On considère une suite indéfinie de nombres entiers

*l» ^» *Sî •••» *n» •••

dont le premier est quelconque et dont les autres satisfont aux conditions «j < 2, a, < 3, ..., o^< n, .... et l'on pose

démontrer que a^ tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. Cette

"^ limite est un nombre irrationnel, sauf dans le cas où, à partir d'un certain rangp,

1 tous les nombres o^ sont nuls, ou dans le cas où, à partir d'un certain rang p, on a

oi,j = n — 1. — Dans le cas où Ton prend a, = 1, ot, = o^ = ... «„ = ... =1, cette

limite est un nombre que Ton désigne babituellement par e,

312. a étant un nombre quelconque autre que zéro, le nombre y a a pour limite l'unité quand n augmente indéfiniment.

Si en désignant par b un nombre quelconque plus grand que un et par p un nombre entier, on pose a = 6'' — 6, puis

, = Ça, a-, = Va + Va, x, = Va + Va + ^'â,

et, en général, «n = V« + ^n - 1» on demande de démontrer que ar„ est plus petit que 6 et a pour limite b quand n augmente indéfiniment.

Quelle est la limite de jc„ quand p et a sont égaux à 2? 313. On pose

a, = v/2, fl, = V^2 + yj'2, a, = \2 -\-^i +^ et généralement

montrer que si l'on fait les calculs en conservant chaque fois p décimales l'erreur

(en moins) commise sur l'évaluation de a„ sera moindre que Calculer ainsi la

valeur approchée de <ïj en prenant p = 7. En partant de cette valeur calculer le nombre 6i X ^2 — «&; avec quelle approximation est-il connu?