DIVISIBILITÉ. — THÉORÈMES GÉNÉRAUX

division de am par ^ est o'w et l'on peut énoncer le théorème suivant : Dans un produit de deux facteurs, si Tun des facteurs est divisible par un nombre, il en est de même du produit et, pour diviser le produit par ce nombre, il suffit de diviser le facteur considéré.

Ce théorème s'étend à un produit d'autant de facteurs que Ton veut, dont l'un est divisible par le nombre que Ton emploie comme diviseur, puisque ce produit peut être regardé comme obtenu en multipliant le facteur considéré par le produit de tous les autres.

Il pourrait se déduire tout aussi bien, sous cette forme générale, de la proposition établie au n« 79. Si, en effet, dans un produit P de plusieurs fadeurs, on remplace un des facteurs a, divisible par 6, par le quotient a que l'on obtient en divisant a par b, on obtient un nouveau produit P ; ce produit P , si on le multiplie par b, ce qui peut se faire en multipliant a' par 6, ou en remplaçant «' par a, reproduit P : inversement P est divisible par b, et le quotient est P'.

119. Dans le tas d'un produit de deux facteurs, la proposition qui vient d'être établie peut s'énoncer autrement. Soit, par exemple, le produit 15 X 7 -- (3 X 5) X 7; si on le divise par 5, le quotient sera '^ X 7, et l'on voit (lu'il revient au même de diviser d'abord 15 par 5 ^'t de multiplier ensuite le quotient par 7, ou de multiplier d'abord le nombre 15 par 7 et de diviser ensuite le produit par 5.

Lorsqu'un nombre a est divisible par un nombre b, il revient au même de diviser a par b et de multiplier le quotient par c, ou de multiplier a par r et de diviser le produit par b.

Diviser 15 :- 7 par 5, c'est prendre le cinquième de sept fois 15; diviser 15 par 5, c'est en prendre le cinquième; en multipliant le résultat par 7. on obtient sept fois le cinquième de 15. C'est ce qu'on exprime en disant : Sept fois le cinquième de 15 (ou les sept cinquièmes de 15), est la même chose que le cinquième de sept fois 15.

Le lecteur voit de lui-même ce qu'il y a de général dans cette façon de parler; mais il ne doit pas oublier qu'on suppose essentiellement ici que les divisions i>uissenl s'effectuer exactement.

120. Lorsqu'une division se fait exactement, elle se fera encore exactement après (ju'on aura multiplié le dividende et le diviseur par un même nombre, différent de zéro, et elle fournira le même «luotisnt.

Supposons en effet que a soit divisible par bel soit q le quotient; <ni aura

azzzb]

et en mullipliant les deux membres par un nombre quelconque m différent de zéro, on aura

ain = ôqm = {dm) X q *,

' cette dernière égalité exprime que am est divisible par bm et que le quotient est q.

En d'autres termes, si a est divisible par b^am est divisible par bm, et Ton peut écrire

a am b bm

Réciproquement, lorsqu'une division se fait exactement et que le dividende et le diviseur sont divisibles par un même nombre, elle se fera encore exactement après qu'on aura divisé le dividende et le diviseur par ce nombre, et elle fournira le même quotient.

Supposons en effet que le dividende a et le diviseur b soient divisibles par m et désignons par a' et b' les nombres que l'on obtient en les divisant par yn ; divisons par m les deux membres de l'égalité

a = bq ;

pour diviser bq par iw, il suffira (n® 118) de remplacer b par b' et l'on aura Tégalité

a -- bq

qui prouve que a' est divisible par b' et que le quotient est q, comme le quotient de la division de a par b,

121. Si les deux nombres a et a' sont respectivement divisibles par b et b\ leur produit aa' est divisible par by et le quotient est le produit des quotients des divisions de a par b et de a' par b' ,

Soient en effet q et q' ces derniers quotients ; on aura

a — bq, a! — b'q\ et par suite

a X a' =:bq>^ b'q, ou

an ={bb) X{qq'),

Celte dernière égalité exprime que aa' est divisible par bb' et que le quotient est bien le produit qq' des quotients primitifs. En

DIVISIBILITÉ. - THÉORÈMES GÉNÉRAUX. lOI

d autres termes, quand a est divisible par b et a' par ù\ aà est divisible par bh' et Ton peut écrire

a a! an'

122. Les propositions du n* 120 sont comprises, comme cas particuliers, dans le théorème suivant et dans sa réciproque.

Quand on multiplie le dividende et le diviseur jyar un même nombre, différent de zéro, le quotient nest pas changé, et le reste est multiplié par ce nombre.

