl

au bout de 3 (iè)*.4i = (ié)';

au bout de 5 (|^)* .

Donc, si le débiteur jouit encore de cette somme pendant 5 mois, il devra (Problème LXIV) à cette époque (U)*-I4 - telle est donc la valeur d'un franc prêté à 10 pour 100 par an au bout de 5 ans 5 mois. Si donc on connaissait le capital inconnu, en multipliant (U/.fî par ce capital, on devrait trouver 800^; donc, en divisant cette somme par (|i)'.f$, le quotient

800'.(|î)».M = 32'.24.(i^)»=768'.(iî)»

résoudra le problème. On trouvera 476',87.

En général, soient A un capital placé pendant n années à intérêts composés, i le taux de l'inlérét, G la valeur de ce capital au bout de n années ; on am a la relation

GsA

i^+éï-

Si le placement était fait pendant n années et une fraction d'année -, on aurait

On résoudra facilement, au moyen des logarithmes, les questions sur les intérêts composés. Ainsi , dans notre pro« blême, le logarithme de la valeur cherchée sera égal à log 768 -I- 5 (1 — log 1 1).

PRORL&IUS. ' M7

S ^- fiUBSTIONS DIVERSES.

LXXII. Trouver au bout de combien (f années ta popuJalîcm de la France sera doublée, en supposant que l'accroissement ^ qui est actuellement de jj^ par an^ se maintienne le mime.

On verra facilement (Problème LXXI) que la population de la France sera, au bout de n années, les (Hf)* de ce qu'elle est actuellement, de sorte que, pour qu'elle soit doublée, il faudra que ce nombre soit égal à 2. Donc le logarithme de S^ c'est-à-dire

0,30103 = log(fS|)'»=(285)n.log(|8|)=n. 0,00223.

Ainsi 0,30103 étant le produit du nombre inconnu n par 0,00223, on aura la valeur dé n en divisant 0,30103 par 0,00223, ce qui donne • 1 35 ans environ.

LXXIIL Un corps qui tombe dans le vide à la surface de la terre parcourt 4"",9 dans la première seconde de sa chute ; le triple de ce nombre danç la deuxième, le quintuple dans la troisième, le septuple dans la quatrième, et ainsi de suite. Gela posé» on laisse tomber une pierre dans un puits de min$^ et Von trouve qu'elle est arrivée au fond au bout de n secondes. Quelle est la profondmr du puils^ en faisant abstraction de la résistance de Tair, qui est peu ^considérable si la pierre est lourde, M du temps que le son emploie à se transmettre?

Les espaces pareouros pendant la première^ la deuxième, la . troisième.. «» seconde de la chute, forment une progression par différence dont la raison est le double de 4",9 ; de sorte que la profondeur du puits est la somme des n premiers ter^mes de celte progression. Mais il est évident que cette somme est égale à 4">,9 multipliés par la somme des n premiers nombres impairs, c'est-à-dire par n* (Exemple du n* 271) ; de sorte que pour obtenir la profondeur du puits il faut multiplier le nombre 4",9 par le carré du nombre de secondes que la pierre a ms pour arriver au fond.

268 * PR0BLËME8.

LXXI V. Quelle somme devra-t-on remettre à un agent de change pour acheter 800 francs de rente sur l'état en 3 pour 100, et 500 francs de rente en 4 | pour 100, sachant : 1* que^ le jour de Vopirationf le cours de la rente 3 pour 100 est 76^,75^ et qu3 celui de la rente 4 { pour 100 est lOlSlO; 2* qu'il est dû à ïagent de change un courtage de \ pour 100 du prix de la rente achetée?

Puisque la rente 3 pour 100 est à 76', 75, cela signifie que, pour acheter 3 francs de rente, l'agent de change devra donner 76',75; donc, pour acheter 800' de rente 3 pour 100, il devra donner ifiî*i^^aûfi=: 20466', 67 (Problème LUI). De même, on trouvera que pour acheter 500 francs de rente 4 ^ pour 100, il devra donner i oi';^<o/5og ^n233',33. L'agent de change

dressera donc son bordereau de la manière suivante :

800' de rente 3 •/, à 76',75 20466',67

500' de rente 4 ^ Vo ^ 101',10.. . . 11233',33 -

Courtage (*/• p. V.) 39',63

On devra donc remettre 31739',63 à Fagent de change.

LXXy . Combien^ pour une somme (2e 22 000 francs, pourrort-on faire acheter de rente 3 pour 100 au cours de 76',75?

On commencera par observer que la somme de 22 000', remise à l'agent de change chargé de l'opération, se compose de la somme nette employée à l'achat de la rente, plus de ^ de cette somme pour courtage; donc 22 000' valent les g-g^ de cette somme; donc cette somme est 22000'xf^. Or, pour 76',75 on achète 3 francs de rente; donc, pour 22 000'.|gî, on aura 7^ X ^^-^^^^ francs de rente, c'est-à-dire 858',85.

On trouverait facilement qu'en achetant du 4| pour 100 au cours de 1 1 ', 1 0, on aurait eu, pour la même somme de 22 qoo'^ 978 francs de rente.

LXXVL Une personne a acheté une propriété 50000' payables dans dix ans et à raison de 5 pour 100 d'intérêt par an; mais

PROBLËMES. 269

elle s'est réservi la faculté d^ acquitter sa dette au moyen de dix payements égaux effectués à la fin de chaque année. On demande quelle est rANNurrti, c^est-à-dire quelle est la valeur de chacun de ces payements.

