Nous allons montrer maintenant qu'une longueur qui est

mesurée par une fraction peut être mesurée par une infinité d'autres

fractions.

Considérons, par exemple, la fraction rqui mesure la longueur RS,

quand on prend AB pour unité de longueur. Divisons l'unité AB en 5 X 3 parties égales, au lieu de la diviser seulement en 5 parties égales; chacune des anciennes parties contiendra 3 des nouvelles parties; la longueur RS qui contenait 7 des anciennes parties en contiendra donc 7 fois 3 des nouvelles; en d'autres termes, elle

pourra être mesurée par la fraction -; le raisonnement esl

général, et l'on peut énoncer le théorème suivant :

Deux fractions dont la seconde s'obtient en multipliant par un même nombre entier le numérateur et le dénominateur de la première^ mesurent la même longueur.

178. Il est maintenant aisé de trouver la condition nécessaire et suffisanle pour que deux fractions mesurent la même longueur

Soient t' n ^^s deux fractions, en désignant par a, 6, a', b' des 0 0

nombres entiers. D'après le raisonnement précédent, les deux fractions

axé' a' X ô

mesurent respectivement les mêmes longueurs que les fractions

-, -; elles expriment les mesures de ces longueurs, quand on divise

Tunité de longueur en 6 X *' parties égales, au lieu de la diviser en b ou en b' parties égales; mais elles ont maintenant le même dénominateur; elles ne peuvent donc mesurer la même longueur que si leurs numérateurs sont égaux, que si Ton a a X 6' = a' X 6.

Ainsi : la condition nécessaire et suffisante pour que deux fractions mesurent la même longueur consiste en ce que le produit du numérateur de la première par le dénominateur de la seconde soit égal au produit du numérateur de la seconde par le dénominateur de la première.

Pour quune fraction mesure la même longueur quun nombre entier donné, il faut et il suffit que son numéi*ateur soit égal au produit de son dénominateur par ce nombre.

On fera rentrer la seconde condition dans la première en convenant de regarder tout nombre entier comme une fraction, dont le dénominateur serait 1 et dont le numérateur serait le nombre entier considéré.

§ 2. — Deuxième définition des fractions. Égailté. Rédaction au même dénominateur.

179. Nous allons maintenant faire abstraction de Torigine concrète des fractions et nous adopterons les définitions suivantes que les explications qui précèdent justifient amplement :

Une fraction est Vensemble de deux nombres entiers, appelés Fun numérateur j l'autre dénominateur^ qui jouent des rôles différents. Cet ensemble est appelé lui-même un nombre; il est soumis à des règles de calcul qui seront bientôt expliquées. Le numérateur et le dénominateur sont les deux termes de la fraction.

On écrit le numérateur au-dessus du dénominateur en les séparant par une barre.

Le uumérateur peut être un nombre entier quelconque, le dénominateur un nombre entier quelconque autre que 0.

11 est clair que toutes les définitions relatives à légalité et aux