BA

Il pourrait se faire qu'un associé engageât à des époques successives plusieurs capitaux. On le remplacerait par autant d'associés fictifs qu'il a engagé de capitaux, et on lui attribuerait comme part la somme des parts qui reviendraient à chacun des associés fictifs.

393. Mélanges et alliages; valeur moyenne; titre moyen. — On a des volumes de vins, A„ A,, ..., A^„ de qualités difi*érentes; les prix de l'unité de volume sont respectivement n,, w,, ..., n^. On les mélange ensemble; quel sera le prix de l'unité de volume du mélange?

Divers morceaux d'alliages contenant le même métal précieux ont des poids représentés par les nombres A^Aj, ..., A^, et des titres représentés par les nombres n„ n„ ..., n^. On fond tous ces morceaux en un seul alliage ; quel sera son titre?

Les deux problèmes sont au fond identiques.

!• Rappelons que le prix d*un certain volume de vin s'obtient en multipliant le nombre qui exprime le volume de ce vin (n* 357) par le nombre qui exprime le prix de Tunité de volume. Inversement, le prix de Tunité de volume, pour un vin dont un volume donné coûte un prix donné, s'obtient en divisant le second nombre, celui qui exprime le prix, par le premier, celui qui exprime le volume.

Les prix des volumes A „ A„ ..., A^ seront donc respectivement Aj/îj, AjWj, ..., A^n^,; le prix de tout le vin mélangé sera donc A,Wj -|- A^Wj» + ••• + \%y comme le volume du mélange est mesuré par le nombre A, -f A,-j-...-|-A^, le prix de l'unité de volume sera donné par le nombre

c'est, si l'on veut, le prix moyen du vin. On pourrait constater, comme au n* 387, que N est compris entre le plus petit et le plus grand des nombres w,, Wj, ..., w^,. Le prix moyen ne changerait pas si l'on remplaçait les nombres Aj, A^, ..., A^, par des nombres proportionnels. Le lecteur n'aura aucune peine à établir la même règle, en passant par les intermédiaires de la méthode de réduction à l'unité; il supposera pour cela que les nombres Aj, A^, ...,A^ soient entiers, et représentent, par exemple, des litres.

2* De même, le poids d'un métal précieux, de fin, contenu dans un alliage s'obtient en multipliant le titre de cet alliage par le nombre qui mesure le poids du morceau d'alliage. Le poids de fm contenu dans les morceaux dont les poids sont respectivement mesurés par les nombres Aj, A,, ..., A^ seront respectivement AjW,, A^Wj, ..., \n^. Le poids de fin contenu dans l'alliage final sera mesuré par le nombre k^n^ -f- A^n^-j- ... + A^,n^,; le poids du morceau .<le cet alliage sera Aj -f A^-f ...H- A^ ; son titre sera donc

j^ Vi + A,>?, + ■■■ + V^ .

Ai + A,+ ... + A^ '

c'est, si l'on veut, le titre moyen. Ici encore, le titre moyen ne

change pas si Ion remplace les nombres Aj, À,, ...,A par des nombres qui leur soient proportionnels.

394. Dans le cas 0(1 Ton ne mélange que deux espèces de liquides, où Ton ne fond ensemble que deux morceaux d'alliages différents, le prix par unité de volume du mélange, ou le titre de ialliage résultant, est donné par la formule

"""" A, + A, ' ou

en désignant toujours par A,, A, les nombres qui mesurent le volume des liquides que l'on mélange, ou le poids des morceaux d alliages que Ton fond ensemble, et par n,, n, les prix par unité de volume de ces liquides, ou les titres de ces alliages. N est le prix par unité de volume, ou le titre, du mélange, ou de Talliage résultant. Celle formule conduit à quelques conclusions intéressantes, qui seront utilisées plus ta'rd.

Si Ton aw, = n„ il est clair que Ton a aussi N = n4 = Wj, et ce résultat était évident a priori.

