INDICES

545. Observons que les indices peuvent servir à résoudre les congruences du premier degré prises par rapport à un module premier. Soit

ax ^ b (mod. p)

une telle congruence ; on devra avoir

Ind. a + fnd. x s Ind. 6 (mod. p — 1), d^où

Ind. X s= Ind. b — Ind. a (mod. p — 0»

Inversement un nombre dont Tindice sera congru à Ind. 6 — Ind. a sera une solution de la congruence proposée.

Par exemple, pour le nombre premier 11, les indices des nombres

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sont respectivement, dans la base 2,

Soit la congruence

7a? ^8 (mod. H).

On en tire

Ind. X = Ind. 8 — Ind. 7 = 3 — 7 = — 4=6 (mod. 10).

Le nombre dont Tiiidice est 6 est 9; on a donc x ^ 9, et, en effet, 7 X 9 = 63 = 55 4- 8 est bien congru à 8 (mod. H).

546. Observons que, quand on a une racine primitive d'un nombre premier p, il est aisé d'obtenir les autres ; elles s'obtiendront en élevant cette racine primitive à une puissance première ix p — 1 : par exemple, les racines primitives de 11 seront

547. Ce qui précède suffit à montrer Futilité qu'il y a à posséder une table de racines primitives et d'indices pour les nombres premiers. La table IV est extvsiite des Disquisitiones arilhmeticœ de Gauss(^) : dans la première colonne verticale, marquée p en haut, sont les nombres premiers inférieurs à 100; en face de chacun de ces nombres, dans la colonne suivante, marquée g, est une racine primitive ; les colonnes suivantes contiennent les indices des nombres premiers placés en haut de chaque colonne verticale, sur la première ligne horizontale. Il est clair, en eiïel, que, dès qu'on a les indices des nombres premiers, on peut former aisément les indices des nombres composés.