On voit d'abord que la dette à acquitter se compose du capital 50 000' et de ses intérêts composés pendant dix ans , et qu'mnsi sa valeur est (Problème LXXI)'50O00'. (fi)".

Gela posé , admettons que l'on paye un franc seulement au commencement de chacune des 10 années» et cherchons quelle partie de la dette on aura ainsi acquittée. En payant l' au bout de la première année» le débiteur anticipe ce payement de 9 années» de sorte qu'il se prive» en faveur de son créancier, de ce capital et de ses intérêts composés pendant 9 ans» c'est-à-dire d'une somme égale à (|^)* ; donc il éteint de cette manière une partie de sa dette égale à (f^)*. On verra de même que les payements etTectués à la fin de la 2«, de la 3*...., de la 9* et de la 10* année diminuent la dette respectivement de (^)\ (f^y..., i^ et de 1' ; le débiteur aura donc acquitté une somme égale à

(ii)*+(îé)*+(îèy+...+fé+i,

c'est-à-dire à la somme des 10 termes d'une progression géométrique croissante dont le premier terme est 1, le dernier {^)\ et la raison f^.En appliquant la règle du n* 276, on trouvera»

pour cette somme, ^v^J^^ = [(îA)" — 1]. 20. Telle est donc la

portion de la dette que le débiteur aura éteinte au moyen de 10 annuités d'un franc ; donc , pour l'éteindre entièrement, il faudra que chaque annuité soit d'autant de francs que [(fi)** — 1].20 sera contenu de fois dans 50000^. (f^)**, c'est-à-dire que l'annuité soit égale à

50000. (1^)*^ 2f>00.(ihy'

Pour effectuer ce calcul, on prendra la différence des logarithines de 21 et de 20, on multipliera cette différence par 10» ce qui donnera le logarithme de {UY^; on cherchera le nombre correspondant dans les tables, et, en en retranchant l'unité, on

aura la râleur du dteominatem*. S sera fadle d'avoir ensuite le logarithme du numéraleur, déporte qu'il n'y aiira plus qu'à en soustraire le logarithme du déiK^iBinateur, et à eheneher le nombre correspondant au logarithme résultant. Qn trouvera ainsi que rannuitë est de 6475^28.

LXXYII. Une compagnie offre ^ pour un capital de ICOO* fAœé sur la UU éFun enfant nouveau^néy 3660' pagaMes à sa vingtième année. Il résulte des tables dc uoRTALiTi quSy sur l ÛOOOOû <f en^ fanls nés la mime année j il n'en reste après 20 cens qm 502216. On demande quel sera le bénéfioe de la compagnie si elie asmre 1000 enfants?

La somme des mises est de 1 000 000', capital qui» placé à intérêts composés et au taux de 5 pour 100 par an , vaudra 2653291' au bout de 20 ans. Or, puisque sur 1000000 d'en*> fants nés la même année, il n'en reste que 502 216 après 20 ans, sur 1000 il en restera 502; donc la compagnie aura à payer, au bout de 20 ans, 3660' x &02 s= 1 837 320, et par conséquenl son bénéfice sera de 2 653 291 -^ 1 837 320= 815 971 .

LXXYIII. Une personne âgée de soixante ans possède un capital qu*elle vend à fonds perdu^ moyennant une rente viagère de 7600' par an. On demande quelle est la valeur de ce capital^ en supposant ^ le taux de VintérU soit de bpour 100, qu^une personne âgée de soixante an&ait la probabilité de vivre encore treize ans^ et en admettant que la rente de 7600' doit>e itre acquittée par avance au êoth/mène&fi^t de clidqiie année.

Il suit de L'Siioncé de ce problème que l'acquéreur du capital a dû supposer qu'il aurait à faire treize/ payements de 7600' chacun, le premier étant eff^ctuéie jour même de la signature du contrat de vente, et ]e dernier au commencement de la treizième année. Ainsi, au commencement de la treizième année, le rentier aura joui du premier payement pendant douze années, du second pendant onze années, du troisième pendant dix années, et ainsi de suite* Si donc sa rente était de 1', et qu'au lieu de l'employer pour ses besoins , il l'eût placée chez

un banqaiér aax taux de 5 pour 100 par an, en laissant accu-^ muler les intérêts, il se trouverait posséder, après le treizième payement effectué, une somme égale à

(ié)"+(îi>"+(îiy*+...+iè+ 1=^-^5^^

Telle serait donc la somme que l'acquéreur du capital aurait déboursée, s'il n'avait eu à payer qu'une rente de 1'. Puis donc que la rente est de 7600^, il aura réellement payé

KH)*^— !]• 20.7600 = 152000, [(fi)"— 1].

Or cette somme doit être égale à la valeur qu'aura acquise le capital inconnu dans Tiiilervalle compris entre le premier et le dernier payement, c^est-à-dire pendant douze ans, et celte valeur s'obtient en multipliant ce capital par (|^)" ; donc on troavera le capital cherché en divisant 152 000. [(f^}"— -l] par (iiy\ ce qui donnera

En effectuant les calculs d'après les indications données dans le problème LXXVI, on trouvera pour résultai 74960', 50. Telle est dope la valeur du capital demandé.