DES GRANDEURS DIRECTEMENT MESURABLES

symbole (G) désignera Tespèce de la grandeur considérée et les lettres A, B, C,... désigneront des grandeurs déterminées de Fespèce (G) ; toutes ces propriétés sont impliquées par Thypothèse que voici : la grandeur (G) est susceptible d'une graduation dans laquelle à chaque nombre correspond une grandeur déterminée de l'espèce (G), ou des grandeurs égales ; à des nombres inégaux correspondent des grandenrs inégales, le sens des inégalités étant le même ; à la somme de deux nombres a, 6 correspond la somme A+ B des grandeurs qui correspondent à ces nombres. Réciproquement, à chaque état de la grandeur (G) correspond un nombre, etc.

I. On sait ce que c'est qu'ajouter deux grandeurs de l'espèce (G) ; les définitions de Taddition et de l'égalité satisfont aux conditions suivantes :

si l'on a B = C, on a aussi A + B = A + C.

Il eu résulte que, dans une somme d'autant de termes que l'on veut, on peut intervertir Tordre des termes et remplacer tels termes que l'on veut par leur somme effectuée.

n. On sait ce que c'est que la grandeur nulle d'espèce (G), grandeur que l'on fait correspondre au nombre 0, et que l'on représente par le même symbole 0. Sa définition doit satisfaire à la condition A + 0 = A, à cause de la propriété correspondante des nombres ; dans cet état nul, la grandeur (G), qui ne modifie aucune grandeur de la même espèce à laquelle on l'ajoute, cesse, en quelque sorte, d'exister : telle est la longueur d'une ligne dont les deux extrémités coïncident.

III. Sic n'est pas la grandeur nulle, on a A-hC>A;il résulte de cette condition que la grandeur nulle est la seule qui, ajoutée à A, reproduise A.

IV. Si l'on a A > B, il existe une grandeur C, non nulle, telle que l'on aitA = B + C.

V. Si A n'est pas la grandeur nulle, quelle que soit la grandeur B, il existe un nombre entier m tel que l'on ait mA > B : dans le premier membre de cette inégalité, mA représente la somme de m grandeurs égales à A : cette somme s'appelle aussi le produit de A par m. Cette supposition, que l'on appelle souvent axiome d'Archimède, est nécessitée par le théorème du n'SH, relatif aux nombres,

VI. Si m est un nombre entier, autre que 0 et 1, quelle que soit la grandeur B, il existe une grandeur A telle que l'on ait mA = B, c'est la m'^™*' partie de B : en d'autres termes, on peut diviser B en m parties égales.

Il est à peine utile de répéter encore une fois que toutes ces suppositions, calquées sur des propriétés bien connues des nombres, sont nécessaires pour que la correspondance décrite au commencement de ce numéro entre les nombres, d'une part, et les divers états de la grandeur (G), d'autre part, soit possible.

485. Inversement, si la grandeur (G) jouit de ces propriétés et d'une autre encore dont on parlera plus tard, il sera possible de réaliser une

gradualion telle que celle que Ton a décrite au commencement du numéro précédent.

Tout d'abord, on voit que les hypothèses relatives à la signification des mots : plus grand, plus petit, à Taddition, à Texistence de la difTérence entre deux grandeurs impliquent de suite les conclusions suivantes.

En ajoutant à deux grandeurs égales A, B des grandeurs inégales C, D, on obtient des grandeurs inégales : supposons en effet C > D, il existera une grandeur E, non nulle, telle que Ton ait C = D + E; dès lors ou aura

A + C=B + C = B + (D+E) = (BH-D) + t:;

en vertu de la supposition III, la grandeur (B + D) -}- E, ou A + C, est plus grande que B + D; il résulte de là que la différence entre les deux grandeurs est unique, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une grandeur déterminée qui, ajoutée à une grandeur plus petite qu'une autre, puisse reproduire cette dernière. Dès lors les théorèmes fondamentaux établis pour les sommes et différences de nombres entiers s'étendent aux grandeurs, ainsi que les théorèmes sur l'addition, membre à membre, des inégalités. Il suffit presque de signaler les égalités

n (A -f- B -f C 4- ...) = nA + nB-f nC -f ...,

(n-jp + q-]- ...) A = nA-f-/)A-^^yA-f ...,

(mn) A = m (uA),

qui sont des conséquences immédiates des suppositions (I) relatives à l'addition; les petites letlres ?/i,n,p. </, ... y désignent des nombres entiers. La première, par exemple, veut dire qu'on obtient la même chose en faisant la somme de n grandeurs égales à A 4- B -|- C -f- ..., ou en groupant ensemble, dans cette somme, les n grandeurs égales à A, les n grandeurs égales à B, etc., et en ajoutant ensuite les résultats. En la rapprochant de la supposition IV, elle montre que l'on peut multiplier par un môme nombre entier les deux membres d'une inégalité entre des grandeurs. La troisième a été obtenue en supposant que dans la seconde figuraient m nombres entiers w, p, g,... tous égaux à n; elle veut dire que la somme de mn grandeurs égales à A est égale à la somme de m grandeurs dont chacune est égale à n fois A.

486. En vertu de la supposition V, si Ton considère la suite degrandeur^ eu progression arilhmtiiqnc

obtenue en ajoutant à elle-même la grandeur déterminée non nulle A, on finit par trouver dans cette suite des termes qui dépassent telle grandeur B que l'on voudra; on peut dire encore qu'une grandeur déterminée B de l'espèce considérée tombe entre deux termes de cette suite ou coïncide avec l'un de ces termes : si deux grandeurs B, C ne comprennent entre elles aucun terme de cette suite, elles coïncident avec deux termes consé-