CORRESPONDANCE ENTRE LES GRANDEURS ET LES NOMBRES

de l'autre, à chaque position du point M sur la droite OX correspond une longueur déterminée CM ; quand le point M occupe sur la droite des positions distinctes, on a des longueurs distinctes. De môme, imaginons/ dans la durée, un moment déterminé, que nous appellerons origine des temps, et ne considérons que des événements postérieurs à cette origine

des temps ; à deux pareils événements non simultanés correspondront deux temps distincts, écoulés entre Forigine des temps et chacun de ces événements.

Dans les exemples que je viens de citer, si Ton imagine deux états distincls de la grandeur considérée, on ne peut s'empêcher de concevoir la grandeur comme étant plus grande dans Tun que dans l'autre. Si le point M' est, sur la droite OX, plus à droite que le point M, la longueur OM' est plus grande que la longueur OM. Si, des deux événements que Ton a imaginés, le second est postérieur au premier, et si Ton désigne par T,T' les temps écoulés entre Forigine des temps et chacun de ces événements, on dira que le temps T' est plus grand que le temps T.

Supposons d'abord que l'on s'occupe d'une grandeur (G) telle que, si on la considère dans deux états distincts A, A', elle soit nécessairement plus grande dans un état que dans l'autre (et plus petite dans ce second état que dans le premier) ; nous écrirons, par exemple, A > A' ou A' < A, et cette supposition exclut la supposition contraire A < A'. Nous admettons en outre que la notion de plus grand implique la proposition suivante : si l'on considère trois étals A, A', A" de la grandeur (G) et si l'on a A > A', A'>A" on a A>A", en sorte qu'on peut écrire A > A' > A" ; on dit que A' est compris entre A et A'', que A' est intermédiaire à A, A''.

475. Ceci posé, plusieurs cas peuvent se présenter : il peut arriver que si Ton considère deux états A, A' de la grandeur (G), il n'y ait qu'un nombre limité (entier) d'états intermédiaires à A, A' ; il existe alors des états de la grandeur (G) entre lesquels il n'y a pas d'états intermédiaires : c'est le cas des grandeurs discrètes, par exemple du nombre d'objets contenus dans une collection. J'écarterai ce cas relativement simple, auquel la notion de nombre entier s'applique particulièrement, et je supposerai que la grandeur (G) dont on s'occupe jouit de la propriété suivante : si l'on considère deux états A, A' quelconques, mais distincts, il y a au moins un état intermédiaire A" : il y en a alors une infinité, puisqu'il y a certainement un état A'" intermédiaire à A', A", etc.

476. Considérons maintenant deux états A, A' de la grandeur (G) et supposons qu'on ait A < A'; nous ne nous occuperons, dans ce numéro, que des états A, A' et des étals intermédiaires. Imaginons qu'on fasse correspondre aux états A, A' deux nombres entiers, 10 et 20 par exemple, en ayant soin de faire correspondre le plus petit entier 10 à la plus petite des grandeurs A, A'.

436 LEÇONS D^ARITHMÉTIOUE.

Aux diirérents nombres compris entre 10 et 20 nous allons faire correspondre des états intermédiaires à A, A' en observant toujours la condition suivante que nous appellerons la condition fondamentale : si aux nombres distincts 6, c on fait correspondre les états distincts B, C, on aura B < C ou B> C, suivant que l'on a6<cou6>c. A .des nombres égaux on fera toujours correspondre le même état de grandeur.

Aux nombres entiers compris entre 10 et 20 faisons correspondre, diaprés une loi déterminée, mais d'aillsurs arbitraire, des états intermédiaires à A et A', en observant toutefois la condition précédente.

Ou a ainsi établi une certaine échelle de graduation de A à A'. Considérons maintenant les fractions comprises entre 10 et 20 et dont le dénominateur est 2 ; pour celles de ces fractions qui sont égales à des nombres entiers, nous les ferons correspondre aux mêmes états qui correspondent à ces nombres entiers ; pour les autres, nous ferons correspondre chacune d'elles, qui se trouve comprise entre deux entiers consécutifs, à un état intermédiaire aux deux états qui correspondent à ces entiers consécutifs; nous aurons ainsi rapproché les échelons de la graduation en multipliant les étals de la gvandeur qui sont numérotés. Considérons de même les fractions comprises entre 10 et 20 dont le dénominateur est 3, en laissant de côté celles de ces fractions qui se trouveraient être égales à quelque fraction de dénominateur 2, que Ton ferait correspondre aux états déjà numéi'olés au moyen de fractions égales, et faisons correspondre à chacune de celles qui subsistent des états intermédiaires à ceux que Ton a déjà numérotés, en tenant toujours compte de la condition fondamentale.

Nous faisons de môme, successivement, pour les fractions comprises entre 10 et 20 dont le dénominateur est 4, 5, 6, ..., en resserrant toujours les échelons de la graduation. Cette opération pourra être continuée aussi loin qu'on le voudra. Dans la pratique, si l'on n'a pas été obligé de laisser des lacunes et si, en resserrant par places le numérolagey on n'en a effectivement pas laissé, il arrivera, quand on aura poussé la graduation assez loin, que deux états numérotés consécutifs seront à peine distincts, et qu'il n'y aura pas d'erreur appréciable à substituer l'un à l'autre, non plus qu'un état intermédiaire. La grandeur (G) sera en quelque sorte numériquement connue entre A et A', pourvu qu'on sache bien comment la correspondance entre les nombres et les états de grandeur a été établie ; quand on parlera d'un nombre compris entre 10 et 20, on saura quelle grandeur lui correspond. Suivant le degré de précision que l'on veut atteindre, la graduation peut être poussée plus ou moins loin-

Le thermomètre olfre au lecteur un exemple de ce que nous venons de dire, qui lui est bien familier (*).

Théoriquement, on peut imaginer que l'opération soit poursuivie indéfiniment ; alors, on pourra dire qu'à chaque nombre rationnel compris entre

1. ObserTons toutefois que, dans la pratique, la graduation est habituellement coiutniito •u moyen de nombres en progression arilhmétique.