Faisons encore la remarque suivante
Étant donné un nombre > aussi petit que Ton voudra, mais non
nul, on peut trouver des nombres plus petits : tel sera en effet le
nombre jTi si b' est plus grand que b. En particulier, il y a des
puissances de 10 supérieures à 6; si lO" est une telle puissance, la
fraction — , et a fortiori la fraction — sera plus petite aue -; • 10" 10" ^ à
190. La réduction au même dénominateur permet de ranger plusieurs fractions données par ordre de grandeur.
Ainsi, si on considère les fractions t» -' t::» en les réduisant au
18 21 10 même dénominateur, on obtient les fractions ^7* ^' ^rr» et Ton voit,
si on les écrit dans Tordre
ou, ce qui est la même chose :
que chaque fraction est plus grande que la précédente.
191. La réduction au même dénominateur permet aussi d'étendre aux fractions les propositions relatives aux inégalités, démontrées pour les nombres entiers.
Désignons par A, B, C,... des nombres quelconques entiers ou fractionnaires (*).
Si Ton a A > B et B > C, on a aussi A > C et Ton peut écrire
On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité; celle-ci subsiste dans le même sens. Cette proposition contient la suivante : En ajoutant à un même nombre deux nombres inégaux, on obtient deux nombres qui sont aussi inégaux.
On peut ajouter, membre à membre, plusieurs inégalités de même sens.
192. Soustraction, — En ajoutant à une fraction une fraction qui n'est pas nulle, on obtient une fraction plus grande, comme il est évident, en supposant les deux fractions réduites au inéme dénominateur. Inversement, étant données deux fractions telles que la première soit plus grande que la seconde^ il existe une fraction gui, ajoutée à la seconde, reproduit la première. Cette fraction s'appelle la différence entre les deux fractions données; l'opération qui consiste à la trouver s'appelle soustraction.
Supposons les deux fractions réduites au même dénominateur, et
soient par exemple
8 est la somme des deux nombres 2 et 6, ^ sera donc la somme de -
fi fi '9
et de - : d'ailleurs - est le seul nombre qui, ajouté à -, donne pour
somme -, car, si on ajoute deux nombres inégaux à un même
nombre, on obtient deux sommes inégales.
Étant donnés deux nombres entiers ou fractionnaires, pour retrancher le plus petit du plus grand, on réduit ces deux nombres au même dénominateur ; on retranche ensuite le plus petit numérateur du plus grand et l'on prend la différence comme numérateur d'une nouvelle fraction, à laquelle on donne comme dénominateur
1. Lo lecteur observera que c'est la première fois qu'une fraction est représentée par une lettre ; jusqu'ici une lettre n'a 'amais reirésëntë au'un nombre entier.
le dénominateur commun. Cette nouvelle fraction est la différence cherchée.
La soustraction peut encore se faire quand les deux nombres sont égaux ; leur différence est 0.
La réduction au même dénominateur ramenant la soustraction des fractions, comme Taddition, à la soustraction des nombres entiers, tous les théorèmes des n*' 54-65 relatifs à la façon dont on peut ajouter à un nombre une somme ou une différence, retrancher d'un nombre une somme ou une différence, traiter les expressions obtenues en ajoutant ou en retranchant des nombres rangés dans un certain ordre, s'étendent immédiatement au cas où les nombres auxquels on a affaire sont des fractions, ou tantôt des fractions, tantôt des nombres entiers. Au reste, la possibilité d'étendre ces théorèmes aux fractions s*aperçoit encore, en remarquant que les démonstrations de ces propositions ont été toujours présentées de manière à ne faire intervenir que les propriétés relatives à Taddition, la définition de la soustraction et ce fait qu'il n'y a qu'un nombre qui, ajouté à un nombre b, puisse donner comme somme un nombre a.
Toutes ces propositions subsistent. Les démonstrations ont été faites le plus souvent avec des lettres qui peuvent représenter aussi bien des fractions que des entiers. Les conclusions subsistent donc, comme aussi les propositions relatives aux inégalités (n"* 66), aux nombres rangés par ordre de grandeur, aux progressions arithmétiques (n"» 67-70).
