CHAPITRE VI

§ 1. — Première d^tnitloB des IHicttons.

170. La notion de nombre a été tirée cle Tidée de coUection d'dbjels distincts ; elle s'applique toutefois à la mesore des grandeurs eontinues, et cette application conduit à étendre la notion de nombre, à considérer de noureaux nombres, tout différents de ceux que Ton a considérés jusqu'ici. Cette extension exige que Ton distingue, dans le langage, les nombres déjà connus, les nombres eniiers^ et ceux que nous allons introduire : désormais nous dirons toujours un nombre entier, ou plus brièvement un entier, quand il s*agirade l'un des nombres 0, 1, 2, 3, ...

Nous donnerons aux nouveaux nombres une origine concrète, en considérant d'ailleurs particulièrement des grandeurs continues de l'espèce la plus simple, des longueurs de droites limitées. Les explications qui suivent s'appliquent aisément à d'autres grandeurs continues.

171. Le lecteur sait ce que c'est que mesurer une ligne droite. On choisit une fois pour toutes une droite limitée AB que l'on appelle unité de longueur. Pour mesurer une droite quelconque PQ, on porte sur cette droite, à partir de l'une de ses

extrémités P, l'unité de longueur, autant de fois p,,,,q

que possible. 11 peut arriver que, en procédant i ■ i

. . ,,, .Jv .. 012346678

ainsi, on tombe sur 1 autre extrémité Q ; on dit alors que PQ contient l'unité de longueur un certain nombre entier de fois et ce nombre entier est la mesure de PQ. Ainsi, dans la figure ci-dessus, PQ contient trois fois l'unité de longueur; PQ est mesuré par le nombre 3.

Les longueurs que l'on peut ainsi mesurer au moyen de nombres entiers sont évidemment celles que l'on obtient en portant sur une droite indéfinie, à partir d'un point marqué 0, et bout à bout, des unités de longueur, toujours dans le même sens ; si l'on marque au moyen des nombres 1, 2, 3, 4, ... les extrémités successives de ces unités de longueur, le nombre marqué en un point quelconque mesure la longueur qui s'étend entre le point marqué 0 et le point considéré.

Toute longueur égale à Tune de celles que Ton peut former ainsi est mesurée par le même nombre ; Tunité de longueur elle-même est mesurée par le nombre 1 . Parmi ces longueurs, on peut, si Ton veut, ranger la longueur nulle^ celle d'une droite (fictive) dont Torigine et l'extrémité coïncideraient, et qui serait mesurée par le nombre 0. Il est bien évident qu'on ne peut pas mesurer ainsi toutes les longueurs ; on ne pourra pas mesurer la longueur d'une droite qui aurait son origine au point 0 et son extrémité entre deux quelconques des points marqués par les nombres 0, 1, 2, 3, 4...

172. Pour mesurer une longueur qui ne contient pas l'unité un nombre exact de fois, on peut essayer de procéder de la façon suivante :

On divisera l'unité de longueur AB en un certain nombre entier de parties égales, en 5 parties par exemple ; et Ton appellera une quelconque de ces parties un cinquième de Tunité de longueur : il peut se faire que la longueur considérée RS contienne cette partie

de l'unité exactement un nombre entier de fois, n! ! ! ! ! î^i is P^^ exemple 7 fois : on dira alors qu elle contient

exactement 7 fois le cinquième de l'unité : il faut pour la mesurer deux nombres entiers, ici 5 et 7 ; l'un exprime en combien de parties on a divisé l'unité de longueur, l'autre combien la longueur considérée contient de ces parties : ces deux nombres entiers jouent, comme on le voit, un rôle très diflTérent : pour les distinguer l'un de l'autre, on leur donne des noms différents, on les écrit à des places différentes, on les énonce de façons différentes.

Le nombre entier qui exprime en combien de parties égales on a divisé l'unité de longueur s'appelle dénominateur; le nombre entier qui exprime combien de parties contient la longueur considérée s'appelle numérateur; on écrit le numérateur au-dessus du dénomi nateur, en les séparant par une barre : dans l'exemple précédent, on écrira

on énonce d'abord le numérateur, puis le dénominateur, en les séparant par le mot sur (sept sur cinq); ou bien on énonce le numérateur, puis le dénominateur en le faisant suivre de la terminaison iéme (sept cinquièmes); cette dernière façon de s'exprimer rappelle parfaitement les opérations que nous venons de décrire.

Elle comporte des exceptions quand le dénominateur est 2, 3, ou 4; on énonce alors le numérateur et on le fait suivre, suivant les