A,.£ASB„, A„SB>B

On observera en passant que les conséquences qui précèdent subsisteraient pourvu que les nombres a„ Og, ..., a„, ... formassent un ensemble limité, et il serait aisé de montrer encore que, dans ces conditions, on a A >B.

1. On prouverait de même, si l'on considérait des nombres négatifs, qu'il est limité par en bat.

Quoi qu'il en soit, A^ — B„ est la limite supérieure de Tensemble des nombres distincts que Ton peut obtenir en retranchant Tun de Tautre deux des nombres a„^i, «n+s» ••• i^'' *^2). Si donc toutes ces diirérences sont inférieures à e, on aura A„ — B„ ^ •, et celle inégalité subsiste si l'on remplace n par un nombre plus grand, ce qui ne peut que diminuer la différence A„ — B„. Si donc on donne un nombre • aussi petit qu'on le veut, mais différent de zéro, on pourra lui faire correspondre un nombre entier p, tel que Ton ait, pourvu que n soit supérieur à p :

A„-B„gt;

les deux suites

A|, Aj, .. f A„, ..,, B„ Hj, ..., B„, ...

sont donc dans le cas du n» 470; leurs limites respectives A, B sont donc égales; d'ailleurs, des inégalités

on conclut que la différence entre A et a^j j est moindre que A^ — B^^ par suite moindre que t, pourvu que n soit plus grand que p; a a donc A pour limite quand n augmente indéfiniment.

472. Enfin, on prend encore le mot limite dans un sens différent de ceux qui précèdent, sens qu'il me reste à expliquer.

Considérons un ensemble déterminé quelconque, comprenant un nombre infini de termes. On appelle valeur limite de cet ensemble tout nombre A tel que, quelque petit que soit le nombre e, différent de zéro, on puisse affirmer qu'il y a un nombre infini de termes de l'ensemble dont la différence avec A soit moindre que e.

Supposons que l'ensemble que l'on considère soit limité et que M et m soient ses limites supérieure et inférieure; on a démontré au n* 460 que si M n'était pas un ternie de l'ensemble, M était une valeur limite de c€t ensemble, au sens qui vient d'être donné à ce mol; de même m, si ce nombre n'appartient pas à cet ensemble.

De môme, si Ton considère une suite

qui admette une limite A et dont tous les termes ne soient pas, à partir d'un certain rang, égaux à A, elle comprendra nécessairement un nombre infini de termes distincts, et l'ensemble formé par ces termes distincts aura A pour valeur limite.

La notion de valeur limite d'un ensemble conduit à la proposition suivante :

Si un ensemble (E) est limité et si M et m sont respectivement la limite

inférieure de cel ensemble, cet ensemble admet au moins une valeur limite qui est ou M, ou m, ou un nombre intermédiaire.

Si m se trouve être une valeur limite de l'ensemble, il nV a pas lieu à démonstration. Supposons qu'il n'en soit pas aiusi : alors il existera des nombres a plus grands que m et tels qu'il n'y ait qu'un nombre fini de termes de l'ensemble entre m et a; en effet, nier l'existence d'un nombre a, c'est affirmer qu'il y a une infinité de termes de l'ensemble entre m et n'importe quel nombre plus grand que m, c'est dire que m est une valeur limite de l'ensemble.

Considérons maintenant l'ensemble (A) des nombres a supérieurs à m, tels que, entre m et chacun d'eux, il n'y ait qu'un nombre fini de termes de l'ensemble (E). L'ensemble (A) est limité, puisque entre m et M il y a une infinité de termes de (E) et que, ainsi, tout terme de (A) est forcément inférieur à M. Désignons par A' la limite supérieure de l'ensemble (A) ; ou aura certainement

Je dis que A' est une valeur limite de l'ensemble (E). Soit en effet • un nombre aussi petit qu'on le voudra, différent de zéro, je dis que entre A' — « et A' + « il y aune infinité de nombres appartenant à l'ensemble (E). En effet, d'une part, entre m et A' — t, il n'y a qu'un nombre fini de termes de l'ensemble (E), car il y a certainement un nombre de l'ensemble (A) qui est plus grand que A' — • ; entre ce nombre-là et m, il n'y a qu'un nombre fini de termes de l'ensemble (E). Si donc, d'autre part, entre A' — • et A' 4- e, il n'y avait qu'un nombre fini de termes de l'ensemble (E), il n'y en aurait aussi qu'un nombre fini entre m et A' + «, en sorte que A' + • appartiendrait aussi à l'ensemble (A). La proposition est donc démontrée (<).

