Nous venons d*observer que les deux égalités

avaient exactement le même sens ; or nous avons vu (n* 20) que la seconde entraînait la suivante

et celle-ci peut s'interpréter en disant que le produit de 9 par le nombre 2, qui est la différence entre 5 et 3, est égal à la différence entre le produit de 9 par 5 et le produit de 9 par 3. On conclut de là la proposition suivante, qui est, aii fond, identique à celle du n« 20 : Pour multiplier un nombre par une différence on peut multiplier ce nombre successivement par les deux termes de la différence et retrancher le second résultat du premier.

En adoptant une convention toute pareille à celle du n® 23, c'està-dire en regardant comme effectués les produits que l'on doit retrancher, comme ceux que l'on doit ajouter, l'égalité précédente peut s'écrire

en omettant les parenthèses.

29. Lorsqu'un nombre est donné comme une somme de nombres, et qu'on veut en retrancher un de ces nombres, il suffit d'effacer ce nombre et de faire la somme de ceux qui restent.

Par exemple, si de la somme

3 + 2 + 5 + 4, on voulait retrancher 5, il suffirait d*effectuer la somme

en effet, 3 + 2 + 5 + 4 est la somme de 3 + 2 + 4 et de 5. Si, ensuite, on voulait retrancher du reste 3 + 2 + 4 le nombre 2, on n'aurait qu'à effectuer la somme 3 + 4. Remarquons que Ton serait arrivé au même résultat Onal en retranchant tout d'un coup du nombre 3 + 2 + 5 + 4 la somme 2 + 4, puisque Ton a

30. En g(^néral, *i (Tun nombre a, on peut retrancher successivement plusieurs nombres />, ç, r, on peut retrancher à la fois du nombre a la somme p + 9 + '% ^^ ^^ procédant d'une façon ou de loutre, on arrive au même résultat.

Considérons en effet une collection d'objets, un sac de billes, par exemple, et supposons qu'on en retranche successivement deux billes, quatre billes, trois billes; il suffit d'imaginer qu'on ait mis ensemble ces deux, quatre et trois billes pour comprendre qu'on a séparé les billes en deux parties : d'une part celles qui restent dans le sac, d*autre part la collection de celles qu'on en a retirées, dont le nombre est la somme 2 + 3 + 4; on serait donc parvenu au même résultat en retranchant cette somme du nombre de billes primitivement contenues dans le sac.

31. Division, — Un cas particulier intéressant est celui où les nombres qu'on veut retrancher successivement d'un nombre donné sont tous égaux ; leur somme peut alors être regardée comme un produit (n* 17); le multiplicande est Tune quelconque des parties de la somme, le multiplicateur est le nombre des parties. Le reste est le même, soit que l'on retranche successivement chacune des parties, soit que l'on retranche, d'un seul coup, leur somme, c'està-dire le produit de l'une de ces parties par leur nombre.

Ëtant donnés deux nombres, la division du premier par le second a pour but de retrancher du premier nombre le second autant de fois que possible; le nombre de soustractions successives que l'on peut effectuer s'appelle quotient \ le reste de la dernière soustraction s'appelle reste de la division. Le premier nombre s'appelle dividende, le second diviseur.

Supposons, par exemple, qu'un enfant veuille partager entre cinq

de ses camarades les billes contenues dans un sac, en donnant à chacun d'eux le même nombre de billes et en donnant à chacun d^ux le plus de billes possible. Il pourra procéder comme il suit : il donnera d'abord une bille à chacun de ses camarades; il aura alors retranché cinq billes du sac. Puis il distribuera une bille à chacun ; il aura alors retranché encore cinq billes, en tout deux fois cinq billes ; après une troisième distribution, il aura retiré du sac trois fois cinq billes, et ainsi de suite ; il s'arrêtera quand le sac ne contiendra plus qu'un nombre de billes moindre que cinq. L'opéralion sera terminée ; le nombre de distributions, ou le nombre de fois qu'il a retranché cinq du nombre primitif de billes contenues dans le sac, est le quotient ; c'est le nombre de billes reçues par chaque enfant. Le nombre de billes qui restent dans le sac est le reste de la division. Supposons, pour fixer le langage, qu'on ail fait sept distributions, et qu'il reste trois billes. On aura séparé la collection de billes d'une part en sept groupes de cinq billes, dont chacun a servi à faire une distribution, et d'autre part en un groupe de trois billes. En réunissant ensemble tous ces groupes, on retrouve le nombre primitif de billes.

Ainsi le reste est la différence entre le nombre primitif de billes el la somme des nombres de billes successivement retranchées, c'est-â-diro sept fois cinq, ou 5 X 7. En d'autres termes, l'opération a permis de mettre le dividende sous la forme

On peut donc dire encore que la division est une opération qui consiste à décomposer le dividende en un certain nombre de parties égales au diviseur et en un i*este moindre que le diviseur : le nombre de parties égales au diviseur est le quotient.

Le reste peut être zéro : on dit alors que la division se fait exactement ; dans ce cas, le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient.

La définition que nous venons de donner suppose que le dividende est au moins égal au diviseur; dans le cas contraire, on convient de regarder le quotient comme étant égal à zéro, et le reste comme étant égal au dividende. Avec cette convention, on peut dire, même dans ce cas, que le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient, produit qui est nul, plus le reste.

