La formule
suppose que n est un nombre entier; dans le cas où n serait un nombre fractionnaire, somme d'un nombre entier m et d'une fraction— plus petite que un, il serait naturel, d'après les suppositions
précédentes, de regarder la somme A comme placée à intérêts composés pendant m années, au bout desquelles elle aurait acquis une valeur égale à
el de regarder ensuite cette dernière somme comme placée à intérêt
simple pendant le temps — : elle rapporterait alors un intérêt égal à
en sorte que la valeur acquise par la somme A, au bout du temps
p m -| — , évalué en années et fraction d année, serait
A(1+rr + A(l+rrx^ = A(l+rr(l+Çy
En réalité, ce n'est pas par cette formule que le calcul se fait, mais
bien par la formule A' = A (1 + r)"'+î, laquelle n*a pas actuellement de signification, mais qui en acquerra une plus tard (n"* 451, 452). Elle donne des résultats un peu plus faibles. Bornons-nous ici au cas où, le nombre n étant entier, on applique la formule
390. Le calcul de A' quand on connaît A, r, n, ou de A quand on connaît A', r, n, est assez pénible. Le lecteur familier avec Tusage des logarithmes voit de suite la commodité quUls permettent dans les calculs. V Annuaire du Bureau des longitudes (*) contient des tables
qui donnent les valeurs de (1 + r)" et de pour les taux
(i-fr)"
r=: 0,025; 0,03; 0,035; ...; 0,055; 0,06 et pour les valeurs de n qui s'étendent de 1 à 34. Dans ces limites, le calcul de Tune des quantités A et A' connaissant Tautre se fait, en utilisant ces tables, par une simple multiplication ; il est aisé de voir qu'on peut s'en servir pour des valeurs de n supérieures à 34.
Exemple. — ■ Quelle somme faudrait-il placer à intérêts composés pour avoir au bout de 63 ans un capital de 10000 francs, le taux étant r = 0,03 ? On aura
I. Je signale celle publication parce qu'oUo est très répandue : c'est en quoique sorte Valmanaeh de tous ceux qui ont une culture scienti tique; mais ceux qui s'occupent de grandes opérations financières ont besoin de tables plus étendues : on les trouvera par exemple dans la Théorie de» intérêts componés et des annuités do Kédor Thoman ou dans la T/iéorie mathématique des opérations financières do M. Charloii (Gauthier-Villars et fils).
on trouve d*ailleurs dans la table
on trouve, pour le produit de ces deux nombres, avec une erreur moindre que -rj , la valeur 0,155330 ; on aura donc :
Le calcul de.n, d'après la formule
A' = A(l+rr,
quand on connaît A, A', r, n'est pas du ressort de l'Arithmétique; toutefois, les tables dont je viens de parler permettront d'obtenir approximativement le résultat si r est un des taux contenus dans les tables.
Cherchons, par exemple, au bout de combien de temps un capital placé à intérêts composés au taux r = 0,05 aura obtenu 10 fois sa valeur. Vraisemblablement, ce ne sera pas au bout d'un nombre exact d'années ; mais on peut chercher un nouïbrc entier m tel que l'on ait
(1 + rf < 10 < (1 -h rr + ';
/a plus haute valeur de (1 + r)'" qui se trouve dans la table est 5,253348, qui correspond à m = 34. Au bout de trente-quatre ans, 1 franc est devenu 5',253348; au bout de combien de temps cette somme deviendra-t-elle 10 fr.? On est amené à chercher un nombre entier m' tel que Ton ait
La fraction jr-^.i^Trrz, convertie en fraction décimale, donne le nombre
D,2ooa4o approché 1,903548; les valeurs de (1 -j r)" contenues dans la table qui comprennent 1,903548 sont 1,885649 et 1,U79932, qui correspondent à n = 43 et n = 14; par conséquent, le temps cherché est compris entre 34 -f- 13 et 34 -f- 14, ou entre 47 et 48 années. Quant à la fraction d^année qu'il faudrait ajouter à 47, on pourrait la chercher en appliquant la formule
A'--:A;i+rr(l +Ç),
où Ton supposerait — = 10, r = 0,05, m = 47; mais le résultat ne serait
qu'approximatif, puisque cette formule ne représente qu'approximativement la loi des intérêts composés pour les fractions d'année.
Quand n augmente, la quantité (l + r^ augmente très rapidement, en sorte que la loi des intérêts composés n'est nullement applicable lorsqull 8'agit de longues périodes d'années, de plusieurs siècles par exemple.
