Trouver les solutions en nombres entiers de Téquation

4x = 2(2a:+2y — ary).

On observera tout d'abord que les nombres entiers x, y doivent être moindres que 6, sauf dans le cas où Ton supposerait x =2.

(Cette question se présente quand on se propose de partager la surface d'une sphère en polygones réguliers et égaux).

182. P, a, 6 étant des nombres entiers premiers entre eux deux à deux, et P étant

p inférieur au produit a6, démontrer que Ton peut mettre la (hiction-r, et cela

d'une seule façon, sous Tune des formes -+r)- + T^lfAet B,... étant des

nombres entiers respectivement moindres que a et 6.

183. P, a, 6, c, ... étant des nombres entiers premiers entre eux deux à deux,

p démontrer que la fraction . ■ peut se mettre, et cela d'une seule façon, sous aoc.

Tune des formes.

n étant un nombre entier, et a, p, y* ••• ^^^ nombres aussi entiers, dont aucun n^est nul, et qui sont respectivement moindres que a, 6, c, .... p

184. Soit — une fraction irréductible dans laquelle le dénominateur est une

poissance d*an nombre entier, autre que 1. Démontrer que cette fraction peut être mise sous la forme

n étant un nombre entier, ainsi que les nombres Oo, ai, ..., a«.f ; ces nombres sont tous plus petits que a; le nombre Oo ne peut être nul.

185. En supposant que le dénominateur d'une fraction irréductible, décomposé eu facteurs premiers, soit a* b^ cT...,où a, 6, c, ... sont des nombres premiers distincts, démontrer que cette fraction peut, et cela d'une seule façon, être mise sous la forme

Î0 4. ?L^ + ...+ ?^ 6o 6, *fl i

n étant un nombre entier; les nombres a^, ai, ..., a«.t étant entiers et plus petits que a; les nombres 6o, 6i, ..., 6^. i, étant entiers et plus petits que 6, etc. Les nombres a«, 6o, Co, ..., ne sont jamais nuls.

Taknbrt. i 3

194 LEÇONS D'ARITUMÉTIQUE.

186. 2 étant une fraction à termes entiers, plus petite que un, on a, en désignant par q et «i le quotient et le reste de la division de b par a,

a 1 a — Ot

6 q+ l b[q-{-l) L'emploi répété de cette égalité permet de mettre la fraction - sous la forme

en désignant par q, q\ q", ... des entiers, en nombre limité, qui vont en croissant {*). 187. En conservant les notations de l'exercice précédent, montrer que l'égalité

a l Oi^ 6 "" ^ hq

permet do mettre la fraction t sous la forme

b qa qi qt Ci 9u-i ^n

où il faut prendre dans les deux derniers termes les signes supérieurs ou les signes inférieurs suivant que n est impair ou pair, et où ^«, qu ?ti — . 7ii-i» ^u désignent des nombres entiers croissants qui satisfont à la condition q^^ql^^ + qj,^i pour les valeurs 1, 2, ... , n attribuées à l'indice p. 188. Si q est un nombre plus petit que 1, on a

180. Des joueurs, en nombre n et en ordre donné, conviennent que le perdant doublera Targent des w — 1 autres : ils perdent chacun une partie dans l'ordre donné, et à la fin, ils ont chacun la même somme a. Combien avaient-ils en commençant ?

190. Un vase contient a litres de vin ; on en tire 6 litres que l'on remplace par de Teau; on retire encore 6 litres, que l'on remplace par de l'eau, et ainsi de suite 71 fois ; combien restera-t-il de vin dans le vase ?

191. En désignant par x un nombre quelconque et par n un entier quelconque plus grand que l, on a :

E(^)+E(ar+1) + fi (r + ^) -^. ... + £ (x -f î^) = E (nx).

1. Les É/ypliei)8, dans leurs colculs, n'omployaiont que des fractions ayant pour numérateur l'unité, sauf, toutefois, la fraction ^. Toute fVaction devait donc être décomposée en une somme

de fractions ayant pour numérateur Tunité : la règle précédente fournit un moyen d'y arriver: le problème admet d'ailleurs beaucoup d'autres solutions. Les Égyptiens cherchaient, autant que possible, à avoir des dénominateurs simples, ou, au moins, décomposables en facteurt» simples, mais nullement à obtenir une suite do fractions dont chacune fût très petite par rapport aux précédentes : c'est ce dernier oroblème que résout la méthode indiquée.

. ax 4- b

192. Étant donnée Texpression -- — —-77 où a', b' sont des nombres différents de 0,

ax -^ o '

a b démontrer quelle est toujours comprise entre ^ et r-^; quand la valeur de x

augmente, la valeur de cette expression augmente ou diminue suivant que Ton

a — 7 > -77t ou — < 77; quamve-t-il quand on a — = —■? a' b' a' b' a' U