FRACTIONS DÉCIMALES, OPÉRATIONS. J
troisième ... ordre les nombres—., ^r-r, 77^.0, .... Dès lors, on peut
dire que chaque chiffre décimal représente des unités dix fois plua fortes que le chiffre décimal écrit immédiatement à sa droite, et que le chiffre des unités simples représente, lui aussi, des unités dix fois plus fortes que le chiffre décimal qui le suit, dont il est séparé par une virgule.
222. Réduction au même dénominateur, — Égalité^ inégalité, — Nous ferons d'abord les observations suivantes : Deux fractions décimales qui, écrites sous la forme de fractions ordinaires, ont le même dénominateur, ont le même nombre de chiffres décimaux quand on les écrit avec la notation décimale. Si on considère une fraction décimale écrite sous la forme d'une fraction ordinaire, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par une même puissance de 10, ce qui revient à placer un même nombre de zéros à droite du numérateur et du dénominateur, ou, dans la notation décimale, à placer ces zéros à droite des chiffres décimaux sans déplacer la virgule ; ainsi on a
donc :
On n'altère pas une fraction décimale, écrite avec la notation décimale^ en plaçant des zéros à la droite des chiffres décimaux, sans déplacer la virgule; on ne f altère pas non plus en supprimant des zéros placés à droite de la partie décimale.
D'après cela, on réduira au même dénominateur deux fractions décimales écrites avec la notation décimale en plaçant assez de zéros à la droite de la partie décimale de celle des fractions qui a le moins de chiffres décimaux pour qu'elle en acquière autant que Tautre.
Si Ton se donne, par exemple, les deux fractions 12,371 et 0,00897, on remplacera la première par 12,37100; les deux fractions
lUUOOO ' 100000
ont le même dénominateur.
Étant données autant de fractions décimales que Von voudra, on les réduira au même dénominateur en plaçant assez de zéros à la droite des chiffres décimaux de celles qui en ont le moins pour que toutes aient le même nombre de chiffres décimaux,
223. Quand deux fractions ont le môme dénominateur, on reconnaît de suite à l'inspection des numérateurs si elles sont égales ou non,
et, dans ce dernier cas, quelle est la plus grande. L'application de cette règle aux fractions décimales fournit les théorèmes suivants.
Pour que deux fractions décimales, écrites avec la notation décimale, soient égales, il faut et il suffit que les chiffres avec lesquels elles sont écrites soient les mêmes et occupent les mêmes places relativement à la virgule, sauf les zéros placés à droite des chiffres décimaux significatifs, zéros dont il n'y a pas lieu de tenir compte.
En d*autres termes et en ne tenant pas compte des zéros qu'on peut placer à droite de la partie décimale, on ne peut écrire un nombre avec la notation décimale que d'une seule façon.
Deux fractions décimales étant données, on reconnaît que la première est plus grande que la seconde si la partie entière est plus grande, ou si, les parties entières étant égales, le premier chiffre décimal que Ton rencontre en allant de gauche à droite et qui diffère du chiffre décimal de même rang dans la seconde fraction est plus fort que ce dernier. Ainsi Ton a
parce que l'on a
3eî,03027 > 36.0298,
On peut faire sur les nombres décimaux une observation toute pareille à celle qui a été faite pour les nombres entiers quand on a traité de la numération (n^ 39). Chaque chiffre exprime des unités composées, simples ou décimales, d'un certain ordre; une unité de cet ordre est plus grande que le nombre formé par l'ensemble des chiffres qui suivent le chiffre que Ton considère, en supposant que chacun de ces chiffres conserve la signification qu'il avait dans le nombre proposé.
Ainsi, dans le nombre 357,8214 le chiffre 2 représente des centièmes, le chiffre 5 représente des dizaines; un centième ou 0,01 est plus grand que 0,0014; 10 ou une dizaine est plus grand que 7,8214. On a, en effet
10000 ^ io(X)o' louoo'-^ 10000 ■
224. Addition et sousfra tion. — On ramène les fractions écrites
dans la notation décimale à avoir le même nombre de chiffres décimaux ; elles peuvent être regardées alors comme ayant le même dénominateur; en employant la notation des fractions ordinaires, il faudrait, pour ajouter ou retrancher les fractions, ajouter ou retrancher 1 es numérateurs : l'opération faite, on aurait ensuite à revenir à la notalion décimale, en séparant à la somme ou à la différence autant de chiffres décimaux qu'il y en avait dans chacun des nombres. Pour ajouter ou retrancher les numérateurs, on les disposerait comme il a été expliqué dans la théorie de Taddition ou de la soustraction des nombres entiers, et puisque les chiffres décimaux dans les fractions données sont partout en même nombre, on voit que les virgules, si on les avait conservées , seraient toutes dans une même colonne verticale, les unes au-dessous des autres, et que, dans la somme ou la différence, la virgule devrait être placée dans le prolongement de la même colonne verticale : le plus simple sera donc de conserver ces virgules dans les nombres donnés, que Ton écrira les uns au-dessous des autres, de manière que les virgules soient dans une même colonne verticale, ainsi que les chiffres qui, dans les différents nombres, occupent le même rang, soit à droite, soit à gauche, par rapport à la virgule, de faire Taddition ou la soustraction, comme pour les nombres entiers, sans tenir compte des virgules, et, enfin, de placer, au total ou à la différence, la virgule sous les virgules des nombres à ajouter ou à retrancher. On voit que, au moins pour Taddition, Tadjonction de zéros à droite des chiffres décimaux est inutile, puisque ces zéros n'interviennent pas dans l'addition. Pour la soustraction, on peut aussi bien se dispenser d'écrire ces zéros, mais il faut faire l'opération comme s'ils existaient.