Soient a, b, q, r le dividende, le diviseur, le quotient et le reste de la division primitive, et c le nombre par lequel on multiplie : on a

a = bq-\'r, r<b\

on en déduit, en multipliant par c les deux nombres de l'égalité et de rinégalité,

ac = bcq + rc, rc < bc :

il résulte de là que q et rc sont bien le quotient et le reste dans la division de ac par bc.

Cette proposition entraine la suivante.

Lorsque le dividende et le diviseur sont divisibles par un même nombre, le reste est aussi divisible par ce nombre ; si l'on divise le dividende et le diviseur par ce nombre, le quotient nest pas changé et le reste est divisé par ce nombre.

Soient, en eflFet, a, b, q, r le dividende, le diviseur, le quotient et le reste dans la première division ; soit c un nombre qui divise a ci b; soient a', b' les résultats obtenus en divisante et b parc; soient enfin q\ r' le quotient et le reste dans la division de a' par b' ; a, b s'obtiennent en multipliant a', h' par c ; en vertu du théorème direct, q est égal à q' et r s'obtient en multipliant r' par c; r est donc divisible par c et Ton a bien

123. Les propositions qui suivent concernent surtout le reste. On ne modifie pas le reste dune division quand on augmente ou

qu'on diminue le dividende d'un multiple du diviseur.

Soient, en effet, a, b, q, r le dividende, le diviseur, le quotient et le reste d'une division ; on a

a— bq + r, r <C b ;

si Um est on multtp!^ •pj'^îconqne «iu divts-?ur. ♦♦n aura

a — hm =z b q — w-^r. r ^ 6 :

ri l'on voit que r est le re^le de la division de a -|- hm,jm de a — bm. par b : les quotients s^jnt q — m, q — m : c'e^l au fond la même proposition qu'au n* 103.

On observera que ce lhé«»rème peut encore «^ir»* énoncé sous le> formes suivantes :

Si dans une s^jmme de deux nombres une des partie> est divisible par un nombre m. on obtiendra le même resie en di\i>ant par w soit l'autre partie, s^>it la somme. Si dans une différence le plus petit nombre est divisible par m, on obtiendra le même resleen divisant par m s^iil le plus grand nombre, soit la différence.

124. Si la différence entre les deux nombres a et a est dlvis'^ble par b^ on obtiendra le même reste en divisant a on a' ^tar h.

En effet, le plus grand des deux nombres a, a s'obtient en ajoutant a Tautre un multiple du diviseur b.

Réciproquement, $i deux nombres a, a' divwh ftar le nombre b donnent le m^me reste r, leur différence est divisible /nir b.

Kn effet, si l'on désigne par q et q' les quotients, on aura

a ^~ bq -l- r, a - - bq' — r,

et, on supposant a plus grand que a\

n — a =z bq -f r — {bq' -L r — bq — bq — b [q — q').

125. .SV dans une division^ le dividende est une somme ou une différence, on ne modifie pas le reste en augmentant ou en diminuant d'un multiple du diviseur l'une des jyarties de la somme, l'un des termes de In différence.

En effet, par là, on ne fait qu augmenter ou diminuer le dividende d'un multiple du diviseur.

126. Si, dans une division, le dividende est un produit de plusieurs facteurs, on ne change pas le reste en augmentant ou en diminuant l'un de CCS facteurs (Cun multiple du diviseur.

Soient en effet a l'un des facteurs du dividende, et it\ l'autre facteur, on le produit dos autres facteurs, .s'il y en a plus d'un. Soit b le

CARACTÈRES DE DIVISIBIUTÉ. 103

diviseur. En ajoutant, par exemple, an facteur a un multiple mb du diviseur, le produit sera remplacé par

[a -f- wô) a! = aa! -f- mba! = aa' -(- ^ x (wifl'),

c'est-à-dire que le dividende sera augmenté d'un multiple de b, à savoir b X [ma!) ; le reste ne sera donc pas modifié.

Il est clair qu'on ne changera pas le reste si on augmente ou qu'on diminue successivement chacun des facteurs qui entrent au dividende d'un multiple du diviseur; on ne changera donc pas non plus ce reste en augmentant, ou en diminuant, à la fois, de multiples du diviseur, tous les facteurs du dividende.