Tannery.

§ 3. — Namération parlée.

32. Après ces notions préliminaires, arrivons à la façon dont on nomme les nombres. Si Ton se bornait à donner aux nombres des noms différents entre eux, d'ailleurs quelconques, la mémoire ne pourrait retenir que bien peu de ces noms ; en outre, en nommant Tun de ces nombres, on aurait diffîcilement idée de son ordre de grandeur, de sa place dans la suite naturelle de^ nombres. Nous allons voir comment, au moyen d'un petit nombre de mots combinés entre eux d'après des règles simples, on a pu nommer beaucoup de nombres et leur attribuer des noms qui donnent de suite une idée de leur grandeur.

Nous avons déjà dit qu'on avait donné aux premiers nombres de la suite naturelle les noms :

un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit,* neuf, dix.

On nomme les neuf nombres qui suivent dix, en plaçant le mot dix devant les neuf premiers nombres; ainsi, l'on dit :

dix-un, dix-deux, dix-trois, dix-quatre, dix-cinq, dix-six, dixsept, dix-huit, dix-neuf.

Dix-un, par défmition, s'obtient en ajoutant un à dix; dix-deux s'obtient en ajoutant un à dix-un, et par conséquent, en ajoutant un et un, ou deux, à dix. C'est une application de ce théorème qu'on obtient le même résultat en ajoutant à un même nombre deux nombres successivement ou bien leur somme : un et un, ou leur somme deux ; de même , dix-trois peut être regardé soit comme dix-deux plus un, soit comme la somme de dix et de trois, etc.. Dans les mots dix-un, dix-deux..., dix-neuf, le trait d'union a le même sens que le mot plus.

Au lieu des mots dix-un, dix-deux, dix-trois, dix-quatre, dix-cinq, dix-six, l'usage a fait prévaloir les mots onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize.

Après dix-neuf, la même règle conduirait à dire dix-dix; ce nombre n'est autre chose que la somme dix plus dix, ou deux fois dix; ce nombre deux fois dix s'appelle vingt; on désigne de même les neuf nombres qui suivent vingt en faisant précéder du mot vingt les noms des neuf premiers nombres: ainsi, l'on dit vingt-un, vingtdeux,..., vingt-neuf; la même observation que l'on a faite plus haut s'applique encore: ces mois ont le même sens que vingt plus un, vingt plus deux,..., vingt plus neuf. Après vingt-neuf, au lieu de

vingt plus dix, ou de deux fois dix plus dix, ou de trois fois dix(*), on dit trente; et Ton continue de la même façon en disant trente-un, trente-deux,..., trente-neuf; il suffira ensuite de dire que les mots quarante, cinquante, soixante, septante, octante, nouante, cent ont le même sens que : quatre fois dix, cinq fois dix, six fois dix, sept fois dix, huit fois dix, neuf fois dix, dix fois dix, pour savoir comment on nomme les cent premiers nombres de la suite naturelle.

Toutefois Tusage a apporté quelques dérogations à ces règles : au lieu de septante, on dit soixante-dix ; on dit de même soixanteonze, soixante-douze, soixante-treize,..., soixante-dix-neuf, au lieu de septante-un, septante-deux, septante-trois..., septante-neuf; puis on dit quatre-vingts (*) au lieu de octante, quatre-vingt-dix au lieu de nonante, puis quatre-vingt-onze, quatre-vingt-douze..., quatre-vingt-dix-neuf au lieu de nonante-un, nonante-deux, nonanteneuf.

On nomme les quatre-vingt-dix-neuf nombres qui suivent cent en plaçant le mot cent devant les noms des quatre-vingt-dix-neut premiers nombres; cent quatre-vingt-dix-neuf plus un, c'est la même chose, en vertu d'une remarque déjà faite, que cent plus cent ou deux fois cent ; au lieu de deux fois cent on dit deux cents ; on dira de même trois cents, quatre cents,..., neuf cents au lieu de trois fois cent, quatre fois cent, neuf fois cent. Les noms des quatre-vingt-dix-neuf nombres qui suivent deux cents se nomment en plaçant les mots deux cent devant les noms des quatre-vingtdix-neuf premiers nombres; deux cent quatre-vingt-dix-neuf plus un c'est deux cents plus cent, ou trois cents; et ainsi de suite. On nomme ainsi tous les nombres jusqu'à neuf cent quatre-vingt-dixneuf; neuf cent quatre-vingt-dix-neuf plus un, c'est neuf cents plus cent, ou dix fois cent; au lieu de dix fois cent, on dit mille.

Arrêtons-nous un instant ici, supprimons toutes les irrégularités de langage que l'usage a introduites dans la façon de nommer les mille premiers nombres, et remarquons même qu'au lieu d'employer les mots vingt, trente, ..., nonante, on aurait très bien pu dire deux dix, trois dix, ..., neuf dix, comme on dit ensuite deux

I. Le lecteur obsenrera que, en disant « deux fois dix plus dix est la mémo chose que trois fois dix >, on applique en fait le théorème du n* 20. La même observation s'applique plusieurs iois.

