RÉDUCTION AU MÊBIE DÉNOMINATEUR

divisant les deux fermes par un diviseur commun. Par exemple, on

6 3 peut remplacer ^ par -.

On appelle fraction irréductible toute fraction dans lamelle les deux tenues sont premiers entre eux. Observons, en passant, que d'après cette définition, le numérateur d'une fraction irréductible ne peut jamais être nul; une fraction irréductible n'est jamais nulle. Toute fraction non nulle est égale à une fraction irréductible ; pour obtenir celle-ci, il suffit de diviser les deux termes de la fraction donnée par leur plus grand commun diviseur, puisque (n* 140) les quotients sont premiers entre eux.

Par exemple, le plus grand commun diviseur entre 172 et 360 est 4;

par conséquent la fraction ^^ est égale à la fraction irréductible — .

oui) yu

183. Toute fraction égale à une fraction irréductible a ses deux fei*mes équimultiples des tomes de cette dernière; c'est-à-dire que les termes de la première fraction s'obtiennent en multipliant les termes de la seconde par un même nombre.

Soient, en effet, les deux fractions égales j-, ^; supposons la

première fraction- irréductible, c'est-à-dire a premier kb\ l'égalité

ab' ^a'b montre que a doit diviser le produit a'6, puisqu'il divise le nombre égal ab' ; il est premier avec 6, donc il divise a' ; appelons q le quotient, on aura a' =iaq^ et par conséquent ab' = aqb; les deux produits égaux ab\ aqb resteront égaux après la suppression du facteur commun a, qui n'est pas nul; on a donc b':=zbq. Les deux égalités

a' = aq, b'^=zhq^

expriment que les deux termes de la fraction, a\b\ sont des équimultiples de a et de b. On voit, en particulier, qu'il ne peut exister

de fraction égale à la fraction irréductible 7 et dont les termes soient

plus petits.

Si la fraction p était aussi irréductible, il faudrait, pour qu'elle

fût égale à ri que q fût égal à 1 : deux fractions irréductibles ne

peuvent être égales sans être égales terme à terme. Nous appellerons nombre fractionnaire toute fraction égale à une

fraction irréductible dont le dénominateur n'est pas 1 ; un nombre fractionnaire ne peut être égal à un entier.

184. Réduction au même dénominateur. — Des fractions étant données, on peut se proposer de trouver des fractions qui leur soient respectivement égales et qui aient toutes le même dénominateur.

Soient les fractions

On parviendra évidemment au résultat en multipliant les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs des autres î on obtiendra ainsi les fractions

qui sont respectivement égales aux précédentes et qui ont le même dénominateur. On peut les écrire

185. La solution que nous venons d'indiquer n'est pas la seule ; il y en a une infinité d'autres, et parmi toutes ces solutions il y en a une plus simple que toutes les autres*

Supposons les fractions données irréductibles et cherchons comment des fractions qui leur sont égales respectivement peuvent avoir le même dénominateur. Nous pouvons raisonner sur les fractions précédentes

qui sont irréductibles. Soit M un nombre qui puisse servir de dénominateur commun à des fractions respectivement égales à celles-là.

Toute fraction égale à la fraction irréductible j a son dénominateur

multiple de 4; ainsi M doit être un multiple de 4; pour la même raison il doit être un multiple du dénominateur de chacune des frac-

tions -ri r:» r^ ; c'est donc un multiple commun des dénominateurs

de ces frsictions : réciproquement tout multiple commun M de ces