PREMIÈRE DÉFINITION DES FRACTIONS. Î

cas, des mots demi, tiers, quart : ainsi, on dira trois demis, deuxtiers,

3 2 5 cinq quarts pour énoncer les symboles -, -, t-

Enûn, Fensemble des deux nombres entiers (numérateur et dénominateur) écrits ou énoncés ainsi de manière à distinguer leurs rôles respectifs est une fraction.

Les fractions sont regardées comme des nombres ; dans Texemple précédent, la fraction - est la mesure de la longueur RS(*). o

173. Reprenons cet exemple, pour expliquer une interprétation un peu différente.

La longueur RS peut être regardée comme obtenue en plaçant bout à bout, en ligne droite, sept fois la cinquième partie de AB ; il importe de remarquer qu'elle peut être obtenue, tout aussi bien, en plaçant bout èibout, en ligne droite, sept fois AB, ce qui donne la longueur XY, et en prenant ensuite la cinquième partie de XY.

Al— i II I -iB

R i-i II 1 I I I S

Xi 1 1 1 1 1 1 lY

En effet, par définition, XY contient sept fois AB ou bien sept fois cinq des parties de AB, ou encore cinq fois sept des parties de AB; mais sept parties de AB, c'est RS; donc XY contient cinq fois RS ; en d'autres termes, RS est le cinquième de XY.

Par conséquent, le nombre - peut être regardé comme mesurant

une longueur RS obtenue, soit en prenant sept fois le cinquième de l'unité de longueur (c'est le premier sens), soit en prenant le cinquième de sept fois l'unité de longueur (c'est le second sens). Ce résultat est général. Si a et ^ sont deux nombres entiers, la

fraction - peut être regardée comme mesurant une longueur obtenue

soit en prenant a fois la A**™'' partie de l'unité de longueur, soit en prenant la ô'*"* partie de a fois l'unité de longueur. Le lecteur rapprochera ce raisonnement de celui du n" 119.

1. La BOtatioo -r- a déjà été employée au n* 116, pour exprimer le quotient de la division

du nombea entier a par le nombre entier b quand cette division peut se faire exactement. Le lecteur peut faire un instant abstraction de ce qui a été dit alors, la concordance des deul notations kii apparaîtra bientôt.

Tannkry. 10

174. Revenons maintenant à la première signification attribuée an mot fraction.

Les longueurs que Ton peut mesurer au moyen de fractions sont celles que Ton peut obtenir en divisant Tunité de longueur en un certain nombre entier de parties égales et en portant, Tune au bout de l'autre, plusieurs de ces parties. A la vérité, on n'obtient pas ainsi toutes les longueurs : c'est là un point sur lequel nous aurons à revenir. Mais il convient de remarquer de suite que si on divise l'unité (le longueur en un assez grand nombre entier b de parties égales, chacune de ces parties deviendra très petite. Si, en désignant par a un nombre entier, la longueur à mesurer contient a de ces parties et n'en contient pas a -\- i, elle sera comprise entre deux longueurs, mesurées respectivement par les fractions

et l'erreur commise en substituant l'une ou l'autre de ces longueurs à la longueur considérée sera moindre que l'une quelconque des b parties de l'unité ; elle pourra être aussi petite qu'on voudra, pourvu

que b soit assez grand. Les deux fractions -, — r — sont dites des

mesures approchées, la première par défaut, la seconde par excès,

de la longueur considérée, à^ près.

Dans la pratique, lorsque Terreur ainsi commise n'est pas appréciable avec nos instruments de mesure, il n'y a aucune raison d'en tenir compte : pratiquement les nombres entiers et les fractions suffisent à mesurer toutes les longueurs. D'ailleurs, pour le moment, nous ne considérons que des longueurs qui puissent être mesurées par des nombres entiers, ou par des fractions : ces longueurs sont dites commensurables à l'unité.

175. Une longueur qui peut être mesurée par un nombre entier ne peut évidemment être mesurée que par ce seul nombre entier. Il en est tout autrement quand on introduit les fractions : il existe une infinité de fractions qui mesurent la même longueur, et cela, lors même que cette longueur peut aussi être mesurée par un nombre entier.

Tout d'abord, il est clair que deux fractions qui ont même dénomi-

4 5 nateur, p, -, par exemple, et des numérateurs différents ne peuvent

pas mesurer la même longueur : dire, en effet, que la fraction - mesure

cette longueur, cela veut dire que si on divise Tunité de longueur en 7 parties égales, la longueur considérée contient exactement 4 de ces parties, ni plus, ni moins.