Exercices.

284. Si A est un nombre irrationnel, en lui ajoutant, en lui retranchant un nombre rationnel, en le multipliant par un nombre rationnel autre que zéro, en le divisant par un nombre rationnel, on obtient toujours un nombre irrationnel.

285. Si X est un nombre irrationnel et si a, 6, a', b' sont des nombres rationnels» le nombre

ax -\- b a'x + b'

est irrationnel, à moms que Ion n ait — = -r,'

286. En désignant par « et e des nombres irrationnels dont les représentations décimales sont

1. Elle est due à ^o/jrano, géomètre du commencement de ce siècle; elle joue un rôle essentiel dans la théorie des ensembles, théorie que l'on doit à M. G. Cantor.

on demande de calculer avec trois décimales exactes les nombres -• -» «■, e*, ^,

287. b étant un nombre irrationnel donné et a un nombre entier donné, autre que un, on peut trouver une suite indéflnie de nombres entiers

tous plus petits que a, tels que si Von considère le nombre é^ + î! + «• + ... + ??, on ait

En supposant 6 = v^, a = 2, calculer les nombres o^, «i> «t* •••* «lo*

288. Étant donnés un nombre irrationnel b et une suite indéfinie de nombres entiei*8, tous plus grands que un,

«!» ûl. "M û„, ...,

on peut trouver une suite de nombres entiers

tels que l'on ait «i < fli, 04 < «i, ..., «„ < a,», ... et tels que si Ton pose

on ait

289. On appelle moyenne arithmétique de deux nombres leur demi-somme, moyenne géométrique de deux nombres la racine carrée de leur produit. Démontrer que la moyenne arithmétique de deux nombres différents est plus grande que leur moyenne géométrique. La différence entre les deux moyennes est plus pelile que !e carré de la différence entre les deux nombres divisé par huit fois le plus petit.

290. Si X est un nombre compris entre 0 et 1, le nombre x (1 — x) est inférieur

ou égal à -; il ne peut lui être égal que pour x ^ -•

291. Si a est la racine carrée à une unité près, par défaut, du nombre A. on a

Si l'on rapproche ce résultat des n** 290 et suivants, on pourra apprécier Tavantage que présente, dans l'extraction de la racine carrée d'un nombre entier, l'emploi de la limite inférieure que l'on a Indiquée alors.

Voir dans le BuUetin des Sciences mathématiques (1887) un article de M. Darfooux sur ce sujet.

292. Si a. tt\ 6, b' sont des nombres rationnels dont les deux derniers ne sont pas des carrés parfaits, on ne peut pas avoir a -\- \ b :=. a! -\- \b' ou a — y6r=a' — \6' sans que Ton ait a = c', 6 = 6'; on ne peut pas avoir a -\' \b •=. a^ — y y.

NOMBRES IRRAT(ONNELS; LIMITES. 427

293. Démontrer que Ton a, quels que soient le nombre a et le nombre b plus petit que a.

Démontrer que le nombre

V a + 2 \/tt — 1 + V fl - !

est égal à 2 si a est compris entre 1 et 2 et à 2 ^a — l si a est plus grand que 2.

294. On considère deux ensembles limités : les limites supérieure et inrérieure du premier sont M et m, les limites supérieure et inférieure du second sont M' et m'. Démontrer que si l'on considère Tensemble des nombres différents obtenus en ajoutant un terme du premier ensemble et un terme du second, cet ensemble aura pour limites supérieure et inférieure les nombres M -h M', m -f m'. De même, rensemble des nombres différents obtenus en multipliant un terme du premier ensemble et un terme du second admet pour limites supérieure et inférieure les nombres MM', mm',

295. Si le nombre j?„ a pour limite x quand n augmente indéfiniment et si Ton désigne par a, b, c, d des nombres fixes dont les deux derniers ne sont nuls ni Tun ni l'autre, le nombre

a pour limite

ax -\- b ex -\- d

quand 7i augmente indéfiniment.