Considérons, par exemple, le produit 12x17x8 comme dividende et 5 comme diviseur; le reste sera le même si Ton remplace 12 par 2, 17 par 2, 8 par 3, puisque l'on a

En particulier, on pourra remplacer, sans changer le reste, tous les facteurs du dividende par les restes qu'on obtient en les divisant pcr le diviseur. Dans l'exemple précédent, on aurait ainsi pu remplacer 12 par 2, 17 par 2, 8 par 3; on aurait ainsi obtenu 2x2x3 = 12: le reste de la division par 5 de ce produit est 2; il en est de même du reste de la division par 5 du produit 12 X 17 x ^.

§ 2. — Caractères de divisibllllé.

127. On a souvent intérêt à calculer le reste dune division, sani^ avoir besoin du quotient : en particulier, il est souvent intéressant de reconnaître si ce reste est nul, ou non. Au lieu de faire la division tout entière, il est très commode de s'appuyer sur les théorèmes précédents pour substituer au dividende d'autres nombres plus simples et qui fournissent le même reste.

Les règles qui suivent se rapportent essentiellement à la numération décimale.

128. Caractères de divisibUité par 2, 5; 4, 25;... De l'égalité

10 = 2X5 on déduit (n« 81)

et en général

Puisque 10 est divisible par 2 et par 5, tout multiple de 10 sera divisible par 2 et par 5 ; ou encore toute collection de dizaines est un multiple de 2 et de 5 ; de même toute collection de centaines est un multiple de 4 et 25, toute collection de mille est un multiple de 8 et de 125. Il résulte de là que si Ton cherche le reste de la division d'un nombre A par 2 ou par 5, on peut négliger les dizaines de A, c'est-àdire ne conserver que le dernier chiffre (à droite) de A ; si Ton cherche le reste de la division d'un nombre A par 4 ou par 25, on peut négliger les centaines de A et remplacer A par le nombre formé par Tensemble de ses deux derniers chiffres à droite ; de même, si Ton cherche le reste de la division d'un nombre par 8 ou 125, on peut négliger les mille de A, ou remplacer A par le nombre formé par Tensemble de ses trois derniers chiffres, etc..

Par exemple, le reste de la division de 874367 par 4 est le même que le reste de la division de 67, c'est 3 ; le reste de la division par 125 du même nombre est le même que le reste de la division de 367, c'est 117.

En particulier, on a les théorèmes suivants :

Pour qu'un nombre soit divisible par 2, il faut et il suffit qu'il soit terminé par un des chiffres 0, 2, 4, 6, 8 : en effet, ce sont là les seuls nombres d'un chiffre qui soient divisibles par 2.

Les nombres divisibles par 2 sont dits pai7's.

Les nombres qui sont terminés par les chiffres 1 , 3, 5, 7, 9 ne sont pas divisibles par 2 : ils sont impairs.

Pour qu'un nombre soit divisible par 5, il faut et il suffit qu'il soit terminé par un des chiffres 0, 5, car ce sont là les seuls nombres d'un chiffre qui soient divisibles par 5.

Pour qu'un nombre soit divisible par 4, il faut et il suffit que le nombre formé par ses deux derniers chiffres soit divisible par 4.

Pour qu'un nombre soit divisible par 25, il faut et il suffit qu'il soit terminé par deux zéros, ou par 25, ou par 50, ou par 75.

Pour qu'un nombre soit divisible par 8, il faut et il suffit que le nombre formé par ses trois derniers chiffres soit divisible par 8, etc.

129. Caractère de divisibilité par 9 ou par 3. Le reste de la division d'un nombre par 9 ou par 3 est le même que le reste de la division par 9 ou par 3 de la somme de ses chiffres significatifs.

La démonstration repose sur les remarques suivantes :

Si Ton divise par 9 l'unité suivie d'un certain nombre de zéros le reste est \ .

En effet 10 est égal à 9 + ^ ; Tunité suivie d'un nombre quelconque de zéros est un produit de facteurs tous égaux à 10; on ne modifie pas le reste de la division par 9 d'un tel produit en diminuant chaque facteur de 9 (n* 126) ; il reste alors un produit de facteurs tous égaux à 1 : donc le reste cherché est 1 . Cette proposition se lit d'ailleurs en quelque sorte sur la forme du nombre obtenu en retranchant 1 d'un nombre formé en écrivant l'unité suivie de plusieurs zéros; la différence est évidemment un nombre dont tous les chiffres sont des 9, et qui comprend autant de chiffres qu'il y avait de zéros après l'unité : par exemple, on a

10000 = 9999 -f 1 == 9 X ilU + 1.

