X H O V CL
se trouve mesurée par le nombre * ^';' '"' *; puis quand (B) devient égale à b^ unités, la grandeur (X) est mesurée par le nombre
î '" ' *; quand (C) est devenue égale k c, unités, puis que, de Oj ô, c,...
même, toutes les grandeurs auxquelles la grandeur (X) est directement proportionnelle ont pris les valeurs qui correspondent au
X D o V CL b C
second état, (X) est mesurée par le nombre .*'" ^ * *'" ; si
maintenant (P) devient égale à p^ unités, (X) devient p^ fois plus
X t) o V tCt b c m m
petite et est mesurée par le nombre *^' ^\ '"' ^ * ^'"; enfin, quand
toutes les grandeurs (Q), (R), ... sont devenues. Tune après l'autre, égales à q^ unités, à r^ unités, etc., la grandeur (X) est dans le second état : elle est mesurée par le nombre
MN ^ x^p^q^r^,,M^biC^,..
Outre les facteurs déjà énumérés, on a introduit au numérateur,
RÈGLES DE TROIS. Zi3
cette toâSy les nombres a^y 6,, e,, ... qui, dans le second état, mesurent les grandeurs (A), (B), (C), ... auxquelles la grandeur (X) est directement proportionnelle, et, au dénominateur, les nombres p„ 9,, r„ ... qui, dans le second état encore, mesurent les grandeurs (P), (Q), (R), . . . auxquelles la grandeur (X) est inversement proportionnelle. L*égalité précédente résout le problème posé. On en tire
- — -Xt^X — X...X — X-X — X...;
d'où la conclusion suivante : le rapport des nombres qui mesurent la grandeur (X), dans le second état et dans le premier, est égal au produit des rapports des nombres qui mesurent, dans le second et le premier état, les grandeurs auxquelles (X) est directement proportionnelle, multiplié par le produit des inverses des rapports des nombres qui mesurent, dans le second et le premier état, les grandeurs auxquelles (X) est inversement proportionnelle.
11 est à remarquer que chacun des rapports est indépendant de Tunité choisie pour mesurer la grandeur qu'il regarde : si, dans les deux états de cette grandeur, les nombres qui la mesurent se trouvaient être fractionnaires, on pourrait, en changeant d'unité, s'arranger pour qu'ils fussent entiers ; le rapport ne changerait pas. Cette remarque montre que la formule précédente et la formule (1), qui lui est équivalente, subsistent lors même que les nombres a,, 6j, Cj, . . . ; »j, ^j, r,, ..., ou a„ 6j, c^, ...;/>„ y,, r,, ... sont fractionnaires, bien que le raisonnement suppose qu'ils soient entiers.
On observera que le raisonnement par lequel nous sommes parvenus à l'expression de la mesure d'un parallélépipède rectangle dont on connaît les dimensions, est un cas particulier du précédent.
376. Exemple, — Un roanuracturier a dépensé une première fois i 560 francs pour payer 52 ouvriers dont chacun a travaillé pendant 50 heures ; une antre fois il a dépensé 4i58 francs pour payer un certain nombre d'ouvriers dont chacun a travaillé 6 heures. Quel était ce nombre?
Il est sous-entendu que, dans tous les cas, chaque ouvrier reçoit la même paye pour une heure de travail.
Reprenons sur cet exemple le raisonnement général, pour signaler une difficullé qui se présente quelquefois.
Si, pour gagner 1560 francs pendant 50 heures, il faut que les ouvriers soient au nombre de 52: pour gagner la même somme pendant i heure, il faudra que les ouvriers soient 50 fois plus nombreux, c'est-à-dire soient au nombre de 52 X 50, et pour gagner i fr. pendant 1 heure il faudra que les ouvriers soient 1560 fois moins nombreux que les précédents, c'est-à-dire au
