RÉDUCTION AU MÊME DÉNOMINATEUR
dénominateurs répond à la question : il existe, en effet, une fraction
égale à ^ et dont le dénominateur est M; on Tobtient en divisant M
par 4 et en multipliant les deux termes de j par le quotient : on
obtiendra de même des fractions ayant H pour dénominateur et
7 5 respectivement égales à -i 75.
Si, par exemple, on prend pour M le nombre 72, qui est un commun
multiple de 4, 8, 12, on obtient les fractions cherchées en multipliant
les deux termes de 7 par -7- — 18, les deux termes de - par-— = 9, 4*^ 4 8*8
les deux termes de 77; par -- = 6 ; on trouve ainsi 12*^ 12
Le procédé que Ton vient d'exposer fournit évidemment toutes les solutions possibles : la solution la plus simple s'obtiendra en prenant pour le dénominateur commun M le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données, qui sera ici 24 : on
3 7 5 multipliera alors les deux termes de -» -» ~ respectivement par
-T- =: 6, -5- = 3, — = 2, et Ton obtiendra les fractions
X fractions
el dont le dénominateur est le plus petit possible. Considérons une autre solution du problème et soient
des fractions respectivement égales aux fractions données : M' devra être un multiple commun de 4, 8, 12 et par suite un multiple de 24
151 LEÇONS DARITHMÉTIQUE.
(n« 149) ; soit q le quotient de la division de M' par 24. Comme on a en particulier
M' "" 24, c'est-à-dire
Ax24 = M'Xl8,
et que M' est égal à 24 X f , on en déduit, après la suppression du facteur commun 24,
On aura de même
B = 21xy, C=10X9.
Ainsi toutes les solutions du problème s'obtiendront en multipliant par un même nombre entier, diflférent de zéro, d'ailleurs quelconque, les deux termes de chacune des fractions
Règle. — Pour réduire plusieurs fractions irréductibles au dénominateur commun le plus simple, on cherche le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions. Ce plus petit multiple est le dénominateur commun cherché. Le numérateur de chaque fraction s'obtient en multipliant le numérateur de la fraction à laquelle elle doit être égale par le quotient de la division du plus petit commun multiple par le dénominateur de cette même fraction.
L'opération ne présentera aucune difficulté quand les termes des diverses fractions seront décomposés en facteurs premiers, les multiplications et divisions se faisant alors immédiatement. Considérons, par exemple, les fractions
2'»x5''Xll 5^X17X3 19x2''x5
le plus petit commun multiple des dénominateurs sera
2»x3x5'XllXl7xl9, qui, divisé par les dénominateurs, fournit les quotients
et les fractions cherchées sont
2»X3x5»XllXl7xl9' 2»x3x5»XllXl7xl9' 2X3X5«X7X11»X17 2»x3x5»XllXl7xl9'
Dans le cas particulier où les dénominateurs des fractions proposées sont premiers deux à deux, leur plus petit commun multiple est leur produit. On retombe alors sur le procédé du numéro précédent.
On peut se proposer, quand on se donne des nombres entiers et des fractions, de trouver des fractions respectivement égales à ces entiers et à ces fractions, et qui aient toutes le même dénominateur.
11 n'y a qu'à appliquer la règle précédente en regardant les entiers comme des fractions dont le dénominateur est égalai. Pratiquement on fait la réduction au même dénominateur des fractions dont le dénominateur est plus grand que un : soit M le dénominateur commun; chaque nombre entier est égal à une fraction dont le numérateur est le produit de ce nombre par M et dont le dénominateur est M.
Remarquons que le procédé qui sert à réduire les fractions au même dénominateur permettrait également de réduire des fractions données au même numérateur, et aussi de remplacer deux fractions données par des fractions qui leur seraient respectivement égales, le numérateur de Tune étant égal au dénominateur de Tautre.
§ 3. — Opérations sar les fractions.
186. Addition, — Pour défmir l'addition de deux fractions, nous nous reporterons à la signification concrète des fractions.
Supposons d'abord que les deux fractions aient un même dénominateur : soient, par exemple, les deux fractions
-, -. Quand on a pris une unité de longueur AB, ai i i i i i i-ib
' 7 Cl I I ID
qu'on l'a divisée en 7 parties éffales,la première ^ i i i i i-i f
Q r o r 01 I I l-l I I I IP
fraction - mesure une longueur CD obtenue en
plaçant bout à bout 3 de ces parties ; la seconde mesure une longueur
EF obtenue en plaçant bout à bout 5 de ces parties. 11 est naturel de
3 5 regarder la somme des fractions -, - comme mesurant la longueur
OP obtenue en plaçant bout à bout, sur tine même droite, les longueurs CD, EF; cette longueur OP contient 3 + 5 des parties, elle est mesurée par la fraction •
Il est donc naturel de regarder comme la somme de deux ou plusieurs fractions ayant le même dénominateur, une nouvelle fraction ayant encore ce même dénominateur, et dont le numérateur s'obtient en faisant la somme des numérateurs des fractions proposées.
