GOUHESPONDANCE ENTRE LES GRANDEURS ET LES NOMBRES

10 et 20 correspond un état déterminé de ia grandeur (G), la condition fondamentale étant toujours vérifiée. Mais il importe de donner maintenant, en restant au point de vue théorique auquel nous nous plaçons, une forme précise à celte condition que j'ai énoncée sous forme vague : il n'y a pas de lacunes dans le numérotage, ce numérotage pénètre partout. Cette condilion consiste en ce que la graduation soit telle qu'il y ait des états numérotés, au moyen de nombres rationnels, entre deux états distincts quelconques B, C, intermédiaires à A, A' ; la grandeur (G) est supposée telle que cette condition puisse être vérifiée.

S'il en est ainsi, à chaque étal B de la .crandeur (G) compris entre A, A' correspond un nombre compris entre iO et 20. En efTet, ou bien l'état B a été numéroté au moyen d'un nombre ralionnel, ou bien il n'en est pas ainsi. Dans ce dernier cas, considérons un nombre ralionnel quelconque compris entre 10 et 20 : à ce nombre correspond une grandeur déterminée de l'espèce (G) qui est certainement dislincte de B suivant que cette grandeur est plus petite ou plus grande que B, nous rangerons le nombre ralionnel dans une première ou une seconde catégorie : tous les nombres rationnels compris enlre 10 et 20 sont ainsi rangés en deux catégories ; chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde catégorie ; si 6j est un nombre (rationnel) de la première catégorie, il lui correspond un état B, de la grandeur (A) tel que l'on ait B, < B et puisque, par hypothèse, il y a au moins un état B^ intermédiaire à B et à Bj, auquel correspond un nombre rationnel 6„ on voit qu'il y a dans la première catégorie un nombre 6j plus grand que 6j ; on voit de même que dans la seconde catégorie il ne peut y avoir de nombre plus petit que tous les autres nombres de la même catégorie. On a donc défini ainsi un nombre irrationnel b que Ton fera correspondre à l'état B.

Ce nombre est plus grand que tous les nombres qui correspondent à des grandeurs de l'espèce (G) numérotées au moyen de nombres rationnels et plus petites que B ; il esl plus pelil que tous les nombres qui correspondent à des grandeurs de l'espèce (G) numérotées au moyen de nombres rationnels et plus grandes que B.

Pour toutes ces grandeurs, la condition fondamentale est vérifiée.

Enfin si B' est une grandeur de l'espèce (G) à laquelle corresponde le nombre irrationnel 6' et si l'on a, par exemple, B < B', il y aura, par hypothèse, enlre les états B et B' un état intermédiaire B" numéroté au moyen d'un nombre rationnel 6" et les suppositions B < B", B'' < Bj entraînent les inéfzalités b < 6'% b" < b' et par suite 6 < 6'; la condilion fondamentale est encore vérifiée.

477. Inversement je supposerai qu'à chaque nombre irrationnel b compris entre 10 et 20 corresponde une grandeur B comprise entre A, A'. Pour bien nous rendre compte de la nature de cette nouvelle supposition, reportons-nous au premier exemple signalé, celui d'une longueur portée sur une droite OX, à partir du point 0 : soient M, M' les extrémités de

438 LEÇONS D'ARITHMÉTCQUE.

cette longueur pour les deux étals A, A' qui correspondent aux nombres 40 et 20; soit 6 un nombre irrationnel compris entre 10 et 20; désignons par 6' un nombre rationnel quelconque compris entre 10 et 6, par 6'^ un nombre rationnel quelconque compris entre 6 et 20 ; soient P' et P" les extrémités des longueurs qui correspondent aux nombres 6' et 6" ; imaginons par exemple que tous les points P' qui répondent à des nombres rationnels 6' plus petits que 6 soient marqués en bleu, que tous les points P"qui répondent à des nombres rationnels 6'' plus grands que 6 soient marqués en rouge : sur la droite OX, tous les points bleus sont à ^aucbc

des points rouges; les points bleus ne se mêlent jamais aux points rouges : d'un autre côté, entre les points bleus et les points rouges, il ne peut y avoir un espace libre, puisque, entre deux points quelconques de la droite OX, il y a, par hypothèse, des points auxquels répondent des nombres rationnels, c'est-à-dire des poinis bleus ou rouges; la région de la ligne OX où sont les points bleus ne peut donc être séparée de la région où sont les points rouges par aucun espace libre ; j'admettrai que les deux régions sont séparées par un pointy extrémité d'une longueur qui correspond au nombre 6.

478. Si la grandeur (G) est telle que, entre les états A et A', une graduation pareille à celle que l'on vient de décrire puisse être réalisée par la pensée, je dirai que cette grandeur est continue de A à A' ; à chaque nombre rationnel ou irrationnel compris entre 10 et 20 correspond un étal de cette grandeur intermédiaire à A et A' ; réciproquement à chaque élat intermédiaire à A et A' correspond un nombre rationnel ou irrationnel compris entre 10 et 20 ; enfin la condition fondamentale est toujours vérifiée.

Il est à peine utile de dire que la supposition faite au début, à savoir que les nombres qui correspondaient aux états A, A' étaient entiers, n'a rien d'essentiel.

479. Ceci posé, si l'on considère une grandeur (G) qui soit continue entre deux quelconques de ses états, diverses circonstances peuvent se présenter. Ou bien il y a des états de celte grandeur au delà et en deçà desquels elle ne peut pas varier, ou bien il n'en est rien. Les angles, en géométrie, fournissent un exemple bien connu du premier cas.

Supposons que la grandeur (G) soit ainsi nécessairement comprise entre deux états limites A et A', en dehors desquels elle ne puisse être conçue, et supposons qu'on ait A < A' ; il sera naturel de faire correspondre le nombre 0 à l'élat A et un nombre arbitraire à l'état A', par exemple un nombre entier (*); on procédera ensuite au numérotage des états intermédiaires, comme on l'a expliqué.

1. Ce serait le nombre 2, dans l'exemple citô, si Ion évaluait les angles en angles droit*, le nombre 180 si on les évaluait en degrés.