Si Ton an, <n„ on a (n* 212),

D'ailleurs, l'égalité

A,N + AjN =i A,w, + AjWj

peut s'écrire

ou, successivement.

Ainsi, les dift'érences entre le prix, par unité de volume, du mélange et le prix, par unité de volume, des liquides qui constituent le mélange sont inversement proportionnelles aux volumes de ces mélanges, ou bien les différences entre le titre de l'alliage résultant et le titre de chacun des alliages composants sont inversement proportionnelles aux poids des alliages composants.

395. L'égalité (N — m,)A, :::= (w^ — N)A2, que nous avons déduite de la formule qui donne N, peut recevoir une interprétation concrète, qui permet de rétablir a priori. Plaçons-nous dans le cas des mélanges : supposons que les nombres A,, A, soient entiers, que Tunilé de volume soit le litre et, pour rendre l'interprétation plus claire, imaginons que le mélange soit fait par un marchand de vin qui a acheté A, litres de vin à Hj fr., A, litres de vin à n, fr. et qui veut vendre le mélange au prix coûtant. Continuons de désigner par N le prix coûtant d'un litre du mélange : si le marchand vend tout le mélange à N fr. le litre, il gagnera par litre de la première qualité une somme égale à N — n^, soit, en tout, (N — n^) x A,, et il perdra par litre de la seconde qualité une somme égale kn^ — N, soit, en tout, (»ïj — N) X Aj-, s'il veut que sa perte et son bénéfice se compensent, il faut donc que l'on ait

Cette remarque donne l'explication des règles dites de mélange ou d'alliage.

Dans ces problèmes, qui concernent le mélange de deux espèces de liquides, ou le titre de l'alliage résultant de la fonte de deux alliages, on se donne habituellement le prix du mélange par unité de volume, ou le titre de l'alliage résultant; on connaît d'ailleurs le prix par unité de volume, ou le titre des éléments composants. On peut se donner la quantité (volume ou poids) du mélange ou de l'alliage résultant, et chercher alors les quantités des éléments composants ; on pourra aussi donner l'une de ces dernières quantités el chercher l'autre, ainsi que le volume du mélange ou le poids de l'alliage résultant.

En d'autres termes, en conservant les notations du numéro précédent, on connatt les nombres n^ n,, N et le nombre Aj -f- ^= ^ ^^ l'on veut avoir Aj et A,; ou bien encore on connaît w,, w,, N et l'un des nombres A,, A„ et on veut avoir l'autre et la somme des deux.

Le premier problème revient à partager le nombre B en parties inversement proportionnelles à N — «p w, — N, ou, ce qui revient au même, en parties directement proportionnelles à w, — N, N — ii, ; ces parties seront :

B(yi, — N) B(>>, — N)

K— N) + lN — wj~ n,— v, B(N — r>,) B(N -- n,)

(w, — N) + (N — w.) "~ "^/'^Tj;;;

PARTAGES PROPORTIONNELS. 86r»

Le second problème revient à calculer un terme d'une proportion dont on connaît trois termes.

Exemples. ~ !• On a du vin à 0',50 le litre, du vin à (^JS le litre : quelle quantité devra-t-on prendre de chacun pour avoir 200 litres de vin à 0',60 le litre?

Prenons le cenlime pour unité de monnaie. On devra partager 200 en parties inversement proportionnelles aux deux nombres 60 — 50 = 10 el 75 — 60=15, ou en parties directement proportionnelles aux nombres 15 el 10 ; ces parties seront *

ainsi on devra prendre 120 litres de vin à 0',50 le litre et 80 litres de vin n 0^,75.

2' On a 1000 grammes d'argent pur et un lingot d'argent au titre de 0,835. Quel poids devra-t-on fondre de ce lingot avec les 1000 grammes d'argent pur, pour avoir un alliage au titre de 0,900?