ICest le reste de façons de parler qui ont encore leur trace dans les expressions six-vingts, quinze-vingt?. Quatre-vingts, six-vingts, quinze-vingts ont le sens de quatre fois vingt, six fois vingt, quinze fois vingt. Le trait d'union indique ici, non une addiliou comme dans les mots dix-sept, dix-huit..., mais une multiplication. Les anciennes expressions septante, octante, nonante se sont conservées dans la Suisse romande ; il est regrettable qu'elles soieut tombées en désuétude chez nous.

cents, trois cents, ..., neuf cents; au lieu de dire vingt-un, vingt-deux, ..., on dirait deux dix un, deux dix deux, etc. ; la numération parlée serait alors entièrement régulière jusqu'à mille ; les mots nouveaux qu'on est obligé d'introduire après les noms des neuf premiers nombres sont dix, qui vaut dix unités, cent qui vaut dix fois dix, mille qui vaut dix fois cent; en sorte que, avec douze mots différents, on a pu nommer les mille premiers nombres ; en outre on voit que, après les dix premiers nombres, les mots nouveaux s'introduisent pour nommer des nombres qui sont de dix en dix fois plus grands. Il aurait peut-être été plus régulier de continuer ainsi et de créer des mots nouveaux pour dire dix fois mille, cent fois mille, etc....; mais c'est une autre règle qui a prévalu. ' On compte par mille comme on a compté jusqu'ici par unités, c'est-à-dire qu'on emploie les expressions deux mille, trois mille,..., dix mille, ..., vingt mille, ..., quatre-vingt-dix-neuf mille, cent mille, deux cent mille, ..., neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille, avec le même sens que deux fois mille, trois fois mille, ..., dix fois mille, ..., vingt fois mille, ..., quatre-vingt-dix-neuf fois mille, cent fois mille, deux cents fois mille,..., neuf cent quatre-vingt-dix-neuf fois mille, et l'on ne crée de mol nouveau que pour mille fois mille, que l'on appelle un million.

Pour nommer les neuf cent quatre-vingt-dix-neuf nombres qui suivent mille, on fait précéder du mot mille (ou mil) les noms des neuf cent quatre-vingt-dix-neuf premiers nombres; ainsi l'on dit: mille un, mille deux, ..., mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf; mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf plus un, c'est mille plus mille ou deux mille ; de même entre deux mille et trois mille, ..., entre neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille et un million.

On compte ensuite par millions, en disant deux millions, trois millions, ..., neuf cent quatre-vingt dix-neuf millions, avec le sens de deux fois un million, trois fois un million, ..., neuf cent quatrevingt-dix-neuf fois un million ; on ne crée de nom nouveau que pour mille millions, que l'on appelle un billion (*) ou un milliard.

On nomme les neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf nombres qui suivent un million, en plaçant les mots un million avant les noms des neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf premiers nombres ; ainsi on dit un million un, un million deux,..., un million neuf cent quatre-

1. Cclto significallon du mot billion ost relativement r(^rente et n'a pas ëtë adoptée partout : en Allemagne un billion est un million de millions, un trillion est un million de billions, etc....

vîngl-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf ; le nombre suivant est deux millions ; on recommence alors à dire, deux millions un, deux millions deux, ..., jusqu'à trois millions, et ainsi de suite jusqu'à un billion.

On compte ensuite par billions comme on a fait par mille, ou par millions, et Ton ne crée de nom nouveau que pour mille billions, que Ton appellerait un trillion ; les nombres placés entre un billion et deux billions s'énonceraient successivement en plaçant après les mots un billion les noms des neuf cent quatre-vingt-dix-neuf millions neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatrevingt-dix-neuf premiers nombres ; on place ces mêmes noms après deux billions pour désigner les nombres entre deux billions et trois billions, etc.

On compterait ensuite par trillions, jusqu'à mille trillions, auquel nombre on donnerait un nom nouveau et l'on introduirait toujours des nonis nouveaux pour désigner des collections d'unités de mille eo mille fois plus grandes. Mais déjà les mots un billion, un trillion ne sont guère usités : on n'a pas besoin dans la pratique de nombres aussi grands, et quand il s'agit des grands nombres que la science est obligée de considérer, on se contente de les écrire. La numération écrite, en effet, est beaucoup plus simple et plus régulière que la numération parlée. Les règles n'y présentent pas d'exceptions, enfin au moyen de dix caractères elle permet de désigner n'importe quel nombre. Quoique la numération parlée permette avec peu de mots de désigner beaucoup de nombres, pour nommer l'infinité des nombres, il n'en faudrait pas moins une infinité de mots. En outre, elle comporte une certaine confusion, en ce sens que la juxtaposition des noms de nombres implique tantAt l'idée d'addition tantôt Tidée démultiplication ; ainsi quand on dit deux cent dix-sept : deux cents implique l'idée de muiliplicaiion (deux fois cent) ; au contraire dixsept doit être ajouté à deux cents. L'habitude, il est vrai, empêche de tomber dans ces confusions, et même d'y penser. Quoi qu'il en soit, le véritable instrument scientifique est la numération écrite, instrument d'une rare perfection, et qu'on ne saurait trop admirer.

§ 4. — Nomération écrite.

33. Nous allons montrer comment au moyen des seuls chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, on peut compter une collection d'objets et figurer (écrire) le nombre d'objets contenus dans cette collection.