52 X 30 nombre de — . „ .^. ; pour pagiier 4158 francs pendant 1 heure, il faat
que les ouvriers soient en nombre 4158 fois plus grand, c'est-à-dire en
nombre égal a j^^ , et, pour gagner la même somme en
6 heures, il faudra 6 fois moins d'ouvriers, c'est-à-dire un nombre d'ou-
vriers égal a — .^^^ ^^ , . Ln réduisant cette fraction, on obtient
iooO X o
3 X 5 X 7 X 11 = 1155 ouvriers.
Le raisonnemenl, bien que conduisant à un résultat exact, contient un
intermédiaire absurde; on a dit, en effet, qu'il fallait pour gagner 1 fr. en
1 heure un nombre d'ouvriers égal à
et il est bien clair que le nombre d'ouvriers doit toujours être un nombre entier. Ici l'unité, pour le nombre d'ouvriers, est imposée parla nature; elle ne peut être subdivisée, comme s'il s'agissait de quantités continues. On s'en tirera en décomposant cependant cette unité naturelle en unités fictives. On imaginera, par exemple, que chaque ouvrier puisse être remplacé par 3 enfants, qui effectueraient, dans le même temps, le même travail que lui. Alors les nombres d'ouvriers auxquels on parvient, exprimés en nombre d ouvriers enfants, devraient être, à chaque fois, triplés. Il faudrait pour gagner 1 fr. en 1 heure, 5 ouvriers enfants; puis, pour gagner 4158 fr. en 6 heures, il faudrait un nombre d'ouvriers enfants égal à
et par consé({uent un nombre d'ouvriers réels trois fois moindre. On voit que, en somme, l'introduction de cette unité fictive ne trouble pas le résultat et permet de raisonner sur des nombres entiers.
Dans tous les cas analogues, on pourra se tirer d'affaire par des artifices semblables, artifices dont, à la vérité, on se dispense habituellement dans la pratique.
§ 2. — Intérêts simples.
377. Le prêt à intérêt consiste à prêter une certaine somme d'argent, un capital, à cette condition que, pendant le temps où il jouira de ce capital, l'emprunteur versera au prêteur une certaine somme, dite intérêt du capital. Le capital, d'ailleurs, appartient toujours au prêteur.
Dans le prêt à intérêt simple^ on admettes conditions qui suivent:
INTÉKÊTS SIMPLES. ai5
I/inlérét produit par un capital pendant un certain temps est proportionnel à ce capital, au temps du prêt et au taux de Fintérêt. qu'il nous reste à définir.
Le taux de l'intérêt, c'est, k proprement parler, Hntérét rapporté pendant l'unité de temps par Tunité de capital : par exemple, si Ton prend pour unité de temps l'année, pour unité de monnaie le franc, ce sera l'intérêt rapporté par l franc prêté, ou placée pendant i an.
Le taux est habituellement représenté par une fraction dont le dénominateur est 100 et le numérateur un nombre simple comme 1, 2, 3, 4, 5, 6; il peut être d'ailleurs un nombre fractionnaire comme 3,5 ou 4,5 (trois et demi, quatre et demi). L'habitude est d'énoncer d'abord le numérateur en faisant suivre des mots povr cent, que l'on sous-entend même quelquefois, lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté possible. En écrivant, au lieu d'employer la notation habituelle des fractions ordinaires ou décimales, on écrit souvent le numérateur en faisant suivre du symbole 7o» Q"* s'énonce povr cent. Ainsi on dira le taux quatre pour cent, le taux quatre et demi pour cent, et l'on écrira 4 7o» ^ i 7o stu lieu de 0,04; 0,045. Quand on n'énonce pas l'unité de temps, c'est Vannée qui est cette unité ; mais on peut employer les mêmes façons de parler, en se servant d'autres unités de temps ; ainsi prêter à 2 7o en prenant le semestre pour unité de temps, c'est la même chose que de prêter à 4 7o ^" prenant pour unité de temps l'année. L'expression pour cent s'explique d'elle-même : si le taux est par exemple 5 %» ^^^^ ^^^ cent francs rapportent cinq francs.
On employait autrefois l'expression : prêter au denier tant, par exemple au denier vingt, au denier douze. Cela revient à représenter le taux par une fraction dont le numérateur est un, et dont le dénominateur est le nombre que Ton fait précéder de l'expression au
5 1 dénier; ainsi, puisque Ton a — - = —, prêter à 5 7o^ c'est prêter au
denier 20, et l'on entendait par là qu'un denier était rapporté par vingt deniers.
378. La relation qui existe entre l'intérêt, le capital, le temps du prêt et le taux résulte immédiatement du théorème du n*375. Supposons que, en prenant une certaine unité de monnaie et une certaine unité de temps, le capital, le taux, l'intérêt, le temps du prêt soient représentés par les nombres A, r, a^ t; on observera que a et r peuvent être regardés comme des nombres qui représentent les intérêts respectivement rapportés par les capitaux A et 1 pendant les
temps ( et 1 ; on doit donc avoir, d'après les conventions adoptées,
akXt
ou
a = kri.
