Soit a une valeur approchée de \/Â ; soient ensuite

les nombres «i, Oj, ..., On* ••• fournissent des valeurs qui approchent rapidement de \/Â, toutes par excès.

Démontrer que Ton a

û„ -h VA ~ Va, + V^/ '

vers quelle limite tend a^ quand n augmente indéfiniment?

Le procédé de calcul de la racine carrée d'un nombre qui résulte de la proposition précédente était connu des Anciens.

306. Étant donnés deux nombres a, 6, on forme une suite de nombres a,, 6„ ^t* 6«, ..., a„, 6„, ... tels que Ton ail

chaque terme de la suite a, b, a„ 6,, ««, 6„ ... est ainsi, à partir du troisième, alternativement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux termes qui le précèdent; en supposant « < ô, les termes de la suite a, «,, Ot» ••• vont en croissant, les termes de la suite b, 6„ 6,, ..., 6„, ... vont en décroissant; démontrer que Ton a

que On et 6„ tendent vers une limite commune quand n augmente indéfiniment. En est-il de même quand on a a > 6?

En supposant a = o, à =^ --, calculer la limite avec trois décimales exactes.

309. a étant un nombre entier autre que un, on considère une suite indéfinie de nombres entiers

tous plus petits que a, et Ton considère le nombre

démontrer que 6„, lorsque n augmente indéfiniment, tend vers une limite : cette limite est un nombre irrationnel si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite

ne se reproduisent pas périodiquement.

310. On considère une suite indéfinie de nombres entiers, tous plus grands que un,

«1» ''l» ^i^ •.» Cm •..

et cme suite de nombres entiers correspondants

*lï *t» *s» •••» *ii, •••

tels que Ton ait, quel que soit n, «,(<«„; soit, en désignant par ot« un nombre entier quelconque

démontrer que 6„ tend vers une limite quand n augmente indéfiniment.