Supposons que nous ayons devant nous un petit monceau de blé

dont nous voulons compter les grains. Nous supposerons aussi que nous ayons à notre disposition des sacs de diverses dimensions, les uns blancs, les autres bleus.

Groupons les grains de blé dix par dix, jusqu'à ce qu'il en reste moins de dix ; mettons chaque groupe de dix grains dans un sac blanc, que nous appellerons sac du premier ordre : cette opération sera la première mise en sac(*). Mettons les grains qui restent dans un sac bleu sur lequel nous inscrirons au moyen d'un des chiffres 0, 1, 2, ..., 9, le nombre de grains qu'il contient, et que nous placerons à part, à l'extrémité de droite d'une ligne horizontale. Si ce sac est vide, c'est-à-dire si tous les grains ont pu être distribués dans les sacs du premier ordre, c'est le chiffre 0 qu'on a inscrit sur le sac bleu.

Nous avons maintenant devant nous l'ensemble des sacs du premier ordre : considérons-les comme des objets distincts, susceptibles d'être comptés. Groupons-les dix par dix, jusqu'à ce qu'il en reste moins de dix. Mettons chaque groupe de dix sacs du premier ordre dans un sac blanc, que nous appellerons unité ou sac du second ordre ; ce sera la deuxième mise en sac. Mettons les sacs du premier ordre qui restent dans un sac bleu, en inscrivant leur nombre au moyen d'un des chiffres 0, 1, 2, ..., 9, et plaçons ce second sac bleu à part, à gauche du premier, sur la même ligne.

Nous avons maintenant devant nous l'ensemble des sacs du second ordre. Groupons-les dix par dix. Mettons chaque groupe de dix sacs du second ordre dans un sac blanc, que nous appellerons sac du troisième ordre; ce sera la troisième mise en sac. Mettons les sacs du second ordre qui restent dans un sac bleu, en inscrivant leur nombre au moyen d'un des chiffres 0, 1,2, ..., 9, et plaçons ce troisième sac bleu à part, à gauche des deux premiers, sur la même ligne.

Continuons de la même façon ; après chaque opération le nombre de sacs blancs que l'on a devant soi a diminué, leur ordre s'est élevé ; au bout d'un certain nombre d'opérations, on finira par avoir (levant soi moins de dix sacs blancs du même ordre, le plus élevé auquel on soit parvenu. Alors on les mettra dans un sac bleu, avec un des chiffres 1, 2, ..., 9 et l'on mettra ce dernier sac bleu à part, à gauche des précédents, et sur la même ligne. Cette fois, le chiffre inscrit ne sera certainement pas un 0. Tous les grains sont distribués dans les sacs bleus, dont chacun porte son chiffre ; l'opération est terminée.

1. Le mot mise est pris ici dans racception : action de mettre.

Si maintenant on écrit sur une même ligne les chiffres qui figurent sur les sacs bleus, exactement dans le même ordre, on aura une représentation abrégée du résultat : ce sera le nombre de grains de blé écrit dans le système décimai, ou encore dans le système dont la base est dix. Il est clair que les chiffres inscrits et leur rang ne dépendent que du nombre total des grains de blé.

34. L'opération que nous venons de décrire donne lieu aux observations suivantes :

Tout d'abord, elle permet d'avoir, immédiatement, écrits dans le même système, les nombres des sacs blancs du premier ordre, ou du second, ou du troisième..., que l'on a obtenus après chaque opération partielle.

Considérons, par exemple, les sacs blancs du premier ordre, dont on a le monceau devant soi, dès qu'on a misa part, dans le premier sac bleu, les grains qui restaient après la première mise en sac; ces sacs du premier ordre, on les a traités exactement comme les grains de blé, et on les a distribués dans le second sac bleu, dans le troisième, dans le quatrième, etc.. Les chiffres inscrits sur ces sacs bleus, placés chacun à leur rang, donnent donc la représentation écrite du nombre de sacs du premier ordre; on obtient ce nombre écrit dans le système décimal en supprimant le premier chiffre à droite du nombre écrit de grains de blé ; en supprimant encore un chiffre à droite, on aura le nombre écrit de sacs du second ordre; en supprimant encore un chiffre à droite, on aura le nombre écrit de sacs du troisième ordre, etc..

35. Chaque sac du premier ordre contient dix grains; chaque sàc du second ordre contient dix sacs du premier ordre, ou dix fois dix grains, ou cent grains, dans le langage de la numération parlée; chaque sac du troisième ordre contient dix fois cent grains, ou mille grains, dans ce même langage, etc.. Chaque sac blanc contient dix sacs blancs de l'ordre immédiatement inférieur, ou dix fois plus de grains que le sac blanc de l'ordre immédiatement inférieur.

On peut dire encore, en se reportant aux définitions des n^* 22 et 23, que les sacs blancs du premier ordre, du second, du troisième, du quatrième,..., contiennent des nombres de grains qui sont respectivement dix, dix X dix, dix X dix X dix, dixxdixxdixxdix,...; le nombre de grains contenus dans chaque sac blanc est un produit de facteurs tous égaux à dix, ou une puissance de dix ; le nombre de ces facteurs , ou l'exposant de cette puissance , est l'ordre du sac blanc.