Reprenons k nouveau, pour démontrer cette formule, le raisonnement de la réduction à Tunité, en supposant, pour fixer les idées, que les unités de monnaie et de temps soient le franc et Tannée, el en outre que les nombres A et t soient des nombres entiers. On dira : 1 franc placé pendant 1 an rapporte une somme égale à r; k francs placés pendant 1 an rapporteront une somme A fois plus grande, ou r x A, et A francs placés pendant t années rapporteront une somme qui sera encore t fois plus grande, c'est-à-dire r X A x ^ On a donc a=krt. On observera que lors même que les nombres Aet ^ seraient fractionnaires, ce raisonnement s'appliquerait encore, avec quelques modifications sur lesquelles il semble inutile d'insister.
Au bout du temps t le prêteur possède, outre la somme prêtée A, l'intérêt krt de cette somme; il possède donc la somme
k + krt=k{i+r();
c'est là la valeur acquise par la somme A au bout du temps /. La relation
a = krt
entre les quatre quantités a, A, r, / permet, quand trois de ces nombres sont connus, d'en déduire le quatrième. On a ainsi les relations
rt
~Âr'
^''Tt
qui font connaître le capital qu'il faut placer à un taux donné r, pendant un temps donné /, pour avoir un intérêt donné a, etc.. Chacune de ces formules peut d'ailleurs s'établir directement par le raisonnement relatif aux règles de trois composées.
379. Si le placement ne s'effectue pas pendant un nombre entier d'années, t est une fraction. Un cas très fréquent est celui où le temps est donné en jours. On regarde alors l'année comme ayant 360 jours; 1 sera donc donné par une fraction dont le dénominateur sera 360 et
le numérateur le nombre n de jours pendant lesquels l'argent a été prêté, en sorte que la formule fondamentale devient
on pourrait aussi bien récrire
et Ton observera que .-r-Tjr est précisément la somme rapportée par
un franc pendant un jour, c'est le taux quand on prend le jour pour unité de temps, et alors le temps du prêt est mesuré par le nombre n. La formule ainsi écrite ne diffère donc de la formule générale que par le sens nouveau qu'y prennent les facteurs du second nombre. On verra de même la modification qu'il convient de lui faire subir quand on prend la semaine pour unité de temps : on regarde alors l'année comme comprenant exactement 52 semaines. C'est le mode employé dans les Caisses (f épargne, où l'on ne tient compte, d'ailleurs, pour le calcul des intérêts, que du nombre entier de semaines pendant lesquelles l'argent a été placé. 380. Dans les maisons de banque, on a à appliquer très fréquem-
ment la formule « = -^^^7^; on a recours, pour effectuer les calculs, à
quelques artifices qui ne sont pas sans intérêt. Observons que, dans une suite d'opérations de même nature, ce sont les nombres A et n qui changent, le taux de l'intérêt r reste le même ; supposons que
ce taux r soit donné sous la forme 77—; en d'autres termes, l'argent
est placé au taux r' 7o- On pourra écrire, en remplaçant r parj;^»
kr'n An
36000 le nombre — -;— s'appelle le diviseur relatif au taux r'; désignons-le
par d; on aura
An
on obtiendra l'intérêt en divisant par d le produit An.
Dans la pratique, le nombre r' a souvent Tune des valeurs
auxquelles correspondent les diviseurs
qui sont tous des nombres entiers. La division par Tun quelconque de ces nombres, surtout pour teux qui correspondent aux taux 3,6; 4; 4,5; 6, sera, comme on le voit, extrêmement facile.
On observera, sur la formule générale, que le diviseur est le nombre de jours pendant lesquels il faudrait placer un capital pour que rintérétfût égal à ce capital; cette formule, si Ton y suppose n=:d, donne, en effet, a= A. On voit de même qu'un capital égal au diviseur produit un franc d'intérêt par jour.
Méthode des parties atiqtiotes, — En posant d == 100^, la formule générale s'écrit
Ah J
les valeurs du nombre S relatives aux taux usuels se déduisent de celles du nombre d en supprimant deux zéros à droite.
Un procédé de calcul assez avantageux consistera à mettre ;i sous la foin 10
n = «5 + Uj + ^2 + fia 4-. .M
q désignant le quotient à une unité près de la division de n par 9 el «1, n^y «3, ... des diviseurs (au sens arithmétique) du nombre entier 5» choisis de façon que leur somme soit le reste de la division de n par 5. On a vu au n" 165 comment on pouvait mettre le reste sous cette forme, et cela de façon que les nombres Uj, n^, Hj, ... aillent en décroissant. On aura alors
ou, en désignant par pj, p^, pj, ... les quotients entiers de la division de ^par fij, ng, «3, ...,
On aura ensuite
fi fi ' Pi j>2 ^3
et chacune des parties de cette somme se calculera très rapidement si, comme il arrive d'habitude, les nombres ;)(, p,, p,, ... sont petits. On aura ensuite, pour avoir a, à prendre le centième du résultat.
