X.xn -f k,xn-i 4- A,x»-« + ... -f- A„,T -h A

où Aa, A„ A„ ...» A„j, A,j sont des nombres donnés, on peut remplacer x par le

reste obtenu en divisant a par p\ les résultats des deux substitutions, divisés par;>, donnent le même reste.

Si dans le polynôme précédent, on met successivement à la place de x les nombres 0, 1, 2, 3, ..., et que Ton divise par p les résultats obtenus, on trouvera une suite de restes qui se reproduiront périodiquement dep en p.

Cette proposition sera généralisée dans le chapitre final, où Ton en tirera de nombreuses conséquences.

103. Avec les notations expliquées au n* 116, on voit que les propositions énoncé*»s aux exercices 39, 52, 50, 56, 41 peuvent être énoncées comme il suit :

La somme des n premiers nombres, à partir de 1, est »

, , . , . n^/i + l)f2«4-l La somme des can*és des n premiers nombres, à partn* de l,est -^ .

La somme des cubes des n premiers nombres est — ^—

Le nombre de solutions distinctes de l'équation a-, -f jt, -|- ... -|- r = n ost

et de ces propositions résultent les théorèmes suivants :

n(n -|- 1) (2n -}- 1) est toujours divisible par 6. Le produit de p nombres entiers consécutifs est toi^ours divisible par le produit des p premiers nombres.

La somme s des termes d'une progression géométrique dont le premier terme est tty le dernier terme h et la raison q est donnée par la formule

hq — a

en supposant q autre que 1.

Quel que soit le nombre a, autre que 1, on a

— = 1 -frt-|-^i« + ... 4-«".

Oilte dernière proposition ne dififère pas de celle qui a été établie au n* 88. lorsqu'on y suppose 6 =: 1.

104. On désigne sous le nom de nombres triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, etc., tes nombres obtenus en faisant la somme des premiers ternies d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est toujours 1 et dans laquelle la raison est 1,2, 3, 4, etc. En faisant la somme des n premiers termes on a le n'*?"»« nombre triangulaire, carré, etc.; ces dénominations s'expliquent pour les nombres triangulaires, par exemple, en remarquant qu'ils représentent des nombres de points qui peuvent iHre arrangés en triangle comme dans la figure ci-dessous :

l^e lecteur trouvera sans peine une interprétation analogue pour les autres nombres polygonaux.

En général, l'expression du n'*'»e nombre polygonal correspondant à un polygone de q côtés est domïée par la formule :

„ nin — 1)

(dans la nulation p]'^, q est un indice, non un exposant).

PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. lU

106. La somme des n premiers nombres triangulaires est un nombre pyramidal. En général, on appelle «'*"»« nombre figuré d'ordre q la somme des n premiers nombres figurés d'ordre 9 — 1, en regardant les nombres de la suite naturelle 1, 2, 3, ... comme figurés d'ordre 1, les nombres triangulaires comme figurés d'ordre 2, les nombres pyramidaux comme figurés d'ordre 3, etc. Lewi*'"c nombre figuré d'ordre q est donné par la formule :

[dans la notation F', q est un indice, non un exposant). (Ex. 41, 55.)

La somme des n premiers nombres triangulaires représente le nombre de boulets $phériques contenus dans une pile triangulaire. La somme des n premiers nombres carrés représente le nombre de boulets sphériques contenus dans une pile carrée. On suppose que, en passant d'une couche de boulets à la couche suf^érieure, le nombre de boulets contenus dans le côté du triangle ou du carré qui forme cette couche diminue d'une unité. La pile se termine en haut par un seul boulet.

106. En conservant les noUttions de l'exercice 22 démontrer par induction que le nombre CJJ du triangle de Pascal est égal, lorsque p est plus grand que 1, au quotient du produit de p nombres consécutifs décroissants, à partir de n, divisé par le produit des p premiers nombres; en d autres termes on a :

Lorsque p est égala 1, ou à 0, cette formule doit être remplacée par les suivantes :

cl = «,<=!.

On admettra que la loi est vraie pour les n premières lignes du triangle, on eu déduira qu'elle subsiste pour la (n -f l)'^'"^.