36. Chaque opération partielle correspond à une division par dix.

Ainsi, dans le premier groupement des grains dix par dix, le nombre de sacs du premier ordre est le quotient de la division par dix du nombre total de grains de blé ; le chiffre inscrit sur le premier sac bleu (en commençant par la droite) est le reste de cette division ; de même, le nombre de sacs du second ordre est le quotient de la division par dix du nombre de sacs du premier ordre, et le chiffre inscrit sur le second sac bleu est le reste de cette division; le nombre de sacs du troisième ordre est le quotient de la division par dix du nombre de sacs du second ordre et le chiffre inscrit sur le troisième sac bleu est le reste de cette division, etc.

37. On peut aller plus loin dans cette même voie. Après la première opération partielle, chaque sac du premier ordre contient évidemment plus de grains qu'il n'y en a dans le premier sac bleu. De même, chaque sac du second ordre contient plus de grains qu'on n'en a mis à part dans les deux premiers sacs bleus, ensemble : en effet, un sac du second ordre contient un sac du premier ordre plus neuf sacs du premier ordre; or, le premier sac bleu contient moins de grains qu'un sac du premier ordre, et le second sac bleu contient au plus neuf sacs du premier ordre. De même un sac du troisième ordre contient plus de grains qu'on n'en a mis à part dans les trois premiers sacs bleus : en effet, un sac du troisième ordre contient un sac du second ordre plus neuf sacs du second ordre; or, les deux premiers sacs bleus, pris ensemble, contiennent moins de grains qu'un sac du second ordre, et le troisième sac bleu contient au plus neuf sacs du second ordre. De même un sac du quatrième ordre contient à lui seul plus de grains qu'on n'en a mis à part dans les quatre premiers sacs bleus : car un sac du quatrième ordre contient un sac du troisième ordre plus neuf sacs du troisième ordre; or, les trois premiers sacs bleus, ensemble, contiennent moins de grains qu'un sac du troisième ordre, et le quatrième sac bleu contient au plus neuf sacs du troisième ordre. Il est clair que le raisonnement se continue jusqu'au bout; mais arrêtons-le au point où nous en sommes, et supposons aussi que la distribution des grains de blés en sac ait été arrêtée au moment où, après avoir formé les sacs blancs du quatrième ordre, on a mis à part, dans le quatrième sac bleu, les sacs du troisième ordre qui restaient.

38. Les grains de blé se trouvent distribués, d'une part, dans les sacs du quatrième ordre, dont chacun contient le même nombre de grains (dix mille dans le langage de la numération parlée); d'autre part, dans les quatre premiers sacs bleus qui, ensemble, ne contiennent pas dix mille grains. On voit donc qu'on peut retrancher du nombre

total de grains de blé autant de fois dix mille qu*il y a de sacs du quatrième ordre, et que le reste, le nombre de grains contenus dans les quatre premiers sacs bleus, est inférieur à dix mille. End autres termes, le nombre de sacs du quatrième ordre est le quotient de la division du nombre total de grains par dix mille, et le nombre de grains contenus dans les quatre premiers sacs bleus est le reste de cette division.

Si Ton a écrit le nombre total des grains de blé, le nombre de sacs du quatrième ordre, le précédent quotient, s'obtient en supprimant les quatre derniers chiffres ; Tensemble des quatre derniers chiffres, écrits dans leur ordre, figure le reste.

39. Cette remarque nous permet de répondre aisément à la question suivante :

Si Ton compte de la façon qu'on a expliquée les grains de blé contenus dans un autre tas, comment savoir si Tun des tas contient plus de grains que l'autre?

Supposons qu'on mette en sac en même temps, mais séparément, les deux tas, et que Ton s'arrête, par exemple, dans les deux opérations, quand on a formé les sacs du quatrième ordre, et mis à part, pour chaque tas, dans un sac bleu, les sacs blancs du troisième ordre qui restaient. Si Ton sait reconnaître que le nombre de sacs du quatrième ordre est plus grand pour le premier tas que pour le second, on pourra affirmer que le premier tas contient plus de grains que le second.

Four chaque tas, en effet, les grains ont été séparés en deux parties : les grains contenus dans les sacs du quatrième ordre et ceux qui sont rangés dans les sacs bleus; mais tous les grains contenus dans les sacs bleus provenant du second tas sont en moindre nombre que les grains contenus dans un seul sac du quatrième ordre, et, puisque le premier tas fournit au moins un sac du quatrième ordre de plus que le second tas, il est clair que le premier tas contiendra plus de grains que le second.

Si donc, quand on a terminé la mise en sac, pour les deux tas, on voit qu'on a obtenu, pour le premier, des sacs d'un ordre plus élevé que le second n'en a fourni, on pourra affirmer que le premier tas contient plus de grains que le second; cette circonstance se reconnaîtra sur les nombres écrits, en constatant que le premier nombre écrit contient plus de chiffres que le second.

