Ce théorème est dû À Cauchy

LIMITES. 4âr3

moindre que - s'ils sont tous deux moindres que A, ou plus grands

que A; si Tun était plus grand que A, l'autre plus petit, leur difTérence mutuelle serait certainement moindre que s. I^ proposition est démontrée. 2* La condition est suffisante. Supposons en elfet qu'elle soit vérifiée; tous les termes de la suite qui suivent le p**"« sont compris entre a^, — « et a^ -f • ; il est clair que tous les nombres de la suite sont inférieurs ou égaux au plus grand des nombres

a,, Oj, .., a^^i, «,, + •:

par suite, l'ensemble fourni par les nombres distincts de la suite considérée est limité (*). Désignons en général par An et B» les limites supérieure et inférieure de Tensemble formé par les nombres distincts de la suite

il est clair, d'après les remarques laites aux n" 460, 461, que l'on a, quel que soit l'entier n :

on a donc, en supposant m > «,

et rinégalilé A„ >B ^ subsiste d'ailleurs quels que soient les nombres entiers n etm, puisque, si Ton remplace m par un nombre plus petit, B,„ne peut que diminuer. Si donc on considère les deux suites

Al, Aj, ..., A„, ...»

Bi, B„ ..., B„, ...,

les termes de la première ne vont jamais en augmentant, les termes de la seconde ne vont jamais en diminuant; d'ailleurs un terme quelconque de la première est supérieur ou égal à n'importe ([uel terme de la seconde. Chacune des suiles a une limite, et si nous désignons ces limites par A, B nous aurons, quel que soit n :