Le nombre a**-~-a est toujours divisible par

134. Si le nombre a est terminé par 4 et s'il n'est pas divisible par 4, le produit <i (0* — l) (a* — 4) est divisible par 480.

1. On possède aujourd'hui, pour les neuf premiers millions, des tables qui fournissent non seulement les nombres premiers, mais, pour chaque nombre non premier son plus petit diviseur : elles ont été calculées par Buckhardt, M. Qlaisher, et par Dase. (Voir un article de Il Oram dans les Àcta mathtmatiea, t. 17.^

136. Si a et 6 sont premiers entre eux, a + 6 et a — 6 ne peuvent avoir d'autre . diviseur commun que 1 et 2.

136. Si a et 6 sont premiers entre eux, si x est premier à 6 et y à a, le nombre ax + Ay est premier au produit ab.

Il est aisé de voir que les deux nombres ax -f by et ab ne peuvent avoir de diviseur premier commun : car si p était un tel diviseur, il diviserait Tun des facteurs du produit ab, a par exemple; divisant ax -f by et a, p diviserait by, etc.. Ce procédé de démonstration est fréquemment employé.

137. Si a, b, c sont premiers entre eux deux à deux, la condition nécessaire et suffisante pour que le nombre bcx -f acy -f abz soit premier au produit abc est que x, y, z soient respectivement premiers à a, 6, c.

138. Si a, b sont premiers entre eux, les deux nombi'es a* — a6 + 6* et a + /> ne peuvent pas avoir d'autre facteur premier commun que 3.

139. Si un nombre premier p est la différence entre les carrés de deux nombres,

p__ 1 » 4- 1 ces deux nombres sont î—- — et ^— - —

140. Pour reconnaître si un nombre p est premier on peut lui ajouter successivement les carrés des premiers nombres 1, 2, ..., ; si le premier des

* éi

nombres ainsi formés qui soit lui-même le carré d'un nombre est p -f ( — — J , le

nombre p est premier.

141. Un nombre premier ne peut pas être la somme de plusieurs nombres impairs consécutifs.

142. Trouver un nombre p supérieur à 3 et tel que le nombre ^^—r — soit premier.

143. Si le nombre 2" -(- l est premier, n est une puissance de 9.

144. Quel est le plus petit nombre entier admettant 15 diviseurs?

145. Trouver le nombre de deux chifiFi^s qui admet le plus grand nombre de diviseurs.