Supposons que dans les deux suites

les termes aillent en diminuant (*) quand n augmente et que bn ait pour limite

zéro pour n infini, si le nombre j— ^ lend vers une limite quand n augmente

bn — bn^i

On

indéfiniment, -j- tend vers la même limite. bn

316. Si ttn tend vers une limite quand n augmente indéfiniment, il en est de même du nombre

a, + a, + «3 + ...+ On

317. Soit X un nombre irrationnel positif donné et m un nombre entier positif aussi donné : démontrer qu'il y a un système de nombres entiers positifs a, b dont W

1. Le leclenr familier avec la théorie des nombres nëfçatifs reconnaîtra que la proposition a démontrer subsisto quand la condition précédente n'est vëriAée que ponr-Ia seconde suite. 3. Ici encore cette supposition n'est nécessaire que pour la seconde suite.

premier esl inférieur ou égal à m, et tels que la valeur absolue de la différence ax—b

soit moindre que — (*).

tn

Prenons en effet pour a Vun des nombres 1, 3, ..., m, faisons-lui correspondre le nombre entier b qui est la partie entière de ax, et considérons la partie entière de m {ax — b\ qui est évidemment inférieure à m : elle prendra m valeurs positives ou nulles quand a prendra les valeurs 1, 2, ..., m; si Tune de ces valeurs est nulle, le théorème est vérifié ; si aucune n'est nulle, deux d'entre elles correspondant, par exemple, aux valeurs a', b' et a'\ b" de a, b seront égales, et le nombre m [[a" — af)x — (b" — b')] sera plus petit que un, en valeur absolue.

Par exemple, pour jt ^ 9c = 3,Ulô9... et m =: 10, en appliquant la règle précédente, on trouve qu'aucune valeur de la partie entière de m (ax — b) n'est nulle, mais que ces parties entières sont égales pour a' = 1, a'' = 8 ; pour a! = 2, a" == 9 ; a' = 3, a" = 10 : dans les trois cas on a a'' — a' = 7, b" — 6' = 22 ; 7« — 22 est

en valeur absolue plus petit que — . De môme pour x = «*, m = 10, on trouve

que la partie entière de 10 (7i6* — 69) est nulle ; — est une valeur approchée de ic*

avec une erreur moindre que =t.

318. Soient j?, y deux nombres irrationnels donnés et m, m' deux nombres entiers positifs aussi donnés ; démontrer qu'on peut trouver trois nombres entiers a, 6, c dont les deux premiers soient en valeur absolue moindres que m et m' et tels que la

valeur absolue de ax + 6t/ — c soit moindre que 7.

^ ^ mm'

Démonstration analogue à la précédente : à chaque système de nombres entiers o, b respectivement pris parmi les nombres 1, 2, ..., m et 1, 2, ..., m', on fait correspondre la partie entière c de (ax + by) ; on considère ensuite la partie entière de mm'iax + ^y — c) ; parmi les mm' nombres entiers ainsi obtenus, il y en a un qui est nul, ou deux qui sont égaux, etc. Par exemple, pour a: =«», y = «, m = m' = 20, on trouve que la partie entière de 20V12«* -{• in — 131) est nulle. — La racine positive de l'équation 12x* + 4* — 131 = 0 est x = 3,14157... .

319. Soient x, y deux nombres irrationnels positifs donnés et m un nombre entier positif aussi donné; on peut trouver trois nombres entiers a, 6, c dont le premier soit positif et inférieur à m* et tels que les valeurs absolues des nombres ax — b^ay — c

soient moindres que — .

Ayant choisi le nombre entier a parmi les nombres 1, 2, 3, ..., m«, on lui fait

correspondre les nombres 6, c qui sont les parties entières de ax, a»/, puis on étudie

les m* systèmes de valeurs que peuvent prendre les parties entières de m{ax — 6),

m{ax — c).

1. Cotte qudttion et les saivantes supposent lo lecteur familier avec Tusage des nombres négatifs.

Tannrbt.