193. Recherche du plus grand entier contenu dans une fraction, — On reconnaît de suite si une fraction est inférieure (^), égale ou supérieure à 1 : le nombre 1 est lui-môme égal à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont égaux au dénominateur de la fraction donnée ; la fraction sera donc inférieure, égale ou supérieure à 1, suivant que son numérateur sera inférieur, égal ou supérieur à son dénominateur.
Une fraction étant donnée^ si on divise le numérateur par le dénominateur y la fraction peut être regardée comme la somme du quotient et d'une fraction^ plus petite que 1 , de même dénominateur qu'elle ef dont le numérateur est le reste de la division (^).
1. Une fraction plus petite que uo s'appelle fraction proprement dite.
2. Quand un nombre est la gomme d'un entier et d'une fraction, on le représente souvent en
1 i écrivant d'abord le nombre entier, puis, à la suite, la fraction ; ainsi les symboles 3 -r, i -
ont le même sens que 3 + 0' * + '^' Cette notation, qu'on emploiera quelquefois dans le chapitre IX, n'est guère usitée que si la fraction a des termes très simples.
Taxxert. l l
Soit, par exemple, la fraction
En divisant 2872 par 25, on trouve 114 comme quotient et 22 comme reste ; c'est-à-dire que Ton a
On en conclut, par la règle d'addition des fractions»
Mais — zrz — est égal à -7- ou à 114 ; on a donc 25 1
c'est ce qu'il fallait démontrer.
Si le numérateur de la fraction donnée était plus petit que le dénominateur, le quotient serait 0, le reste serait le numérateur ; l'opération serait inutile.
Si le numérateur de la fraction donnée était divisible par le dénominateur, le reste serait nul et la fraction seAit, comme on le savait déjà (n* 182), égale à un nombre entier.
Revenons à l'exemple précédent. On a, puisque la division de 2872 par 25 laisse un reste (n«» 102),
on en conclut, d'après les règles du n<* 188,
ou
ce qu'on exprime en disant que la fraction est comprise entre
les deux nombres entiers consécutifs 114 et 115, ou encore que 114 est le plus grand nombre entier inférieur à la fraction (ou contenu
dans la fraction), et que 115 est le plus petit nombre entier supérieur à là fraction.
Si donc Ton considère la suite des nombres entiers consécutifs
qui forme une progression arithmétique dont la raison est 1, toute fraction qui n'est pas égaie à un nombre entier trouve sa place entre deux termes de cette suite, dont le plus petit est précisément le quotient de la division du numérateur par le dénominateur. Sa différence avec Tun ou l'autre de ces deux termes est moindre que 1 ; sa différence avec n'importe quel autre terme de la suite est plus grande que 1 {a* 69).
Ainsi, une fraction étant donnée, si on divise le numérateur par le dénominateur, le quotient est le plus grand nombre entier contenu dans la fraction, c'est-à-dire le plus grand nombre entier inférieur ou égal à la fraction, l'égalité ne pouvant avoir lieu que lorsque le numérateur est divisible par le dénominateur. Ce quotient est le seul parmi les nombres entiers inférieurs ou égaux à la fraction qui en diffère de moins d'une d'unité. On l'appelle partie entière de la fraction, ou valeur approchée de la fraction à une unité près par défaut. Le quotient, augmenté d'une unité, est toujours plus grand que la fraction ; il en diffère d'une unité si le numérateur est divisible par le dénominateur, de moins d'une unité dans le cas contraire. Parmi les nombres entiers plus grands que la fraction, c'est celui qui en diffère le moins. On l'appelle valeur approchée de la fraction^ à une unité près, par excès,
194. Multiplication, — La multiplication d'un nombre (entier ou fractionnaire) par un nombre entier peut se définir comme au n^ 17.
Écartons d'abord le cas où ce nombre serait 0 ou 1 . Dans le premier cas, le produit, par définition, serait 0 ; dans le second cas, par définition encore, il serait égal à la fraction donnée.