Si les deux nombres écrits contiennent le même nombre de chiffres, on comparera les deux premiers chiffres de gauche, ceux qui représentent des sacs de l'ordre le plus élevé; si le premier chiffre du pre-

HMcr nombre est plus fort (*) que le premier chiffre du second, le premier tas contiendra plus de grains que le second, puisqull y a au moins un sac de Tordre le plus élevé de plus pour le premier tas que pour le second ; si les premiers chiffres de gauche sont les mêmes dans les deux nombres, on comparera les deuxièmes chiffres ; si, pour le premier nombre, le deuxième chiffre est plus fort que pour le second, le premier nombre sera plus grand que le second; si les deux premiers chiffres de gauche sont les mêmes dans les deux nombres, on comparera les troisièmes chiffres, etc.; il est clair qu*on parviendra ainsi, très aisément, à reconnaître si les deux nombres sont égaux, ou si Tun est plus grand que lautre.

40. Comment s'écrivent, dans le système décimal, les nombres de grains contenus dans les sacs du premier ordre, du second, du troisième, etc.?

Si notre tas de blé ne contenait que dix grains, il tiendrait tout entier dans un sac du premier ordre; le premier sac bleu serait vide, il serait marqué 0, le second sac bleu serait marqué 1 ; le nombre de grains contenus dans un sac du premier ordre s'écrit 10. Si notre tas de blé pouvait tenir tout entier dans un sac du second ordre, on voit de même que le premier sac bleu et le second sac bleu seraient vides, le troisième sac bleu serait marqué 1 ; le nombre de grains contenus dans un sac du second ordre s'écrit 100; de même, le nombre de grains contenus dans un sac du troisième ordre S'écrit 1000, etc. En général, le nombre de grains contenus dans un sac d*ordre quelconque, s'écrit en plaçant à la droite du chiffre 1 un certain nombre de zéros, qu'indique Tordre du sac.

D'après ce qui a été dit aux n°« 33, 23, on peut donc écrire

41. Plus généralement, comment écrire le nombre de grains que contiennent un certain nombre de sacs d'un ordre déterminé, du troisième par exemple, quand on sait écrire ce nombre de sacs?

Supposons qu'on ait opéré sur un tas de blé qui puisse être distribué exactement dans 37 sacs du troisième ordre; alors les trois premiers sacs bleus seraient vides, le quatrième sac bleu serait marqué 7, le cinquième et dernier serait marqué 3 ; le nombre de

I. Un chiffre plus fort qu'un autre représente un nombre plus grand; 9 est un chiffre plus fort que T.

NUMêAATION écrite. 27

grains s'écrirait 37000. II suffira donc d'ajouter trois zéros à la droite de 37 ; en général, on ajoutera à la droite du nombre de sacs des zéros en nombre marqué par Tordre du sac. Observons en passant que 37000 n'est autre chose que 37 fois mille ; en d'autres termes on a

42. Supposons qu'en opérant comme nous l'avons expliqué sur un tas de blé, on ait obtenu huit sacs bleus, sur lesquels soient respectivement inscrits, en allant de droite à gauche, les chiffres 4, 5, 1, 3, 7, 0, 8, 2; le nombre total de grains de blé s'écrira 28073154; il y aura 2807315 sacs du premier ordre contenant en tout 28073150 grains; 280731 sacs du second ordre, contenant en tout 28073100 grains; 28073 sacs du troisième ordre contenant en tout 28073000 grains, ...; 28 sacs du sixième ordre contenant 28000000 grains ; 2 sacs du septième ordre contenant 20000000 grains.

On voit qu'on peut écrire

28073 1 54 = 4 + 50 + 100 + 3000 + 70000 + 8000000 + 200ÛUÛ0U = 4 + 10x5 + 100x1+1000x3 + 10000x7

+ 100000 X 0 + 1000000 X 8 + 10000000 X 2 = 4 + 10x5+10*xl + iœx3 + 10*x7

+ I0^x0 + Wx8 + 10'x2.

Notons encore l'égalité suivante

qui correspond au moment où l'on a formé les sacs du quatrième ordre contenant chacun 10000 grains, et où Ton a mis à part dans les sacs bleus 3154 grains, nombre inférieur à 10000, comme on l'a observé. Cette égalité exprime que le quotient de la division du nombre écrit 28073154 par 10000 est 2807 et le reste 3154.

43. Arrêtons-nous un instant sur les sacs blancs qui correspondent aux mille, aux millions, ..., à ces nombres de mille en mille fois plus grands pour lesquels, dans la numération parlée, on a créé des noms nouveaux.

Les sacs qui contiennent mille grains sont du troisième ordre; leur nombre s'obtient en supprimant les trois premiers chiffres à droite dans le nombre écrit qui figure le nombre total de grains : ce sera, dans l'exemple qu'on a pris, 28073. Quand on a formé les sacs du troisième ordre, pour former les sacs qui contiennent mille sacs

du troisième ordre, il faut eflfectuer trois nouvelles mises en sac, de même qu'il a fallu effectuer trois mises en sac pour parvenir aux sacs contenant mille grains; les sacs ainsi obtenus seront du sixième ordre : ils contiendront mille fois mille grains, ou un million ; on obtiendra leur nombre en supprimant six chiffres à droite du nombre 28073 134 ou trois chiffres à droite du nombre 28073; on trouve ainsi 28.

De même, si le tas de blé était suffisamment gros, on formerait les sacs contenant mille millions ou un billion de grains, en prenant les sacs du sixième ordre et en effectuant trois nouvelles mises en sac : ce seraient des sacs du neuvième ordre; leur nombre se déduirait du nombre écrit de grains de blé en supprimant neuf chiffres à droite de ce nombre, etc.

