DIVISIBILITÉ. — THÉORÈMES GÉNÉRAUX

lorsque a n'est pas divisible par b. Lorsque b est égal à 1, le quotient est a, en sorte que 7 a le môme sens que a. Lorsque a est divisible par h et que q est le quotient, on écrit indifféremment

ainsi les égalités

-^=9^ a = àq:

ont exactement le même sens.

On observera les habitudes suivantes relativement aux symboles

r , pour lesquels» encore une fois, on suppose essentiellement que a

est divisible par b ; quand ils figurent dans des calculs ou des égalités, on a soin de mettre la barre en face des signes =, -)-, — , x. Ainsi, on écrira :

117. Si deux iwmbres sont divisibles par un troisième, leur somme ou leur différence est divisible par ce troisième et le quotient est la somme ou la différence des quotients.

Soient a, b les deux nombres divisibles par e, soient a' et b' les quotients de la division de a et 6 par c, on aura

a = a'c, b = b'c et par conséquent

ce qui montre bien que a -j- ^ et a — b sont divisibles par c ei qun les quotients a' + à\ a' — 6' sont l'un la somme, Tautre la différence des quotients a\ b'.

Plus généralement, si Ton considère plusieurs nombres a,b,c^d,,.,, tous divisibles par le nombre w, le résultat obtenu en les ajoutant ou en les retranchant dans un certain ordre est aussi divisible parw,

Tanxkry. 7

et le quotient s'obtient en faisant les mêmes additions et soustractions, dans le même ordre, sur les résultats a', b'^ c\ rf\... de la division par n des nombres a, b^ c, d,,..

Il est sous-entendu que les additions et les soustractions doivent se suivre dans un ordre tel que les soustractions soient toujours possibles.

Considérons en effet, par exemple, l'expression

on a, par hypothèse,

et par suite

a — b-\-c — d:=(^n — b'n-\-c'n — cT/i ::^(^a' — b' + c' — d')n.

C'est ce qu'il fallait démontrer.

On peut donc écrire, en supposant a, 6, c, et d divisibles par «,

H n n il n

En particulier, si la somme de deux nombres est divisible par un nombre m, ainsi que Vune de ses parties^ Vautre partie est aussi divisible par ce nombre.

La seconde partie est, en effet, la différence entre la somme et la première partie, et les deux termes de celle différence sont divisibles par le nombre m.

Si la différence entre deux nombres a, b est divisible par le nombre m, ainsi que Vun des nombres a, 6, il en sera de même de loutre.

En effet, si les nombres a — ^ et ^ sont divisibles par m, il en sera de même du nombre a qui est leur somme ; si les nombres a et a — b sont divisibles par m, il en sera de même du nombre ^, qui est leur différence.

118. Si un nombre a est un multiple de b, tout multiple de a est fuissi multiple de b.

Soit en effet ani un multiple quelconque de a, il peut être regardé comme la somme de m nombres égaux à a, tous divisibles par b ; cette somme est donc divisible par b ; le quotient obtenu en la divisant par b est la somme de m nombres égaux à a', en désignant par a' le quotient de la division de a par b. Ainsi le quotient de la