RACINES PRIMITIVES

désigne par ^{d) le nombre des nombres incongrus (mod. p) qui appartiennent à l'exposant d, on aura soit

soit

Mais chacun des p — i nombres incongrus (mod. p) 1, 2, 3, ..., p — 1 appartient à quelqu'un des diviseurs 1, d, d', ..., p — 1 dep — 1 ; il faut donc que l'on ail

4r{i) + ^{d) + ^{d') + ... + 4,fp-. 1) = p - 1 ;

on a d'ailleurs (n* 529)

9(i) + ff(d) + ç(d') + ... + 9(p ~ 1) = p - i.

En remplaçant dans cette égalité l'un des termes par 0, elle ne pourrait subsister, puisque aucun de ses termes n'est nul ; il faut donc que l'on ait ^[d) = ç(d) quel que soit le diviseur d de p — 1. Ainsi :

A chaque diviseur d de p — 1 correspondent exactement ç(d) nombres a, pris, si Ton veut, dans la suite 1, 2, ..., p — 1, qui appartiennent à l'exposant d.

En particulier, il y a 9(p — i) nombres distincts qui appartiennent à l'exposant p — 1 ; ceux-là, on les appelle racines primitives du nombre p. Si Q est une pareille racine primitive, tous les p — 1 nombres

sont incongrus (mod. p); leurs restes (mod. p), dans leur ensemble, reproduisent les nombres 1, 2, ..., p— 1 : ce sont tous les restes possibles, sauf zéro, tous les nombres, sauf zéro, qu'il y a lieu de regarder comme distincts suivant le mod. p (n" 535).

Par exemple, 2 est une racine primitive de 11 ; aux puissances de 2 dont les exposants sont

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 correspondent les restes

544. Soit en général g une racine primitive du nombre premier p, et a un nombre quelconque non divisible par p, il y a im nombre « pris dans la suite 0, 1, 2, ..., p — 2, et un seul, tel que l'on ait

g^ -- a (mod. p).

Tous les nombres « qui satisfont à cette condition sont d'ailleurs

congrns entre eux (mod. p — i), l'un quelconque d'entre eux s'appelle Vindice de a dans la base g ; Tindice est déterminé à un multiple près de p — 1, on pourra le prendre plus petit que p — i. On le représente par [nd. a.

Les indices jouent le même rôle dans les calculs relatifs aux nombres entiers, où l'on convient de négliger les multiples de p, que les logarithmes dans les calculs ordinaires.

L'indice de 1 est toujours 0.

L'indice du produit de deux nombres est congru (mod. p — 1) à la somme des indices de ces nombres.

Si on a en effet

on en déduira

et par suite

^Ind.a ^ ^,^ ^lnd.6 ^ ^ (mod.p),

gM.a + lnà,b ^ ^^ (mod.p),

Ind. ab s= Ind. a -f Ind. 6 (mod. p — 1).

Ce tbéorème s'étend de suite à un nombre quelconque de facteurs.

L'indice de la puissance n'*"® d'un nombre est congru (mod. p — 1) à n fois l'indice de ce nombre.

Quand on change de racines primitives, les indices changent; en négligeant les multiples de p — d, on peut passer d'un système d'indices à un autre en les multipliant tous par un même nombre.

Soient en effet g et y deux racines primitives, soit X l'indice de g dans la base Y) on aura

7^ = g (mod. p).

Soit maintenant « l'indice de a dans la base ^, on aura

gf* ^ a (mod. p — 1).

Si donc on élève à la puissance « les deux membres de l'avant-dernière congruence on aura

«y^» -: gr« = a . (mod. p).

Par suite X« sera l'indice de a dans la base y : on obtiendra donc les indices dans cette dernière base en multipliant par X tous les indices dans la base g.

Toutes ces propriétés sont analogues à celles des logarithmes.