Soit à calculer, par exemple, l'intérêt de 8649',75 pendant 129 jours
Ici le nombre 9 est égal à 72 dont les diviseurs sont
72, 36, 24, i8, 12, 9, 8, 6, 4, 3, 2, 1 et l'on a 129 =72 + 36 + 18 + 3,
on a à ajoutera 8649,75 sa moitié, son quart, son vingt-quatrième; on formera ces deux derniers nombres en calculant la moitié de la moi lié de 8649,75 puis le sixième du résultat ; on trouve ainsi en négligeant les centimes
en divisant le résultat par 100 on obtient l'intérêt cherché, 154,97.
Si le taux de l'intérêt n'était pas un des nombres simples que nous avons supposés, on pourrait faire les calculs avec celui de ces nombres qui se rapproche le plup du taux donné et ajouter ensuite un terme correctif relatif à ce que l'o*! a négligé.
Si, en effet, le '.aux (pour cent) r' est la somme de deux nombres r,', r'^, on a
Ar'n __ Ar\n Ar'^n 36000 "" 36ÔÔÔ .36000'
en sorte que l'on peut calculer l'intérêt produit par le capital A au taux l'^^/oj en faisant la somme des intérêts produits par le môme capital placé pendant le même temps aux taux r\^/oj v'i^l^.
381. On dit qu'un négociant a un compte courant chez un banquier lorsqu'il dépose des capitaux chez ce banquier, qui, de son côté, remet de l'argent au négociant, ou effectue des paiements pour son compte. Ces sommes portent d'ailleurs intérêt à un taux convenu. Le bordereau est le détail des sommes versées par le négociant chez le banquier, ou payées par le banquier au compte du négociant, avec les dates des versements ou paiements.
Le règlement de compte s'effectue à des dates déterminées, dites époques de clôture : c'est une opération dont le résultat est Y avoir du négociant chez le banquier à une telle date. Considérons la
350 LEÇONS D'A«1THMÉTIQI:E.
période de temps qui s'écoule entre deux époques de clôture. Si Targenl ne portait point intérêt, l'argent du négociant, à chaque instant de cette période, et en particulier à la clôture, serait la différence entre la somme des capitaux versés par lui et la somme de ceux payés par le banquier : cette différence est ce qu*on appelle la balance des capitaux.
Supposons maintenant que Targent porte intérêt, on subdivisera la période entre deux époques de clôture en périodes partielles, pendant chacune desquelles il n'a été fait ni versement ni paiement, imaginons qu'au début de chaque période partielle, c'est-à-dire d'une part après le dernier règlement, d'autre part après chaque versement ou paiement, on ait fait la balance des capitaux ; on ca1> culera l'intérêt qu'aurait produit pendant cette période partielle la somme représentée par cette balance ; on fera le total de ces intérêts et ce total, ajouté à la balance des capitaux relative à l'époque de clôture, constituera l'avoir du négociant chez le banquier à ce moment; son compte sera réglé.
Si l'on suppose que l'intervalle de temps entre deux règlements de compte successifs soit de N jours et que les périodes partielles pendant lesquelles il n'est fait ni versement ni paiement soient de i*„ ^2^ ... Hp jours, on aura
^=n,+n^+,..-\-np.
Pendant la première période partielle de w, jours, c'est la somme résultant du dernier règlement de compte qui porte intérêt; désignons-la par B,, désignons de même par B^ la balance des capitaux au commencement de la seconde période partielle, après un versement ou un paiement, par Bj la balance des capitaux au commencement de la troisième période, après que l'on a fait encore un versement ou un paiement, etc.. : si rfest le diutsetir relatif au taux de l'intérêt convenu, l'intérêt qu'il faudra ajouter à la balance finale des capitaux sera
Les balances Bp B,, ..., B^ se calculent immédiatement, par des additions ou soustractions, d'après le bordereau.
382. On peut d'ailleurs éviter le calcul des balances en suivant une autre méthode, dite rétrograde ou indirecte. La règle qui résume cette méthode résulterait d'une transformation facile de la formule précédente, transformation que j'omets à cause de son
caractère un peu algébrique : celte règle peut être établie directement.