§ 4. — Partagres proportionnels.
Règrles de société, d'alllaere, de mélangée.
391. Partages proporiionnelit. — On donne d'une part un nombre B, d'autre pari p nombres a^ a^^ ..., a^; on se propose de trouver p nombres 6,, ^„ ..., ùj, proportionnels aux nombres dp a^, ..., a^. et dont la somme soit B.
Les deux suites
doivent être proportionnelles; il en est de même des deux suites ^^^>i V^ + 62 + .-- + V
Tous les termes sont connus dans la seconde suite; dans la première suite, on ne connaît que le dernier terme, qui est égal à B. D'ailleurs le rapport d'un terme de la première suite au terme correspondant de la seconde doit toujours être le même; on doit donc avoir
et par suite
a, tf, -i-fl^-f-..
«i "i + aï + -
Ba,
Il convient de remarquer que les résultats resteraient les mêmes si Ton substituait aux nombres o^, a^, ..., ^j, proportionnellement auxquels le partage doit s*effectuer d'autres nombres 0^,0^,..., a qui leur fussent proportionnels. Cela en effet reviendrait à multiplier . par un même nombre tous les nombres apa,,...,^^, et, par conséquent, à multiplier par un même nombre les deux termes de chacune des fractions qui fournissent les expressions de é,, 6j, ..., é^.
Réciproquement, si Ton prend pour les nombres é,, à^, ..., b^ les valeurs précédentes, ces nombres s'obtenant en multipliant a^, rtj, ..., rt^ par un même nombre, à savoir
sont proportionnels à /y,, a^, ..., a^; d'autre part, leur somme est
Ce sont donc bien les nombres cherchés.
Règle, — Pour partager un nombre en parties proportionnelles à des nombres donnés, on multiplie par ces derniers nombres le nombre que Ton veut partager, et Ton divise les produits par la somme des nombres proportionnellement auxquels on veut faire le partage.
Exemples, — Diviser 24 proportionnellement à 1, 2, o; les résultais sont
24 X \ „ 24X2 . 24Xo .... — y~ - 3, —g— = 6, —g— - \o ,
les nombres 3, 6, i5 sont proportionnels à 1, 2, 5 ; leur somme est 24. Diviser 32 proportionnellement à 2, 7, 8, 5; les résultats sont :
392. Règles de société., — Ces règles ont pour but de déterminer le partage des bénéfices (ou des pertes) entre associés qui ont mis en commun des capitaux dans une affaire.
La règle de société est simple si les associés ont placé leurs capitaux pendant le même temps. Alors on partage le bénéfice proportionnellement à ces capitaux.
La règle de société est composée si les associés ont placé leurs capitaux pendant des temps différents. On partage alors le bénéfice
proportionnellement aux produits obtenus en multipliant la mise de chaque associé par le temps pendant lequel il a coopéré à TafTaire.
La seconde règle contient, comme cas particulier, la première ; il suffira de la justifier.
Supposons, par exemple, qu'il y ait trois associés dont les mises soient respectivement A„ A,, A,, et que ces capitaux aient été engagés dans Taffaire pendant des temps n^ n,, n^. Désignons enfin par B Tintcrêt à partager. Nous supposerons que les nombres Ap Aj, A3, w,, rij, Wj soient entiers; on réalisera cette condition en subdivisant s'il le faut Tunité de monnaie et celle de temps. Pour fixer le langage nous supposerons que la première soit le franc, la seconde le jour. Nous admettrons que chaque franc, pendant un jour, produit la même parcelle de bénéfice.
Désignons cette parcelle de bénéfice par b ; A, francs engagés pendant un jour produiraient une part de bénéfice égale àôxAj, la même somme engagée pendant n^ jours produirait une part de bénéfice égale à ^ X Aj X n, = A,n,6 ; de même, A^, A, francs placés pendant n„ n, jours produiraient des parts de bénéfice égales à A^n^A, A3W36; on voit que les parts des associés sont proportionnelles à A,jî,, k^n^y A3W3; c'est ce qu'il fallait établir. Ce résultat est indépendant des unités choisies, soit pour la monnaie, soit pour le temps, car la modification de ces unités ne fait que multiplier les nombres AjW,, A^Wj, A3W3 par un même nombre, c'est-à-dire ne fait que remplacer ces nombres par des nombres proportionnels. Les parts des associés seront respectivement
BAjfij
AjMj + \,n, -f A,7/3
BA^r?,
A,w, + K^fi + K^'3