Le litre de l'argent pur doit être regardé comme égal à 1 ; les différences des tilres sont respectivement 0,900 — 0,835 = 0,065 et 1 —0,900 = 0,100; les poids d'alliages employés doivent être inversement proportionnels à ces nombres, ou aux nombres 65, 100; on doit donc avoir, en désignant par x le nombre qui mesure le poids du lingot d'argent à 0,835 qu'il faut prendre

X 100 iOOO "" 65 ' d'où

En écrivant la dernière égalité , on entend simplement que si Ton convertit la fraction --..\— en fraction décimale, les premiers chiffres que

Von trouve sont 1538,5... .

Il faut donc prendre environ 1538'^, 5 du lingot à 0,835 et l'on aura un lingot à 0,900 pesant 2538^5.

396. Dans les problèmes de cette sorle on dispose souvent les calculs comme il suit : sur une ligne horizontale on place (en supposant qu'il s'agisse d'alliages) les nombres qui représentent les litres n,, lu des alliages donnés; puis entre ces deux nombres, un peu au-dessous, le titre N de l'alliage que l'on veut obtenir; sur une seconde ligne horizontale, les différences N — n,, ^2 — N, de façon que chacune soit sur le prolongement de la ligne oblique qui contient les deux nombres dont elle est la différence; c'est ce qu'on appelle faire les différences en croix : les poids des deux alliages que l'on emploie doivent être directement proportionnels à ces

360 LEÇONS D'AKrTHMETfQUE.

difTéreiices, en faisant correspondre chacune à Talliage dont le litre est au-dessus d'elle. La disposition décrite est figurée ci- dessous :

Wj — N iN — - «4

Les poids n, — N, N— w, d'alliages aux titres n, et n^ fournissent un alliage au titre N; il en sera de même de poids proportionnels. De môme pour les mélanges.

Dans les deux exemples traités, on aurait les dispositions qui suivent :

Dans le premier cas on a à partager 200 proportionnellement à 0,15 et 0,10, ce qui donne 120 et 80; dans le second, on a déterminer x par la proportion :

§ 5. — Rentes perpétuelles.

397. Cest V impôt qui fournit à TËtat les sommes nécessaires pour doternormalement les différents services; des circonstances peuvent se produire où il a besoin de capitaux considérables que Timpôt ne peut lui fournir immédiatement ; alors, il emprunte. Il emprunte, en fait, sous différentes formes ; nous ne nous occuperons ici que de Tune de ces formes, rémission de Rentea perpétuelles.

En 1872, par exemple, TÉtat français a fait un emprunt de 3 milliards de francs. Cet emprunt a été fait en rentes 3 Vo au cours de 84^50. Cela veut dire que, en échange de 84',50 donnés le jour de rémission, TÉtat garantissait à celui qui lui apportait cette somme une rente de 3 francs par an.

Il garantissait de même à tous ceux dont il recevait les capitaux une rente proportionnelle à la somme versée, dans la proportion de 3 francs pour 84^50, de façon toutefois que la rente fût égale à un nombre entier de francs, au moins égal à 3.

La garantie de l'État est représentée par un titre de rente. Un titre de rente est un morceau de papier sur lequel est inscrit le montant de la rente annuelle que le possesseur de ce titre peut loucher dans les caisses de TÉtat. Il porte Tindication du type de la

RENTES PEllPETUELLES. 367

rente, 3 Vo dans Texemple choisi, et diverses autres indications, en

particulier un numéro d'ordre qui permet de le distinguer des autres

titres analogues. La valeur nominale d'un titre de rente de 3 francs,

du type 3'/o, est 100 francs, c'est-à-dire que TÉtat se réserve le

droit de cesser le paiement des 3 francs de rente, sous la condition

de rembourser 100 francs au possesseur du titre de 3 francs de

rente.