Pour rendre le langage plus uniforme, nous regarderons, dans la formule précédemment établie, la première somme Bj comme une somme versée par le négociant chez le banquier le jour du précédent règlement de compte, ou, si Ton veut, le jour de Touverture du compte.
Observons que Tintérét produit, pendant un temps donné, par la somme de deux capitaux étant la somme des intérêts que produirait chacun de ces capitaux, l'intérêt produit par la différence entre deux capitaux devra de même être la différence entre les intérêts que produiraient séparément ces capitaux.
Observons aussi que chaque balance est une pareille différence entre les sommes versées par le négociant et celles payées par le banquier au compte du négociant. On voit dès lors qu'on obtiendra l'intérêt cherché en calculant d'une part Tintérêt produit, entre le jour du versement et Tépoque de clôture, par chaque somme que verse le négociant, d'autre part l'intérêt produit, entre le jour du paiement et l'époque de clôture, par chaque somme que paie le banquier au compte du négociant, et en retranchant du total des premiers intérêts le total des seconds.
Ainsi, pour calculer l'intérêt cherché, on multipliera par le nombre de jours compris entre l'époque du versement et l'époque de clôture chaque somme versée par le négociant, et on fera le total P de ces produits; on multipliera de même par le nombre de jours compris entre l'époque du paiement et l'époque de clôture chaque somme payée par le banquier pour le compte du négociant, on fera le total Q de ces produits; on fera la différence entre les totaux et l'on divisera la différence par le diviseur d relatif au taux de l'intérêt convenu.
J'ai supposé, dans ce qui précède, que la balance des capitaux était à chaque instant en faveur du négociant. Les conventions peuvent être autres et le banquier peut prêter plus d'argent qu'il n'en reçoit. La règle précédente s'applique dans tous les cas, soit que la balance des capitaux ait toujours été en faveur de l'une ou do l'autre des deux parties, soit qu'elle ait été tantôt en faveur de l'une tantôt en faveur de l'autre. Seulement la différence que l'on doit faire à la fin, si elle ne peut se faire dans le sens indiqué, se fera dans l'autre sens et représentera alors une somme due au banquier par le négociant. La justification complète de cette règle, bien que facile, exigerait quelques développements que je préfère laisser de côté ; elle est immédiate pour le lecteur en possession des règles de calcul relatives aux nombres négatifs.
352 LEÇONS D'ARITH.MÉTIQLE.
La règle que Ton vient de décrire serait d'une application très facile si Tépoque de clôture était déterminée à Tavance; chaque jour de versement ou de paiement, rien n'empêche de calculer la partie correspondante des nombres P ou Q. Les calculs étant ainsi
préparés, le calcul du nombre — -7 — se fera immédiatement, le
jour de la clôture. Mais il importe de pouvoir clore le compte le jour que Ton veut; aussi est-ce d'une façon un peu différenle que l'on procède.
Désignons par P' le total des produits obtenus respectivement en multipliant par le nombre de jours écoulés entre la date d'ouverture et la date du versement chaque somme versée par le négociant, désignons de même par Q' le total des produits obtenus respectivement en multipliant par le nombre de jours écoulés entre la date d'ouverture et la date du paiement chaque somme payée par le banquier pour le compte du négociant; il est clair que la quantité
P~Q F--Q P + F Q-hQ d '^ d " d d
représentera l'intérêt que produirait pendant les N jours écoulés entre l'ouverture et la clôture une somme égale à la balance
finale B^, des capitaux: en effet, — -^ — , par exemple, est l'intérêt,
pendant N jours, des sommes versées par le négociant : on a donc P — QBpN P'— Q'
et c'est le second membre de cette égalité que l'on calcule, en ayant préparé à l'avance, chaque jour de versement ou de paiement, la partie correspondante du nombre P' ou Q'; le jour de clôture, ou n'aura qu'à calculer le nombre B^,N.
383. Ce qui précède s'applique aux comptes de chèques. Un particulier qui, par exemple, ne veut pas garder de grosses sommes chez lui dépose son argent chez un banquier, qui lui remet un cahier de chèques, cesi-k-dire un livre à souche contenant une série de feuilles qui peuvent en être détachées et dont chacune porte une formule telle que : Payez à à ordre ou au porteur la somme
de . Paris, le
Si le particulier veut effectuer un paiement, au lieu de le faire en monnaie, il dlHache une feuille (un chèque) du livre à souche et écrit