Considérons maintenant le nombre 7805643; il est égal à

On ne modifiera pas le reste obtenu en divisant cette somme par 9, si l'on remplace chaque partie de celte somme par le reste qu'elle fournirait en la divisant par 9 (n« 125); chaque partie est un produit, et l'on ne modiûe pas le reste que donné ce produit en remplaçant l'un des facteurs par le reste qu'il fournirait en le divisant par 9; on peut donc, sans changer le reste, remplacer les facteurs 1000000, 100000, 1000, 100, 10 par 1 ; on obtient ainsi la somme

des chiffres significatifs du nombre proposé; c'est ce qu'il fallait démontrer.

On peut dire encore : Tout nombre est un multiple de 9 plus la somme de ses chiffres significatifs.

En effet 7805643 el7 + 8-+-5-f6 + 4 + 3, divisés par 9, donnent le même reste; leur différence est donc divisible par 9.

En particulier : Pour qu'un nombre soit divisible par 9, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres significatifs soit divisible par 9.

Comme 9 est un multiple de 3, il est clair qu'on peut dire encore que le nombre 7805643 est un multiple de 3 augmenté de la somme 7 + 8 + 5 + 6 + ^ + 3 de ses chiffres significatifs ; en sorte que le reste de la division par 3 du nombre 7805643 est le même que le reste de la division par 3 de la somme de ses chiffres signifi-

t06 LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

oatifs. Pour qu'un nombre soit divisible par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres significatifs soit divisible par 3.

Pour obtenir le reste de la division par 9 d'un nombre, dans la [pratique, on applique plusieurs fois le même théorème, en supprimant les multiples de 9 à chaque fois : ainsi pour calculer le reste relatif à7-f8 + 5 + 6+4 + 3, on effectue la somme 7 + 8 = 15 et l'on remplace 15 par 1+5 = 6; on a ensuite à ajouter 5, ce qui donne 1 1 , que Ton remplace par 1+1=2; on ajoute ensuite à 2 successivemen 6 et 4, ce qui donne 12, que l'on remplace par 1+2 = 3; il n'y a plus qu'à ajouter 3: le reste est 6. S'il y a des 9 parmi les chiffres significatifs on n'en lient pas compte.

130. La méthode générale pour trouver le caractère de divisibilité par un nombre a apparaît sur cet exemple.

Supposons que l'on connaisse les restes obtenus en divisant par a les nombres 10, 100, 1000, ... et considérons un nombre quelconque, par exemple le nombre 7805643 ; on l'écrira

3+10x4+1 00 .< 6 + 1000 X 5 + 100000 x 8 + lOÛOOOO x 7,

et pour obtenir le reste de la division par a, on remplacera dans cette somme ID, 100, 1000, ... par les restes qu'ils fournissent en les divisant par a. Ce qui fait la simplicité de la méthode pour le cas où a est 9, c'est que tous les restes se trouvent égaux à 1. On pourrait traiter exactement de la même façon les cas ou a est égal à 2, 4, 8, ... ou à 5, 25, 125, ... ; dans ces cas tous les restes finissent par devenir nuls, et c'est pourquoi les caractères de divisibilité ne portent que sur les derniers chiffres. On verra plus tard (n*240) que les restes finissent toujours par se reproduire périodiquement, et il en résulte une simplification dans l'emploi de cette méthode; sans m'arréter davantage à ces généralités, je me contenterai de l'appliquer au cas où a = 1 1 .

131. Caracthe de divisibilité par 11. Pour obtenir le reste de la division par 11 d'un nombre quelconque, on peut procéder comme il suit : on fait la somme des chiffres qui représentent des unités simples ou composées d'ordre pair (les unités simples doivent être regardées comme d'un ordre pair, l'ordre zéro) ; on fait aussi la somme des chiffres qui représentent des unités d'ordre impair. Si la seconde somme est inférieure ou égale à la première on la retranche de la première : le reste cherché est le même que pour la différence; si la seconde somme est supérieure à la première on fait la soustraction après avoir ajouté à la première un multiple de 11 assez grand pour qu'elle soit possible; on pourrait tout aussi

bien diminuer la seconde somme d'un multiple de 11 ; dans tous les ras, la différence, divisée par 1 1 , fournira le même reste que le nombre proposé.

