De l'égalité
x^ + 4y* = (jrt — 2xy -h 2»/«) (x« + 2xy -f 2y*)i déduire qu'il est impossible de satisfaire à l'équation
lorsque p est premier, à moins que p ne soit 1 ou 5.
146. Combien, dans la suite 1,2,3, ...,n des n premiers nombres, y a-t-il de nombres divisibles par le nombre premier p ?
149. Sur n nombres consécutifs, il y en a au moins autant de divisibles par 1^ nombre premier p que dans les n premiers nombres.
150. Si l'on décompose en facteurs premiers le produit 1. 2. 3. ... n des n premiers nombres, chaque nombre premier p inférieur à n figurera avec un exposant égal à la somme des quotients obtenus en divisant n successivement parp, p*, p', ... .
151. Déduire des propositions qui précèdent une démonslralion de ce théorème déjà énoncé dans l'exercice 99 : le. produit de n nombres consécutifs est toujours divisible par le produit 1. 2. 3. ... n.
152. Les diviseurs d'un nombre n peuvent être rangés par couples tels que le produit de deux diviseurs qui figurent dans un môme couple soit égal à n. Si /* csl le carré d'un nombre entier, il y a un couple formé de deux diviseurs égaux : ceci n'a lieu que dans ce seul ras.
I^ LEÇOCIS ITAlttTBI^llQUE.
m Tm «ésigne par v te nonbie d» dcnaeu» ém MiBte«:% le produt ds tou» lies
Uiviseur^ de a est égal ku^ un a*ést pas le canéd^iui noaikce estier.Sft Tea a n = m*, ce produit est égal à m*.
ISa. SI uBBQMrit)randéoaaipoaée»£Ktmn pruniers est égal 4
en Juâlgiïaai par a^b^Cy.^ les fiieteiirs premiers dtflESSrenfs de », le nomftre des diviseurs de «est égala ^ + 1) (P + l) (t + I) — » c«* dÎTiseurs eux-roémes sont le^ difTérents termes obtenus en développant le produit
(l + a 4- «• + ... + «•) (l + *+*•+.- + ^^) (l + <^ + «* + ... + ct)..., ta^mme dtreesdimtar&feraégaleàccrpvodaiiaaà
a«+' ^ l 6P-^* - 1 çTH-t -. I a-1 ^ ^-l ^ r-1 ^••*
154. f >n appelle parties aliquotes d'na nombre, Vea diviseurs de ce noaiibre, excepté cf nuniijri^ lui-môme.
4 Ni ;i;»pËLLe nombre parfait tout nombre qui est la somme de ses psurtiea ali<)uete9; iioMTbrt- abondant tout nombre plus petit que la somme de ses parties aliquotes, iiuiiibi't! dé/icient tout nombre plus grand que cette somme.
Si p est un nombre premier et si 2^ — 1 est aussi premier, le nombre
est un nombre parfait.
Tcotivisr des exemples numériques de nombres abondants et déficients.
155, En désignant en général par ▼(«) te nombre cTe diTiseors d'un nombre a et pa(' fi{ti) La somme de ces diviseurs, on a, en supposant lés nombres a, 6, c, ... premicrâ entre eux deux à deux,
V {abc...) = V (fl) X V (6) X V (c) X ..., « {abc.) = c (a) X « (A) X « {c) X ....
!fi6. En conservant les notations de l'exercice 22, démontrer que si n est un iiuinbiii: premier et p un nombre autre que 0 ou n, CJ| est divisible par n.
En !â appuyant sur Texercice 60, démontrer ensuite que, en supposant toujours n premier, le nombre
(a + 6)" - rt" - 6"
e?È divisible parn.
Cont'Iure de là que a" — a est toujours divisible par le nombre prefnier » : si, en ciïc't, t;i proposition est vraie pour deux nombres a, b, elle est vraie po«r leur
Cij ttHorème est connu sous le nom de théorème de Fermât. On en verra Timpor-
lanc*? diïna le dernier chapitre.
PREMIÈRE irfÏPWfTm^ MS FRACTIONS. 113