Observons que les nombres mille, un million, un billion s'écrivent dans le système décimal

44. Adoptons maintenant des dénominations plus abstraites, qui se comprendront d'elles-mêmes, après les explications qui ont été données, et qui pourront nous servir dans tous les cas.

Nous appellerons unités composées du premier ordre, du second ordre, du troisième ordre, etc., les nombres qui s'écrivent 10, 100, 1000, .... C'étaient les nombres de grains contenus dans nos sacs du premier, du second, du troisième ordre.... L'unité composée du premier ordre équivaut à dix unités simples (*); chaque unité composée d'ordre supérieur équivaut à dix unités composées de Tordre immédiatement inférieur.

Dans le nombre 28073134, 4 est le chiffre des unités simples; et 28073134 le nombre des unités simples; 5 est le chiffre des unités composées du premier ordre ou des dizaines, 2807313 est le nombre des dizaines; 1 est le chiffre des unités composées du second ordre, ou des centaines, 280731 est le nombre des centaines; 3 est le chiffre des unités composées du troisième ordre, ou des mille, 28073 est le nombre des mille, etc. ...; 8 est le chiffre des unités composées du sixième ordre, ou des millions, 28 est le nombre des millions, 2 est le chiffre et le nombre des unités composées du septième ordre, ou des

1. Les unités simples, si on veut leur ottribuer un ordre, devront être regardées corame d'ordre zéro.

NUMÉRATION ÉCHITE. 29

dizaines de millions; c'est le chiffre des plus hautes unités du nombre proposé.

45. Observons maintenant que la convention essentielle grâce à laquelle on peut écrire dans le système décimal un nombre quelconque, consiste à attribuer aux chiffres des valeurs différentes suivant leur position relative; dans un nombre écrite le premier chtffre à droite représente des unités simples^ et chaque autre chiffre représente des unités composées dix fois plus grandes que celles qu exprime le chiffre placé à sa droite. S'il y a lieu, le zéro permet d'attribuer aux autres chiffres, dits chiffres significatifs, le rang qu'ils doivent occuper, afin qu'ils expriment bien les unités qu'on veut leur faire exprimer.

Un zéro, deux zéros, trois zéros,..., placés à la droite d'un nombre lui font exprimer des unités composées du premier, du deuxième, du troisième ordre... On pourrait, si cela avait quelque utilité, placer autant de zéros qu'on voudrait 4.1a gauche d'un nombre; on ne le changerait point.

46. Il ne nous reste plus, pour terminer ce sujet, qu'à montrer comment on peut passer de la numération écrite à la numération parlée et réciproquement; comment on peut énoncer un nombre écrit, écrire un nombre énoncé.

Si le nombre écrit contient seulement un, deux ou trois chiffres, il n'y a aucune difficulté à l'énoncer; dans le cas de deux chiflres, on voit de suite le nombre de dizaines et d'unités; par exemple 28 s'énonce vingt-huit, puisque 28 veut dire deux fois dix, plus huit. S'il y a trois chiffres, on énonce d'abord le chiffre de gauche qu'on fait suivre du mot cent, et l'on énonce ensuite le nombre de deux chiffres qui reste : 928, 908, 920 s'énoncent neuf cent vingt-huit, neuf cent huit, neuf cent vingt.

Si le nombre proposé a six chiffres au plus, on supprime trois chiffres à droite, on énonce le nombre formé par les un, deux ou trois chiffres qui restent, en le faisant suivre du mot mille, et l'on énonce ensuite le nombre formé par les trois chiffres supprimés.

Si le nombre proposé a neuf chiffres au plus, on supprime six chiffres à droite; on énonce le nombre formé par les un, deux ou trois chiffres qui restent, en faisant suivre du mot millions, et l'on énonce ensuite le nombre formé par les six chiffres que l'on avail supprimés, etc..

Toutes ces règles ont été justifiées d'avance par les explications relatives à la recherche du nombre de mille, de millions, de billions, . . . contenus dans un nombre.

30 LEÇONS D'AUITHMÉTIQUE.

En résumé, on sépare le nombre écrit en tranches de trois chiflFres en commençant par la droite ; la dernière tranche de gauche peut contenir un, deux ou trois chiflFres; la première tranche à droite correspond aux unités simples, la deuxième aux mille, la troisième aux millions, la quatrième aux billions, etc.. On énonce chaque tranche successivement, en allant de gauche à droite, ce que Ton sait faire si Ton sait énoncer un nombre écrit de trois chiflTres, et Ton fait suivre le nombre écrit dans chaque tranche de celui des mots... billions, millions, mille, unités qui lui correspond. Le mot unités se sous-entend d'ordinaire (*).

En renversant cette règle, en quelque sorte, on a la règle pour écrire un nombre énoncé.

D'abord on n'a aucune difficulté si le nombre est moindre que mille; on n'aura besoin, pour l'écrire, que de trois chiffres au plus; le chiflFre des centaines, celui des dizaines et celui des unités se reconnaissent à la seule audition. ^

Si le nombre contient des billions, des millions, des mille, des unités, en l'entendant énoncer on écrira successivement, en allant de gauche à droite, les tranches qui correspondent aux billions, aux millions, aux mille, aux unités. Ces tranches, sauf peut-être la première, comporteront trois chiffres (*).

