RESTES DE PUISSANCES

suite, des termes, autres que le premier, dont le reste (mod. m) est égal à un. C'est ce qu'on savait déjà par le théorème de Fermât généralisé, puisque Ton a, en désignant par ? (m) le nombre de nombres premiers et inférieurs à m,

tif(>")— 1 s 0 (mod. m).

Quoi qu'il en soit, désignons par k le plus petit nombre entier positif pour lequel on a

a* — 1 = 0 (mod. w);

il est clair que deux termes de la suite (1) seront congrus ou non (mod. m), suivant que la dill'érence de leurs exposants sera ou non divisible par h. Les restes se reproduiront donc périodiquement de & en A;; ft termes consécutifs fourniront k restes ditférents, qui seront dans leur ensemble les restes fournis par les k premiers termes. En particulier, les restes égaux à 1 se reproduiront de k en A:, et comme a!^^^ donne le reste 1, on voit que k est nécessairement un diviseur de 9(m).

' Ces remarques trouveraient des applications faciles dans la théorie des fractions décimales périodiques, en supposant a = 10; en effet, quand on

réduit en fraction décimale une fraction de la forme —> où A et m désignent

des nombres entiers premiers entre eux et où Ton suppose (pour nous borner à ce cas) que m est premier avec 10, on est amené à chercher les restes (mod. m) des nombres.

et c'est la périodicité de ces restes qui règle la périodicité des chiffres de la fraction décimale périodique ; or on aperçoit que celte périodicité est la même pour la suite qu'on vient d'écrire et la suite

On est donc bien dans le cas considéré.

543. Sans m'arrèter à ces applications, qui sont faciles, je supposerai que le module m, que je dési^Mierai désormais par p, soit un nombre premier. Alors 9(m) = ^(p) est égal à p — 1 ; si d est le plus petit nombre entier positif tel que Ton ait

nd .

(mod. p),

d est un diviseur de p — 1 ; on dit alors que a appartient à l'exposant d. 11 est à peine utile de faire observer que les nombres congrus (mod. p) appartiennent au même exposant. La question suivante se pose immédiatement : étant donné un nombre d diviseur dep — 1, y a-t-il des nombres

a qui appartiennent à l'exposant d, c'est-à-dire des nombres dont la (f-*"* puissance soit congrue à i (mod. p), les puissances d'ordre inférieur à d n étant pas congrues à i (mod. p)? S'il y a un tel nombre «, il est facile de voir qu'il y en a exactement 9 (d) qui sont incongrus (mod. p).

Observons d'abord que tout nombre qui appartient à l'exposant d est une racine de la congruence

xd^ { =0 (mod. p),

qui ne peut avoir, d'après la tbéorie générale (n" 540), que a racines distinctes.

Si maintenant a appartient à l'exposant d, toute puissance a" de a sera une racine de la congruence ; on a en effet

(a")''=a"^^ 1 (mod.p),

puisque nd est divisible par d. Parmi les puissances de a, il y en ad qui sont incongrues (mod. p), savoir :

aO = l, «, a\ ..., a^-»;

ce seront donc là les d racines distinctes de la congruence, et tes nombres qui appartiennent à l'exposant d doivent être cherchés parmi ces nombres. Soit a'* l'un deux, la suite des puissances de a" sera

elles sont congrues aux nombres

en désignant par 0, rj, t'a, rg, ... les restes (mod. d) des exposants 0, n, 2w, 3n, ...; deux termes de cette dernière suite qui ont des exposants différents sont incongrus (mod. p), les seuls termes pour lesquels le reste (mod.p) soit un sont ceux dont l'exposant est nul ; or, la suite 0, r,, r,,

rg, ... est périodique (n* 503); la période contient -termes différents, en désignant par fi le plus grand commun diviseur de n et de d; les termes nuls se reproduisent de * en - ; il résulte clairement de là que a" appartient à l'exposant -• Si donc on veut que a** appartienne à l'exposant d, il

faut et il suffit que n soit premier avec d; il y aura donc autant de nombres incongrus (mod. p) qui appartiennent à l'exposant d, diviseur de p — i, qu'il y a de nombres premiers à d et non supérieurs à d, à condition qu*il y ait un nombre qui appartienne h l'exposant d. Si donc on