Les restes de la division des nombres 10 et 100 par 11 sont respectivement 10 et 1 : en effet, on a : 100= 99 + 1 = 11 x 9 + 1 ; il est bien aisé de conclure de là que si on divise par 1 1 les termes de la suite 10, 100, 1000, 10000, ..., on trou\era alternativement pour restes 10 et 1 ; autrement dit : Tout nombre formé en faisant suivre Tunité d'un nombre pair de zéros, divisé par 11, donne pour reste 1 ; tout nombre formé en faisant suivre Tunité d'un nombre impair de zéros, divisé par 11, donne pour reste 10. En effet, un nombre formé de la première façon peut être regardé comme un produit de facteurs tous égaux à 100, et Ton ne change pas le reste que ce produit fournirait en le divisant par 11 si Ton remplace chacun des facteurs par 1, c'est-à-dire par le reste qu'il donne lui-même quand on le divise par 11 ; le reste, dans ce cas, est donc égal à 1 ; si maintenant on considère un nombre formé de la seconde façon, il peut être regardé comme le produit par 10 d'un nombre formé en faisant suivre l'unité d'un nombre pair de zéros ; dans ce produit on peut encore, si l'on se borne à chercher le reste relatif à la division par 11, remplacer le second facteur par 1, c'est-à-dire par le reste qu'il doiîne quand on le divise par 11 ; dans ce second cas, le reste sera donc 10 X I ou 10.

Considérons maintenant le nombre.

On ne change pas le reste de la division par 11 en remplaçant dans le second membre les facteurs 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 par leurs restes, c'est-à-dire par les nombres 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10; ce second membre devient alors

dans cette somme, on voit figurer la somme des chiffres représentant des unités d'ordre pair et la somme des chiffres représentant des unités d'ordre impair, cette dernière multipliée par 10 = 1 1 — 1 ; le résultat précédent peut encore s'écrire

2-f4 + 5-f7-f (ll~l)Xl9 + 0 + 8) = 2+4-f5+7+llm — (9-f- 0+8);

dans le multiple de 11, 1 1 X rti, qui figure ici, m représente la somme

108 LEÇONS D'AUITHMÉTIQUE.

des chiffres d'ordre impair, mais si Ton ne se préoccupe que du reste de la division par il, on peut remplacer ce multiple dé 11 par tel autre multiple de 11 que Ton voudra, pourvu que la soustraction puisse se faire ; on pourrait aussi bien diminuer la somme à retrancher de tel multiple de 11 qu'on voudra. La proposition est démontrée. Dans l'exemple considéré, on peut effectuer la différence 2 + 4 + 5 + 7 — ,(9 + 8), elle est égale à 1 : le reste cherché est 1.

On peut dire encore : Tout nombre est un multiple de 1 1 augmenté de la somme de ses chiffres de rang impair et diminué de la somme de ses chiffres de rang pair.

132. Preuves de la multiplication par 9 ou par 11 . — La proposition du n* 125 fournit un moyen précieux de contrôler une multiplication.

Soient a, b deux facteurs d'un produit ab\ soient, en employant un diviseur quelconque c, a' et b' les restes de la division par c de a et de ^; en divisant par c le produite^, ou le produit a'b\ on doit retrouver le même reste ; on choisira pour le diviseur c un nombre pour lequel le calcul des restes soit facile; on peut être tenté de prendre pour c l'un des nombres 2, 5, 8... ; mais la preuve ne porterait alors que sur les derniers chiffres du produit. Au contraire, les diviseurs 9 et 11 conviennent parfaitement. C'est évidemment le premier qui est le plus commode, et c'est celui qu'on utilise le plus fréquemment.

Prenons par exemple la multiplication de 98756 par 823, effectuée au n"* 94. Les restes de la division par 9 du multiplicande et du multiplicateur sont respectivement 8 et 4 ; le reste relatif au produit devra être le même que le reste de la division par 9 du produit 8 X 4 — 32, reste oui est 5 ; on a trouvé au produit 81276188, qui donne bien aussi 5 pour reste.

