CORRESPONDANCE ENTRE LES GRANDEURS ET LES NOMBRES

480. Supposons maintenaol que la grandeur (G) soit telle qd"i\ existe un certain état Aq de cette grandeur, au-dessous duquel elle ne puisse pas descendre, mais que si Ton considère tel autre état A que Ton veut, distinct de Ao, il existe certainement un état A' tel que Ton ait A' > A ; on procédera comme il suit : on fera correspondra? l*état A^ au nombre 0, puis, choisissant des états A,, A,, A,, ... tels que Ton ait A, < A2< A„ ..., on les fera correspondre aux nombres entiers i, 2,3,...; on imaginera que cette opération de numérotage au moyen des nombres entiers soit poursuivie indéOniment et de façon que si l'on considère un état quelconque A de la grandeur (G), il y ait certainement un état A„ correspondant à un nombre entier n et tel que Ton ait A„ > A (*). Puis on graduera la grandeur entre Aq et A,, entre A, et Aj, entre Aj et A3, .... comme on l'a expliqué dans le numéro 476.

Alors à chaque état possible de la grandeur correspondra un nombre, h chaque nombre correspondra un état de la grandeur: à des nombres plus grands correspondent des grandeurs plus grandes, à deux nombres égaux correspond la même grandeur.

481. Enfin, la grandeur (G) peut n'être limitée ni dans un sens ni dans Tautre; tel est le temps, telle serait la température si on n'admettait pas l'existence du zéro absolu des physiciens : on choisira un état arbitraire A© que l'on fera correspondre an nombre 0 et, pour les grandeurs plus grandes queAeOii procédera comme envient de l'expliquer; mais on ajoutera à chaque nombre qui correspond à une grandeur plus grande que Ao les mots au-dessus de zéro. Pour les grandeurs (G) inférieures à A© on pourra de même faire correspondre chacune d'elles à un nombre que Ton fera suivre des mots au-dessous de zé!ro, mais de façon que si A', A' sont deux états tels que Ton ait A' < A'' < Ao, on ait a' > a", et non a' < a", en désignant par a\ a'' les nombres qui correspondent à A', A". On renverserait en quelque sorte la condition fondamentale.

Ce procédé de numérotage pour les grandeurs moindres que Ao est tout à fait pareil au procédé de numérotage relatif aux grandeurs supérieures à Ao; il ne semble pas utile d'y insister : au surplus, l'Algèbre enseigne à remplacer les mots « au-dessus ou au-dessous de zéro » par d'autres symboles d'un usage beaucoup plus commode.

482. J'ai supposé jusqu'ici que de deux états distincts de la grandeur considérée, l'un était nécessairement plus grand que l'autre. Bien qu'étant distincts par quelques circonstances, deux états peuvent être regardés comme les mêmes. Quand on a parlé de longueurs, on a supposé qu'il s'agissait de longueurs comptées sur une même droite à partir d'un même point. Deux longueurs rectilignes qui ne sont pas portées sur la même droite et qui, en ce sens, sont susceptibles d'être distinguées Tune de l'autre, peuvent cependant être égales : elles sont égales quand on peut faire

1. Si l'on n'imposait pas cetta condition, on poarrait épuiser TinAnité des nombres cntiera en «'approchant d'un état limite au delà duquel la graduation ne pénétrerait pas.

coïncider Tune avec l'autre. Les diverses sciences donnent, pour les diverses grandeurs dont elles s'occupent, des définitions de l'égalité. On enseigne, par exemple, en Physique, ce que c'est que deux corps qui sont à des températures égales, ce que c'est qu'un corps qui est à une température plus grande qu'un autre corps. La définition de l'égalité et de l'ifiégalité doit toujours satisfaire aux conditions suivantes, où Â, B, G, ... désignent des étals déterminés quelconques de la grandeur considérée.

La supposition A = B entraine la supposition B = A ; les suppositions A= G, B = G entraînent la supposition A = B; les suppositions A = B, ou A > B, et B > G entraînent la supposition A > G.

Lorsqu'une telle définition de l'égalité (ou de l'équivalence) est possible, il est nécessaire d'admettre que la graduation de la grandeur considérée, sous les diverses formes qu'elle peut revêtir, est faite de manière qu'à des grandeurs égales correspondent toujours des nombres égaux, qu'à des nombres égaux correspondent, sinon la même grandeur, au moins des grandeurs égales (ou équivalentes). Les conditions imposées à la définition de l'égalité (ou de l'équivalence) ont été choisies pour que cela soit possible.

§ 2. — Des grran^lears directement mesurables.

483. Pour certaines grandeurs, outre la notion d'égalité, on a la notion d'addition. S'il en est ainsi et si l'on peut définir un mode de graduation de la grandeur tel qu'à la somme de deux grandeurs de l'espèce considérée corresponde la somme des deux nombres qui correspondent à ces deux grandeurs, il est clair que ce mode de graduation sera particulièrement avantageux.

On se borne souvent à l'étude des grandeurs de cette dernière espèce, parmi lesquelles il faut placer les longueurs rectilignes, les temps, les poids (ou plutôt les masses mesurées par la balance) : il convenait toutefois d'expliquer comment la notion de nombre s'applique à d'autres grandeurs. Au fond, en dehors des indications du thermomètre, on ne sait guère ce qu'est une température : l'addition de deux températures, en dehors de l'opération d'arithmétique qui consiste à ajouter des nombres de degrés, n'a pas de sens, et toutefois l'introduction du nombre que l'on fait correspondre d'une façon déterminée à la température est indispensable en Physique. L'intensité de la lumière d'une source lumineuse fournirait un exemple analogue.

484. Quoi qu'il en soit, je vais désormais m'occuper de grandeurs dont la notion recouvre exactement, en quelque sorte, la notion de nombre, et qui, ainsi, doivent jouir nécessairement des propriétés fondamentales des nombres.

Parmi les propriétés de ces grandeurs figurent d'abord celles qui ont été spécifiées au n" 482, et qui se rapportent à la signification des mots égal^ plus grandf plus petite puis celles qu'on va énoncer. Dans ces énoncés, le