MESURE DES GRANDEURS

§ 1. — Correspondance entre les gprandeurs et les nombres.

473. La dëlinition bien connue « on appelle grandeur ce qui est suscep* tible d'augmentation ou de diminution » est sans doute très vague dans sa généralité. Ou va toutefois essayer d'en tirer parti pour relier la notion de grandeur et la notion de nombre. En même temps, la première notion se précisera, peu à peu, pour celles des gi-andeurs auxquelles la notion de nombre s'applique exactement. Sans doute, c'est la uotion de grandeur, au moins dans des cas particuliers, qui a donné naissance à la notion de nombre, et dans cet Ouvrage même on s'est efforcé de le montrer lorsque, par exemple, on a introduit les fractions; mais on a vu aussi comment cette notion de nombre pourrait être détachée de son origine concrète, se construire entièrement avec un seul élément, le nombre entier, et êli^ amenée ainsi à un haut degré de simplicité et d'abstraction. Maintenant que la notion de nombre entier, fractionnaire ou irrationnel, est complètement élucidée, que les opérations sur ces nombres sont bien précisées, il vaut mieux se placer à un point de vue opposé, et, regardant le nombre abstrait comme un instrument donné et connu, chercher quel parti on peut en tirer pour l'étude des grandeurs : cet instrument, dont on a cherché à expliquer la construction en vue d'usages particuliers, se trouve en etfet pouvoir servir dans des cas beaucoup plus étendus.

Une grandeur sera donc un objet ou une propriété susceptible d'états distincts, qui, toutefois, sous ces états distincts, se reconnaît comme étant de la même espèce. Ainsi conçue, la grandeur est quelque chose d'indéterminé. Pour simplifier le langage, j'emploierai une lettre majuscule entre parenthèses, (G) par exemple, pour désigner une grandeur d'une certaine espèce; ce symbole (G) ne représente rien de déterminé, il ne se rapporte ({u*à V espèce de la grandeur. Dans chacun de ses états distincts, la grandeur (G) est déteiminèe; on la représentera alors par une lettre majuscule, sans parenthèses. Il y a peut-être quelque inconvénient à employer le même mot « grandeur » pour désigner à la fois, par exemple, une longueur en général et une longueur particulière ; mais la notation précédente et l'emploi de l'épi Ihète « déterminée » permettront de supprimer toute ambiguïté.

474. Si, par exemple, (G) est une longueur rectiligne comptée à partir d*un point 0 sur une droite OX limitée d'un côté à ce point et indéfinie