DES SYSTÈMES DUODÉCIMAL ET BINAIRE

585/ Si l'on réfléchit aux principes sur lesquels est fondé notre système de numération décimale (10 et II), on reconnaîtra facilement qu'on aurait pu représenter tous les nombres en employant plus ou moins de dix chiffres. Le nombre des caractères dont on fait usage se nomme la base du système. Parmi ces différents systèmes de numération, il en est deux qui dnt fixé généralement l'attention des géomètres : ce sont les systèmes duodécimal et binaire.

524. Le système de numération duodécimal est celui dans lequel on emploie douze caractères. Il faut donc en joindre deux nouveaux à ceux dont nous nous sommes servis jusqu'ici, afin de représenter les nombres dix et onze. Nous prendrons, pour cela, les deux lettres aei b; ainsi les douze caractères dont nous ferons usage seront

et ils représenteront respectivement : zéro, un, deux, trois, quatre^ cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze.

Cela posé, nous concevrons des unités de différents ordres, tels qu'une unité d'un ordre quelconque en vaudra douze de l'ordre précédent, et nous conviendrons qu'un chiffre placé à la gauche d'un autre représentera des unités douze fois plus

grandes que celles indiquées par cet autre. Alors il sera possible de représenter tous les nombres avec nos douze caractè-' res ; car, quel que soit le nombre que Ton se propose d'écrire, on pourra le décomposer en unités du premier, du second, du troisième, etc., ordre; représenter chaque collection de ces unités par l'un des onze chiffres significatifs, et placer ce chiffre au rang qui convient aux unités qu'il .doit exprimer.

525. n suit de là que la difficulté de traduire, dans le système duodécimal, un nombre écrit dans le système décimal, se réduit à trouver combien ce nombre contient d'unités du premier, du second, du troisième, etc., ordre duodécimal. On dira donc : Puisque chaque unité du second ordre en vaut douze du premier, il est clair qu'en divisant le nombre proposé par douze, le quotient exprimera le nombre total des unités du second ordre que contient l'expression duodécimale du nombre proposé, et que le reste en sera les unités simples.

De même, en divisant le quotient obtenu par douze, le nouveau quotient sera le nombre total des unités du troisième ordre, et le reste le nombre des unités du second ordre que renfermera le nombre proposé. En continuant ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à un quotient moindre que douze, on obtiendra tous les chiffres qui doivent composer l'expression duodécimale demandée.

52G. Gomme ce raisonnement est indépendant du système de numération dans lequel le nombre proposé est écrit, ainsi que de la base du nouveau système, nous en conclurons cette règle générale : Pour traduire un nombre d'un système dans un autrey divisez ce nombre par la base du nouveau système, puis ce quotient par cette base^ puis celui-ci encore par la nouvelle base^ et ainsi de suite jusqu'à ce que vous soyez parvenu à un quotient moindre que cette base. Alors écrivez successivement à la droite de ce dernier quotient le dernier reste Je pénultième, V antépénultième, et ainsi de suite jusqu'au premier, et vous aurez Vèxpression de* mandée du nombre proposé.

Exemple. Traduire dans le système duodécimal le nombre 59321 écrit dans le système décimal. On exécutera les divisions ci«dessous :

Ainsi Texpression duodécimale du nombre proposé est 2a365. Veut-on, au contraire, traduire dans le système décimal le nombre 2a3&5 écrit dans le système duodécimal; on opérera ainsi qu*il suit :

Ib

kb

On a écrit, tomme on le voit, la nouvelle base dix dans le système duodécimal, et l'on a d'abord divisé le nombre 2a3bb par a d*après la règle du n"* 40. Ainsi l'on a d'abord séparé les deux premiers chiffres à gauche, ce qui a formé le premier dividende partiel 2a, que Ton a divisé par le diviseur a en disant : En trente-quatre (car le chiffre 2 vaut deux douzaines) combien de fois dix? 3 fois; j'écris 3; trois fois dix, trente: de trente-quatre il reste 4, et j'abaisse le chiffre 3 ; ce qui donne le second dividende partiel 43, etc. On trouve ainsi que l'expression décimale du nombre proposé est 59321, comme cela devait êtie.

527. Dans l'arithmétique binaire, on n'emploie que deux caractères et 1, en convenant qu'une unité d'un ordre queN

conque en vaut deux de Tordre précédent, et qu'un chiffre écrit à la gauche d*un autre exprime des unités deux fois plus ]grandes que celles représentées par cet autre. Eu appliquant au nombre décimal 89 la règle du n* S26, on trouvera facilement que son expression binaire est 101 1001.

La longueur de l'expression des nombres est un grand défaut de la numération binaire : sans cet inconvénient, ce système de numération mériterait la préférence sur tous les autres : car il est visible que les multiplications et divisions y reviennent à de simples additions et soustractions.

Le système binaire met en évidence cette propriété remar* quable dont jouit tout nombre entier d'itre la somme (Tun cer^ tain nombre de puissances de 2 répétées chacune une seule fois dans ce nombre. Ainsi l'expression ci-dessus du nombre 89 montre qu'il est égal à l+2»+2*+2S

II résulte de là qu'avec une collection de poids valant respectivement 1, 2, 2S 2'...., 2*" granjmes, on pourra peser jusqu'à (2"+*— 1) grammes (276),

328. Puisqu'on aurait pu représenter tous les nombres possibles avec un nombre quelconque de caractères, pourquoi^ dira-t-on, avoir choisi le système décimal? II est très-probable que c'est la conformation de notre main qui a décidé le choix. Les systèmes de numération dans lesquels on emploierait plus ou moins de dix caractères auraient d'ailleurs de grands inconvénients : les uns en ce qu'ils exigeraient une table de multiplication trop étendue, et les autres en ce que l'expression des nombres y serait trop longue. Au reste, on ne peut douter que si les géomètres avaient présidé au choix d'un système de numération, ils n'eussent préféré employer douze caractères; car la base eût été ainsi divisible par 2, 3, 4, 6, quatre diviseurs que leur simplicité rend très-usuels.