RÉDUCTION AU MÊME DÉNOMINATEUR. HO

opérations à effectuer sur les nouveaux nombres doivent être reprises FuDe après Tau^re.

180. Égaillé, — Par définition, une fraction dont le dénominateur est 1 est égale à son numérateur; elle est ainsi égale à un nombre entier.

Deux fractions sont égales si le produit du numérateur de la première par le dénominateur de la seconde est égal au produit du numérateur de la seconde par le dénominateur de la première ; autrement elles sont inégales.

Pour justifier cette définition abstraite de Tégalité^il faut montrer que deux fractions égales à une troisième fraction sont égales entre elles. Cette proposition, à la vérité, est évidente au point de vue concret, puisque les trois fractions mesurent la même longueur; il est bien aisé de la vérifier sans faire intervenir aucune notion étrangère à la pure Arithmétique.

Soient, en supposant que a, b, a\ b\ a", h" soient des nombres

entiers dont aucun n'est nul, -» -r, deux fractions égales à la fraction

— . On a, d apTèô la définition de Tégalité, b*

ab' = a"b,

en multipliant en croix ces deux égalités, on obtient

a'b"a"b = ab"a"b\ ou

K6;x(a"6") = (aô')xKr).

Les deux nombres entiers a'6, ab' donnent le même produit quand

on les multiplie par a"b" ; ils sont donc égaux. C'est dire que les deux

a a' fractions r » -jj- sont égales.

La démonstration subsiste quand b" est égal à 1 ; c'est-à-dire que deux fractions égales à un nombre entier sont égales entre elles.

Pour qu'une fraction soit égale à une autre fraction dont te numérateur est nul, il faut et il suffit que son numérateur soit aussi nul.

En effet, si dans l'égalité ab' = a'b, qui exprime en général que les

a a' fractions t» -t^ sont égales, on suppose a = 0, ab' devient nul et pour

que cib soit aussi nul, puisque b est essentiellement différent de zéro, il faut que a' soît nuL

Toutes les fractions à numérateur nul doivent donc être regardées

comme égales; Tune d'elles est la fraction - dont le dénominateur

est 1, et qui doit, d'après ce qu'on a dit plus haut, être regardée comme égale à son numérateur 0 :

7'oute fraction à numérateur nul est égale à 0.

181. En multipliant les deux termes d'une fraction par un même nombre entier, autre que zérOj on obtient une fraction égale.

Soit r la fraction donnée, je dis que, en désignant par m un

nombre entier quelconque, autre que zéro, on a

a am

J^bm}

celte égalité, en effet, veut dire que Ton a abm = bam, ce qui est évident.

Lorsque les deux termes d*une fraction sont divisibles par un même nombre entier, en les divisant par ce nombre^ on obtient une fraction égale.

En eflTel, par Je théorème précédent, la première fraction est égale à la seconde.

Considérons une fraction dont le numérateur a soit divisible par le dénominateur b\ soit q le quotient de la division de a par b\ on

aura a = bq, la fraction - == -^ est aussi égale, d'après le théorème

précédent, à p et par conséquent à y, en vertu d'une convention

antérieure. Ainsi :

Lorsque le numérateur d'une fraction est divisible par le dénominateur, cette fraction est égale au quotient de la division du numérateur par le dénominateur.

Par conséquent, la notation des fractions contient comme cas particulier la notation expliquée au u^ 116 pour représenter une division, quand celle-ci peut s'effectuer exactement.

Puisque, une fraction étant donnée, il y a une infinité de fractions qui lui sont égales, il est naturel de chercher parmi ces fractions celle qui est la plus simple de toutes, celle dont les termes sont les plus petits possibles.

182. Le précédent théorème permet de simplifier une fraction, en