RÈGLES DE TROIS

mesurent la première dans deux de ses états A,, A^; on connait le premier des nombres b^, b^ qui mesurent la seconde dans les étals Bp B^qui correspondent à A,, A,; on demande le second nombre. On a, si les grandeurs sont directement proportionnelles, la relation

b, a/ doù Ton lire

et, si les grandeurs sont inversement proportionnelles,

d'où Ton tire

374. Nous n'avons considéré jusqu'ici que deux espèces de grandeurs liées Tune àlautre. Mais il peut arriver qu'une grandeur d'espèce (X) soit liée àplusieurs grandeurs d'espèces(A),(B),(C),...;(P),(Q),(R),..., de façon que toutes ces dernières grandeurs étant déterminées la première (X) le soit. C'est ainsi, par exemple, que le volume d'un parallélépipède rectangle est déterminé quand ses trois dimensions sont déterminées. De môme, le nombre d'ouvriers (travaillant tous également) qu'il faut pour creuser un fossé d'une certaine longueur, d'une certaine largeur dépend de cette longueur et de cette ' largeur, de la longueur et de la largeur que creuse un ouvrier en une heure, du temps que Ton veut employer à creuser le fossé.

Supposons ainsi la grandeur (X) liée aux grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q),(R),.... Lorsque Ton donne des valeurs fixes à toutes ces derr nières grandeurs sauf à l'une d'elles, on peut dire que (X) ne dépend plus que de celle-là. Par exemple, si l'on se donne deux dimensions d'un parallélépipède rectangle, le volume de ce parallélépipède ne dépend plus que de la troisième dimension. Supposons que, dans ces conditions, la grandeur (X) soit directement ou inversement proportionnelle à la grandeur que l'on n'a pas {\\iie, suivant que celle-ci appartient à l'une des espèces (A), ^B), (C), ... ou à l'une des espèces (P), (Q), (R),... : on dira alors que la grandeur (X) est directement

proportionnelle aux grandeurs (A), (B), (C), ... et inversement proportionnelle aux grandeurs (P), (Q), (R), ... .

S'il en est ainsi, et si Ton considère deux étatà X„ X, de la grandeur (X), qui correspondent respectivement aux états

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des grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ... , en sorte que chacune de ces grandeurs, sauf (A), ait la même valeur dans les deux états, ou devra avoir

Xj Aj

Au contraire, si Ton considérait deux états Xj, X, correspondant aux états

**p t>|, Cip .. . , Kp Vp Kp ... ,

Ap Bp Cj, ...; P„ Qp Rp ...

des grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ..., en sorte que chacune des grandeurs, sauf (P), eût la même valeur dans les deux états, on devrait avoir

Par exemple, le temps T nécessaire à n ouvriers pour creuser un fossé ayant partout la même profondeur, une longueur A, une largeur B, est directement proportionnel à A et à B, inversement proportionnel à f7, en supposant que, dans le même temps, chaque ouvrier creuse toujours la même surface, à la profondeur voulue.

375. Voici maintenant le genre de problèmes, connus sous le noai de règles de trois composées^ auxquels donne lieu la notion d*une grandeur directement ou inversement proportionnelle à plusieurs autres.

On considère deux états différents, Xj et X,, de la première grandeur, auxquels correspondent les états Ap Bp C„ ... ; P,, Op Rp ... des grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ... , d'une part, et, d'autre part, les états A^, B^,C^, ... ; Pj, Q^, R^, ... des mêmes grandeurs. Chaque grandeur étant mesurée, dans les deux états où on doit la considérer, avec une même unité, on connaît les nombres ap^p c^, ...; /^p^p^'t, ... qui mesurent Ap Bp Cp ... ; Pp Qp Rp ... et les nombres «,, ^,, r^, ... ; Pi^ Ci-» ^2» ••• qui mesurent A^, B^, C^, ...: P^, Q,, R^, ...; en désignant