Si l'on avait employé le diviseur 11, on aurait trouvé, pour restes, relatifs aux deux facteurs, 9 et 9 : le reste relatif au produit doit donc »Hre le même que pour 81, c'est-à-dire 4, ce qui se vérifie bien encore.

11 y u li?u oe remarquer que la preuve par 9, si elle réussit et si elle a été faite sans erreur, prouve seulement que l'erreur, s'il y en a une, est un multiple do 9. On voit sans peine, par exemple, qu'elle n'avertirait pas d'une erreur commise en ne plaçant point les produits partiels à la place convenable.

De même la preuve par 11 montre que l'erreur, s'il y en a une, est un multiple de 11. L'emploi simultané des deux preuves montre que l'erreur doit être à la fois im multiple de 11 et de 9; on verra plus tard (n° 145) qu'elle est alors nécessairement un multiple de 99.

CAUACTÈUES DE DIVISIBILITÉ. 109

Exercices.

83. Un nombre est divisible par 4 si le clui^rre des unités ajouté au double du chiffre des dizaines donne une somme divisible par 4.

84. Un nombre est divisible par 8 si le chiffre des unités ajouté au double du chiffre des dizaines et à quatre fois celui des centaines donne une sommo divisible par 8.

85. Un nombre est divisible par 6 si le chiffre des unités ajouté à quati*e fois la somme de tous les autres donne une somme divisible par 6.

86. La différence entre un nombre et ce même nombre renversé (c'est-à-diro obtenu en écrivant les chiffres en ordre inverse) est divisible par 9.

87. La somme d'un nombre et du même nombre renversé est divisible par 11 quand le nombre de chiffres est pair.

88. Le reste de la division d'un nombre par 99 s'obtient en le séparant en tranches (le deux chiffres à partir de la droite, en ajoutant ces tranches et en cherchant l<* rt-st** de leur somme divisée par 99.

89. Formuler une règle analogue à celle de l'exercice précédent pour les nombres 999, 9999, ..., 101, 1001, I0001,elc.

90. De l'égalité 1001 = 7x11x13, déduire la règle suivante : Pour trouver lo reste de la division d'un nombre par 7, 11 ou 13, on peut le décomposer en tranches de trois chiffres à partir de la droite, faire la somme des tranches de rang impair et, après lui avoir ajouté, s'il est nécessaire, un multiple de 7, 11 ou 13, en retrancher la somme des tranches de rang pair, puis diviser la différence par 7, 11 ou 13. Le reste de cette division sera le reste cherché.

91. Tout nombre impair est un multiple de 4 augmenté de 1, ou diminué de I.

92. Le carré de tout nombre impair divisé par 8 donne 1 pour reste.

93. Tout nombre impair qui est la somme des carrés de deux nombres donne 1 pour reste quand on le divise par 4.

94. Si a n'est pas divisible par 5, <i^ — 1 est un multiple de 5.

Le mo<le de démonstration, souvent employé, consiste à remplacer, dans n* — 1, a piir le reste que l'on obtient en le divisant par 5, ce reste peut être I, '^, 3, 4 : on constate que dans tous les cas le résultat est divisible par 5.

95. Si a n'est pas divisible par 7,a«— 1 est divisible par 7.

96. Le produit de deux nombres entiers consécutifs est toujours pair; en prenant la moitié de ce produit on aura un quotient qui, divisé par 3, ne pourra jamais donner 2 pour reste.

97. Le produit de p nombres entiers consécutifs est divisible par p.

Cette proposition peut s'établir, par induction, au moyen du théorème énoncé dans l'exercice 55.

98. Quels que soient les nombres a, b où l'on suppose «g 6, l'un des nombres n, 6, a + 6, a — 6, 2a -f ^. 2a — 6, est divisible par 5. "

99. Quels seraient dans le système de numération dont la base est a les carne tères de divisibilité par a — 1 et par a -f 1 ?

100. a et 6 étant deux nombres non divisibles par 3, a* — b* est divisible par 9.

101. a^ — 6" est divisible par a— 6, quels que soient les nombres a, 6, n. an — tn est divisible i>ar a -f ô si n est pair.

û«l bn est divisible par a -\-b ?>\ n est impair.

En particulier 2" — 1 est divisible par 3 si n est pair, 2" -f 1 est divisible par 3 si n est impair.

102. Si l'on veut avoir le reste de la division par p du résultat obtenu en remplaçant X par un nombre quelconque a dans une expression de la forme