Quand les fractions n'ont pas le même dénominateur, il est naturel de les remplacer par des fractions égales, de même dénominateur. On est ainsi conduit à la défînition suivante, qui contient en même temps la règle de l'opération.
L'addition de plusieurs nombres entiers ou fractionnaires se fait en remplaçant tous ces nombres par des fractions qui leur soient respectivement égales, et qui ont un même dénominateur. On ajoute ensuite les numérateurs^ on prend le total comme numérateur d'une nouvelle fraction, et pour dénominateur le dénominateur commun, La fraction ainsi formée, ou toute fraction égale, est la somme des nombres entiers ou fractionnaires proposés,
Par exemple, lasomme des fractions j, ^^^-v-;^ somme que Ton écrit
s'obtient en remplaçant les fractions par les fractions égales et de même dénominateur
leur somme cherchée est la fraction
Cette même fraction — est aussi la somme des deux nombres 2 et
— » car le premier est égal à la fraction — .
187. Toutefois, pour justifier la définition et la règle qui précèdent.
il faut montrer que si l'on emploie deux procédés différents pour réduire les fractions données au même dénominateur, on trouvera toujours des sommes égales.
La somme à effectuer peut contenir des fractions et des entiers ; mais en regardant ces derniers comme des fractions dont le dénominateur est égal àTunité, on est ramené au cas oQ tous les nombres d ajouter sont des fractions.
Supposons que ces fractions soient au nombre de trois, qu'elles aient été réduites au dénominateur commun le plus simple et représentons-les, dans cet état, par
abc D' 0' D'
leur somme sera la fraction
Si on les réduit d'une autre façon au même dénominateur, les nouvelles fractions doivent pouvoir se déduire des précédentes en multipliant tous les termes par un même nombre entier^ (nM85}. Elles pourront donc se représenter par
aq bq Dq' Dç '
cq l)q
et leur somme sera
alors la fraction
ou encore
cette fraction, obtenue en multipliant par q les deux termes de la
fraction , lui est égale (n- 181),
Du même coup, il est évidemment démontré que, si Ton se donne des nombres quelconques, entiers ou fractionnaires, puis d'autres nombres, entiers ou fractionnaires, qui leur soient respectivement égaux, la somme des premiers est égale à la somme des seconds : il suffit, pour s'en convaincre, de supposer que les différents nombres aient été réduits au même dénominateur.
Il est k peine utile de dire que Taddition des nombres entiers rentre dans la définition de Taddition des fractions; le dénominateur commun des fractions que Ton substitue à ces nombres entiers est alors un.
L'addition des fractions étant ramenée au fond à celle des nombres entiers, par la réduction au même dénominateur, les propositions énoncées au n<> 12 s'étendent d'elles-mêmes aux fractions* Ainsi :
Dans une somme de nombres entiers ou fractionnaires, on peut intervertir Tordre des termes de la somme, remplacer tels nombres que Ton veut par leur somme effectuée. Pour ajouter à un nombre la somme de plusieurs autres, on peut lui ajouter successivement ces derniers, etc.. Il suffît, après avoir fait la réduction au même dénominateur, d'appliquer aux numérateurs ces théorèmes, certainement vrais pour les nombres entiers.
188. Inégalité, — Étant données deux fractions qui ne sont pas égales, on reconnaît cette inégalité en les réduisant au même dénominateur; les numérateurs sont alors inégaux, l'un est plus grand que l'autre ; la fraction qui correspond au plus grand numérateur est dite plus grande que celle qui correspond au plus petit ; celle-ci est dite plus petite que la première.
Le sens de l'inégalité ne dépend pas non plus de la façon dont on a réduit les fractions au même dénominateur.
Supposons, en effet, qu'on ait commencé par les réduire au dénominateur commun le plus simple et représentons-les, dans cet état, par
si on les réduit au même dénominateur d'une autre façon, les nouvelles fractions se déduiront de celles qu'on vient d'écrire, en multipliant tous leurs termes par un même nombre q\ elles pourront donc se représenter par
aq bq
Or, si la première fraction — est plus grande que la seconde fraction —, c'est que l'on a a > ô ; on a alors aq>bq; réciproquement cette dernière inégalité entraîne a >> ^ ; la conclusion est évidente.
0, a' Si les deux fractions données sont r» 7-, elles deviennent, en les
ab' a'b réduisant au même dénominateur, — > ^^7; elles sont égales si l'on
a ab' z= a'b\ la première est la plus grande, si Ton a a*'> a'b. Si Ton supposait que leurs numérateurs a, a' fussent égaux (sans être nuls), il faudrait donc, pour que les deux fractions fussent égales, que Ton eût 6' = 6, et pour que la preinière fût la plus grande, que Ton eût b' > A, d'où Ton tire la conclusion suivante :
Deux fractions qui ont le même numérateur ne peuvent être égales que si leurs dénominateurs sont égaux. De deux fractions qui ont le même numérateur et des dénominateurs inégaux, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Ces théorèmes supposent toutefois que les fractions ne soient pas nulles.
Une fraction étant donnée, on l'augmente soit en augmentant son numérateur, soit en diminuant son dénominateur.