Le produit d'un nombre (entier ou fractionnaire), appelé multiplicande, par un nombre entier, appelé multiplicateur, autre que 0 ou 1 , est la somme d'autant de nombres égaux au multiplicande qu'il y a
d'unités dans le multiplicateur.
Ainsi le produit de - par 4 sera par définition
Jtègle. — Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on
multiplie le numérateur de la fraction par le nombre entier et ton conserve le dénominateur.
Après avoir fait celle multiplication, on peut simplifier le produit, s'il y a lieu. En particulier, si le dénominateur était divisible parle nombre entier qui a été employé comme multiplicateur, on pourrait diviser en haut et en bas par le multiplicateur, ce qui rétablirait le numérateur primitif. En appliquant aux fractions le langage expliqué au n® 17, on peut dire :
On rend une fraction deux, trois^ quatre.,, fois plus gratide^ en multipliant son numérateur par 2, 3, 4..., ou, lorsque l'opération peut se faire exactement, en divisant son numérateur par 2, 3, 4....
195. En particulier, si on multiplie une fraction par son dénominateur, on trouve comme produit son numérateur.
Par exemple, le produit de ^ par 5 est — z — = 7 = 3.
Ainsi, 3 peut être regardé comme la somme de 5 nombres égaux
3 3 à ^ ; ^ est d'ailleurs le seul nombre tel que, en le répétant cinq fois, 5 5
on trouve 3; car, en ajoutant cinq nombres plus petits que -» on
trouverait un résultat plus petit, en ajoutant 5 nombres plus
grands que-i on trouverait un résultat plus grand. C'est ce qu'on o
exprime souvent en disant que - est la cinquième partie de 3.
Le raisonnement est général et l'on peut énoncer le théorème suivant :
Une fraction dont te dénominateur est n est la n**"* partie de son numérateur; ce qui veut dire que le numérateur est égal à la somme de n fractions égales à la fraction donnée.
Le lecteur reconnaîtra immédiatement que l'interprétation concrète de ce résultat a déjà été donnée au n<> 173.
196. Par définition, le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs des fractions proposées, dont le dénominateur est le produit des dénominateurs de ces fractions.
L'ordre des facteurs au numérateur et au dénominateur du produit n'importe évidemment pas, non plus, par conséquent, que l'ordre des deux fractions que l'on veut multiplier et dont l'une pourra être appelée multiplicande, l'autre multiplicateur. On donnera, à l'une et à l'autre, le nom de /acteur du produit des deux fractions.
On est conduit naturellement à cette définition par le théorème
du n^ 121 qui, dans notre langage actuel, se rapporte au cas où le
numérateur de chaque fraction est divisible par son dénominateur.
2 3 Ainsi le produit de - par - sera
Pour justiûer la définition précédente, il faut montrer que si Ton donne d'une part deux fractions, d'autre part deux autres fractions qui leur soient égales, le produit des premières est égal au produit des secondes.
Soient-^ 77 deux fractions, — » — des fractions qui leur soient rès-
pectlvement égales. On a par hypothèse
aB =:éA, a'W = é'A' ;
on en conclut, en multipliant membre à membre et en groupant convenablement les facteurs,
{aa')X(BB0 = (66')X(AA0.
Or cette égalité exprime précisément ce qu'il fallait démontrer, que la fraction — est égale à la fraction —, •
Lorsque Tune des fractions que Ton multiplie est un nombre entier, il suffit de multiplier le numérateur de l'autre par ce nombrç, et Ton retombe sur la règle du numéro précédent.
Quand Tune des fractions est égale à 1, le produit est égal à l'autre fraction. Quand l'une des fractions est nulle, le produit est nul.
197. Il convient de s'arrêter au cas où le numérateur de l'une des
fractions est égal à l'unité.
Soit, par exemple, à multiplier g par « ; le produit est - — =. Si
3x7 3 l'on répétait 7 fois ce produit, on obtiendrait comme résultat^ — ^ = -;
5X7 5 c'est dire, en employant le même langage qu'au n^ 195, que =
est la septième partie de r ; c'est ce qui explique cette façon dï
parler : iimltipUer un nombre par -, c'est en prendre la septième
