ESCOMPTE

Pour chaque billet donl Téchéance est postérieure à Téchéance commune, on calculera la valeur escomptée de ce billet à l'époque de l'échéance commune; pour chaque billet dont l'échéance est antérieure à Téchéanco commune, on calculera sa valeur acquise en le supposant placé pendant le temps compris entre son échéance vraie etl'échéance commune ; on conscrvera, s'il y en a, les valeurs nominales des billets dont l'échéance coïnciderait aTOC l'échéance commune ; on fera la somme de toutes ces valeurs, ce sera la valear nominale cherchée de l'efTet unique.

Le lecteur habitué à l'usage des nombres négatifs n'aura aucune peine à réunir ces différents cas dans une seule formule.

387. Échéance moyenne. — On a plusieurs effets de commerce payables ù des échéances diverses; on connaît ces échéances ainsi que les valeurs nominales de ces effets, on veut les remplacer par un effet unique, donl la valeur nominale soit la somme des valeurs nominales des effets et qui ait même valeur au comptant; on demande quelle échéance on devra prendre pour ce billet: cette échéance (cherchée) est dite échéance moyenne.

Soient Aj, A„ ...» A^ les valeurs nominales des effets payables respectivement dans nj, n,, ..., n^ jours; soit N le nombre de jours au bout desquels doit avoir lieu l'échéance moyenne ; on calculera ce nombre iN de manière que l'escompte d'un billet dont la valeur nominale serait A, -f A2+... +A^, payable au bout de N jours, soit égal à la somme des escomptes des billets dont les valeurs nominales sont A,, A^, ..., A^ et qui sont payables au bout dent, n,, ..., n^Jours. En désignant par d le diviseur relatif au taux de rintérét, on devra donc avoir :

et, par conséquent, en multipliant les deux membres par d,

(A, -\- Aa + ... A^)N = Ajni + A^n^-^ ... H-A^n^, d'où Ton tire finalement

A,nj -f AgUa 4- ... 4- A^^n^

A, 4-A2 H- ... A^ )eut se calculer e de leurs dénominateurs la somme des numérateurs des fractions

Le nombre N ainsi obtenu peut se calculer en divisant par la somme

ionc

(n* 212) compris entre le plus petit et le plus grand des nombres Wi,n2, ..., n^,.

"i — » •••» "a~^' ^"^ ^^"^ respectivement égales à «j, Wj, ..., n^, : N est donc

356 LEÇONS D'AIIITHMÉTIQUE.

§ 3. — Intérêts composés.

388. Supposons qu*un négociant dépose une somme A chez un banquier, sans jamais y toucher, à cette condition qu'elle soit placée à intérêt, au taux r (par franc), et que Ton règle son compte chaque année, comme il a été expliqué au n" 381 : quel sera lavoir du négociant au bout de n années?

Au bout d*un an, la valeur acquise par la somme A est la somme du capital A augmenté de l'intérêt Ar, c'est-à-dire A + A.r = A (1 + r) ; au premier règlement de compte, l'avoir du négociant sera A (1 -|- r)» il s'obtient en multipliant par 1 -f- r la somme placée au commencement de l'année; l'avoir du négociant à chaque règlement de compte s'obtient de même en multipliant par 1 +r l'avoir tel qu'il était au précédent règlement de compte ; il sera donc A (1 + r) (1 -f- r) = A (1 + r)* au bout du second règlement de compte, A(l + r)' au bout du troisième, et A(l+^r ^^ ^^^^ ^u ^'*'"*' règlement de compte, c'està-dire au bout de la n'^"'* année. La valeur acquise A', dans ces conditions, par la somme A, sera donc

Placer de l'argent dans ces conditions, c'est ce qu'on appelle placer à intérêts composés.

Une somme est placée à intérêts composés lorsqu'elle est regardée comme placée à intérêt timp/e pendant chaque année^ et quau bout de chaque année on lui ajoute les intérêts produits dans cette supposition^ lesquels porteront eux-mêmes intérêt pendant Vannée suivante^ comme le capital.