On a donné ci-dessous un exemple d'addition et un exemple de soustraction pour des nombres décimaux :
225. MulH/jlication. — Pour multiplier deux fractions décimales écrites avec la notation décimale, on fait la multiplication comme pour les nombres entiers, sans tenir compte de la virgule, on sépare ensuite à la droite du produit autant de chiffres décimaux quil y en a dans le multiplicande et le multiplicateur.
Soient, par exemple, les deux fractions décimales 37,82 et 2,387;
on peut les écrire
leur produit est
on Tobtiendra donc en multipliant 3782 par 2387 et en séparant 2 + 3 = 5 chiffres décimaux à droite; on dispose l'opération comme ci-dessous :
Lorsque l'un des facteurs est un nombre entier, on doit séparer dans le produit autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans l'autre facteur.
Observons en particulier le cas où le multiplicateur est Tun des
nombres 10, 100, 1000, On peut alors appliquer la remarque du
n^' 1 94 relative au cas où l'on a à multiplier une fraction par un nombre entier qui divise exactement le dénominateur de cette fraction.
Soit, par exemple, à multiplier par 100 la fraction 2,87145; on peut écrire cette fraction
pour la multiplier par 100, il suffit d'en diviser le dénominateur par 100, ce qui se fera en supprimant deux zéros et donnera la fraction
Tciôir=^^''*^^ =
en l'écrivant avec la notation décimale, elle sera écrite avec les mêmes chiffres, mais avec deux chiffres décimaux de moins que la fraction donnée 2,87145 ; elle s'en déduira donc en avançant la virgule de deux rangs vers la droite. Ainsi :
FRACTIONS DÉaMALES, OPÉRATIONS. SOI
Pour multiplier une fraction décimale écrite avec la notation décimale par 10, 100, 1000, ..., on avance la virgule de un, deux, trois rangs vers la droite. Si Ton était arrêté dans celte opération par le manque de chiffres décimaux, on les remplacerait par des zéros. Ainsi le produit de 0,27 par 10G00s*obtiendra en appliquant la règle précédente à la fraction 0,2700; ce qui donne 2700; dans ce cas, après l'opération, il est évidemment inutile d'écrire la virgule.
226. Puisque la multiplication des nombres décimaux revient à la multiplication des nombres entiers, ou pourra, si Ton ne veut conserver qu'un certain nombre de chilTres d'un produit, appliquer le procédé dit abrégé (n* 99). Les calculs sonl tout pareils, qu'il s'agisse de nombres entiers ou décimaux ; la seule précaution à prendre concerne la détermination de Tordre du dernier chiffre conservé. Les explications qu'on vient de donner et celles que l'on a données lorsqu'on a exposé la théorie de l'opération abrégée permettront toujours de le faire avec sécurité.
227. Division, — Observons d'abord que pour diviser (exactement) un nombredécimalparlO, 100, 1000, ...,il suffit de reculer la virgule vers la gauche de un, deux, trois, ... rangs. Si on est arrêté dans l'opération par le manque de chiffres, on suppléera à ces chiffres par des zéros placés à gauche de la partie entière, en nombre suffisant pour que, après l'opération, il en reste un avant la virgule.
Ainsi le quotient exact de 132,781 par 100 est 1,32781; celui de 0,07 par 1000 est 0,00007. Cette règle se déduit si l'on veut de la règle relative à la multiplication d'un nombre décimal par 10, 100, 1000, ... ; en multipliant en effet le nombre 1,32781 par 100 et le nombre 0,00007 par 1000, on retrouve évidemment les nombres donnés 132,781 et 0,07.
228. Dans le cas général, on obtiendra le quotient exact d'un nombre décimal par un autre nombre décimal ayant le môme nombre de chiffres décimaux (ce que l'on peut toujours supposer), en écrivant une fraction ordinaire dont les deux nombres décimaux donnés soient respectivement le numérateur et le dénominateur, et en supprimant les virgules.
Soit, par exemple, à diviser 38,761 par 21,142 : c'est diviser 38761 21142 , ». . »
lUUO X 21142 21142 11 est mis sous forme d'une fraction ordinaire : nous ne pouvons
poùir le moment aller plus loin; nous reviendrons au n* 253 sur la division des nombres décimaux, quand nous aurons traité de la réduction d'une fraction ordinaire en fraction décimale, problème qui se pose maintenant de lui-même.
§ 2. — Conversion d'une ft*actlon ordinaire en ft*action décimale.