47. L'habitude de compter de dix en dix, commune à presque tous les peuples ayant acquis un certain degré de culture, remonte à la plus haute antiquité. A cette même habitude se rattachent aussi de très anciennes façons d'écrire les nombres qui, dans le fond, sont identiques à la numération décimale.

Plus anciennement encore, peut-être, au lieu d'écrire les nombres, on les figurait au moyen de jetons. Chaque jeton représentait une unité d'un certain ordre, dans le sens que nous avons donné à ce mot. Les jetons se disposaient sur une table ou abaque^ portant des lignes parallèles ou colonnes. Sur la première colonne (en comptant les colonnes de la droite vers la gauche j, on plaçait des jetons représentant chacun une unité simple ; sur la seconde colonne, des jetons représentant chacun une dizaine ; sur la troisième colonne, des jetons

1. C'est à cette rèpjle que correspond l'habitude, assez frôquerament suivie, de Uisser, dans récriture ou l'impression, un petit intervalle entre les tranche* de trois chiffres, afin do faciliter la lecture. On écrit, par exemple :

î. Le lecteur un peu familier avec l'arithmétique reconnaîtra que la numération parlée est en quelque sorte nuste : elle a à la fois dix et mille pour bases. On aurait eu un système simple en introduisant dos mots nouveaux pour les unités composées de dix en dix fois plus grandes.

représentant «chacun une centaine, etc.. On avait ainsi une représentation des nombres, très analogue à la représentation décimale. La même table servait au calcul et son usage s'est conservé jusqu'au siècle dernier (*). Le boulier des écoles et le suân-pân chinois oflFrent une disposition analogue.

Dans récriture cunéiforme, les Babyloniens notent les nombres de un à neuf par la répétition d'un même signe, puis les collections de dizaines par la répétition d'un même signe différent du premier, puis les collections de centaines, encore par la répétition d'un autre signe.

Dans les systèmes de cette nature s'introduisirent des abréviations qui en altérèrent la simplicité et le caractère systématique. A ce type de numération, on peut rattacher la numération romaine, bien connue du lecteur : cette numération, si on la bornait à l'emploi et à la répétition des signes I, X, C, M,..., pour représenter les unités, les dizaines, les centaines, les mille,... serait une véritable numération décimale. C'est les abréviations qui la défigurent, et notamment celles qui se rapportent aux nombres comme IX, XIX, XC,... voisins d'un nombre qui s'exprimerait par un symbole simple; ces abréviations rendent très pénibles tout calcul direct, effectué sur les nombres écrits. Les Égyptiens avaient un mode de numération analogue à celui des Babyloniens et comportant aussi des abréviations (»). Les Grecs de l'école d'Alexandrie introduisirent une notation très systématique, qui consistait à représenter les neuf premiers nombres par les neuf premières lettres de l'alphabet, les neuf premières collections de dizaines par les neuf lettres suivantes, les neuf premières collections de centaines par les dernières lettres de l'alphabet (complété par quelques autres caractères); pour les mille, ils recommençaient à employer les neuf premières lettres, en plaçant un signe au-dessous; ils comptaient ensuite par dizaines de mille ou myriades^ puis par myriades de myriades, etc.. Us étaient en possession de tables de multiplication assez étendues.

Quant au système actuel de numération écrite, comportant l'emploi de neuf chiffres significatifs et du zéro, ainsi que la règle qui concerne la valeur relative des chiffres, il fut introduit dans l'Inde à

1. Dans la première scèao du Malade imaginairey c'est avec dos jetons qu'Argan fait ses comptes.

2. Voici ane particalaritë assez remarquable de leur façon de procéder dans les calculs : pour faire une multiplication, ils ne multipliaient jamais que par le nombre deux, et réunissaient ensuite les produits partiels : le lecteur se rendra aisément compte do la meilleure manière pour procéder ainsi en supposant le multiplicateur écrit dans lo système binaire. (Voy. Ex. 8, 9.) La pratique de la division était fondée sur le mémo principe.

une époque qui n'est pas bien déterminée, mais qui, toutefois, semble postérieure à Tère chrétienne. L'invention de ce système est un fait capital dans l'histoire de la science et l'habitude que nous avons de la numération décimale ne doit pas nous empêcher d'admirer la merveilleuse simplicité de son mécanisme.

Les Arabes rapportèrent de l'Inde la numération décimale et les principales règles de calcul. Ce système pénétraainsi dans l'Occident vers le onzième ou douzième siècle (*).

L'emploi des chiffres significatifs a précédé, dans l'Occident, l'usage du zéro. Leur première introduction est contemporaine de Gerbert (vers l'an 1000). Us servaient alors à distinguer les jetons au moyen desquels on calculait. L'introduction du zéro n'eut lieu que deux cents ans plus tard (^).

Exercices (';.

1. Combien y a-t-il de nombres différents ayant un nombre donné de chiffres. 5 chiffres par exemple? Combien y a-t-il de nombres différents n'ayant pas plus de 5 chiffres?

2. Un livre a 300 pages. Combien faut-il de caractères pour numéroter ces pages? Combien de fois emploie-t-on le caractère 0, le caractère 1, le caractère 2, etc.?