On considère une suite indéfinie

(1) /7„ 6,. «„ 6ti •••» «in *n» -M

lie nombres tels que chacun d'eux soit compris entre les deux qui le précèdent Démontrer que les deux suites

(2) Ou a%, •., «m -

ont chacune une limite; si ces deux limites sont les mêmes, la suite (1) a encore une limite qui est aussi la même.

298. Etant donnés deux nombres a, 6 et a étant le plus petit de ces deux nombres, on forme la suite

a, 6, ai, 6i, ^,, 6„ ..., a„, 6„, ...,

43B LEÇOXS D^RITHlIÉnQCE.

dans laquelle chaque t^ine est U noyenne arithméciqae des deux précédents ;

ainsi on a

a -^ b . «i4-^ fl, 4-6, » 6i

Démontrer qae Ton a

a, = a + U-a(l-lX

quelle est, pour n infini, la limite commune de a, et tle b^* 290. Si les termes de la suite indéûnie

vont en décroissant et si Ton forme les nombres

6, = fl,, 6, =r a, — a^ ^ = fl, — tf, -|- Oj, Ô4 = a, — «t 4- ^'i — "4» — t

les suites

bt, 64, 6,, ... 62^, ...

ont des limites. Ces limites sont égaies si a^, a pour limite zéro quand n augmente indéfiniment, dans ce cas la suite

a aussi une limite qui est la même que celle des suites précédentes.

300. Soient a et ^ deux nombres donnés; soient /ti, 6, les moyennes arithmétique et géométrique de a, 6; soient Oi, b^ les moyennes arithmétique et géométrique de Oi et 6,,fl, et 6, les moyennes arithmétique et géométrique deo^et 6,, etc.; on continue ainsi indéfiniment : démontrer que a^ et 6„, quand n augmente indéfiniment, tendent vers une limite commune.

En supposant a > b, démontrer que Ton a

/fl 6\ *'*

Calculer la limite avec 7 décimales exactes, en supposant a = 11, 6 = 10.