La valeur nominale d'un titre de rente de a francs, du même type,

A « X 100 «era de même — ^

398. Les titres de rente sont d'ailleurs de diverses espèces : ils sont nominatifs^ au porteur^ ou mixtes. Dans le premier cas, ils portent le nom du possesseur, qui touche sa rente dans les caisses de l'ÉCat en montrant son titre; les titres au porteur sont regardés comme appartenant à celui qui les détient; ils contiennent descoupons, dont chacun porte une date ; à partir de cette date, le porteur du titre peut détacher le coupon et toucher le prix inscrit sur le coupon. Les titres mixtes portent le nom du possesseur et contiennent des coupons pareils à ceux des titres au porteur. Il y a, dans les titres au porteur et dans les titres mixtes, quatre coupons par an, qui correspondent aux quatre trimestres de l'année. Les titres nominatifs ou mixtes offrent au possesseur une grande sécurité : les titres au porteur sont plus facilement échangeables.

Il y a actuellement (1894) deux sortes de rentes perpétuelles, les rentes 3Vo, que l'on vient de prendre pour exemple, et les rentes 3JVo, qui proviennent des rentes 5Vo> converties en 188.'^ en rentes ij'^/o, puis, au commencement de 1894, en rentes 3^V<»i par une opération dont je parlerai bientôt : les coupons des rentes 3Vo se touchent le 1*** janvier, le 1" avril, le 1" juillet, le 1" octobre; les coupons de rente S^Vo se touchent le 16 février, le 10 mai, le 16 août, le 16 novembre.

399. Les titres de rente sont l'objet d'une spéculation continuelle. La Bourse est le marché où ils se vendent ; leur prix varie chaque jour, selon l'offre et la demande, c'est-à-dire qu'il faut donner, suivant les jours, des sommes différentes pour avoir 3 francs de rente. Ces prix sont publiés dans la Cote officielle de la Bourse, reproduite par la plupart des journaux. Ces indications de prix sont suivies de la

' date à laquelle a été payé le dernier coupon : ainsi, la mention « jouissance 1" juillet » veut dire que le coupon du 1*^'' juillet de Tannée courante a été détaché.

Par exemple, le 9 février 1894, le 3V«» était coté 98',15, c'est-à-

dire qu'il fallait, en dehors de quelques frais accessoires dont *e parlerai plus tard, payer 98',15 pour avoir 3 francs de rente. Le taux de l'intérêt de ce placement était donc (*) :

pour un franc.

Si Ton désigne par a le nombre 3 ou 3,5 suivant qu'il s'agit du

type 3Vo ou du type 3,5 7o, par c le cours de la rente du type

considéré, par A le capital avec lequel on veut acheter de la rente,

par a la rente annuelle que produira ce capital, on a en général

Axa

et cette formule pourra faire connaître Tun des quatre nombres a, a, A, c quand on connaît les trois autres. Il convient toutefois d'observer que a doit être un nombre entier; on verra plus tard comment on doit tenir compte de cette condition, ainsi que des frais accessoires.

400. Avant 1894, les deux types de rente qui existaient étaient le 3 */• et le 4fV.; par exemple, le 20 octobre 1893, le VI. valait 98',30, c'est-à-dire qu'il fallait payer 98',30 pour se procurer 3 francs de rente ; de même, le 4 ^ Vo valait 105 francs : par conséquent, le taux, rintérôt d'un franc, était pour la première valeur

I. Poar calculer le quotient d'une division par un nombre trèi voisin de 100, soit en moins, soit en plus, il est commode de so servir de Tune ou do l'autre des égalités

— tt\i\ t(\t\» ' lA/iS *■* -^—

que je laisse au lecteur le soin de démoutrer (V. Ex. 18))).

Les termes successifs des seconds membres décroissent rapidement et se calculent sans peine. En ne conservant respectivement que les termes

100 + lOOi + 100»' lOU 100» "^ 100»' on commettra des erreurs qui seront rospectivoment moindres que

100» (100 — a) 10U»(luO-fa)

moindres par conséquent que /^f » &' « ^Bt plus petit que 3.

et pour la seconde