Le problème est le suivant : Étant donnée une fraction
ordinaire^ trouver la plus grande fraction décimale d'un nombre donné
de chiffres décimaux^ qui ne dépasse pas la fraction donnée,
Soit, en désignant par a et ^ des nombres entiers, j la fraction
donnée; cherchons le plus grand nombre décimal de n chiffres
décimaux qui ne dépasse pas -; en mettant ce nombre décimal sous
la forme d'une fraction ordinaire, on pourra le représenter par — -^,
son numérateur K étant entier; cet entier K est déterminé par les inégalités
qui ne font que traduire l'énoncé; on en conclut
K<^ XlO" < K + 1,
et ces dernières inégalités montrent que K est la partie entière de
la fraction — - — , ou, si l on veut, le quotient de la division de
^ X 10" par b, au sens de la théorie des nombres entiers.
/iègle. — Pour trouver le plus grand nombre décimal de n chiffres décimaux qui soit inférieur ou égal à une fraction donnée, on multiplie cette fraction par 10", on cherche la partie entière du produit, et, à droite de cette partie entière, on sépare n chiffres décimaux.
Considérons la suite des fractions décimales de n chiffres décimaux, on peut les écrire
0 — A J JL K + 1
10"' 10"' 10"' ""lO'' 10" '""
CONVERSCON EN KHACTION DÉCIMALE. 903
elles forment une progression arithmétique; chacune d'elles
s'obtient en ajoutant — ; à la précédente. La fraction - est égale
à Tune d'elles — , ou bien tombe entre deux consécutives, — et 10" 10"
; dans le premier cas, - diflférera des fractions décimales de
w chiffres, autres que — , d'au moins — : dans le second cas, sa 10" 10"
différence avec — ou sera moindre que — ; sa différence
avec les autres fractions décimales de n chiffres décimaux sera
supérieure à — . Dans les deux cas, parmi les fractions décimales
de n chiffres qui ne dépassent pas - , c'est — ;; qui s'en approche le
plus.
La fraction — est dite la valeur approchée de - à — près, par 10" ^^ A 10"*^ *^
défaut; quand elle est écrite avec la notation décimale, on l'appelle encore valeur approchée de 7 avec n chiffres décimaux. La fraction
est dite la valeur approchée de - à — près, par excès.
Le quotient de la division de a X 10" par A, au sens de la théorie des nombres entiers, est K; si la division se fait exactement, la
fraction ordinaire 7 aura été transformée exactement en fraction
décimale; dans le cas contraire, soit r le reste : on aura
et en regardant les deux membres de cette égalité comme les numérateurs de fractions dont le dénominateur serait 10" X ^, on voit que l'on aura
a X 10" K X ft r
OU, après des simplifications évidentes,
a K on a ainsi l'expression de la différence entre - et — -; c est le pro-
duil de — - par une fraction - plus petite que Tunité.
31 1 Soit, par exemple, à chercher la valeur approchée de -=- à jjtj- ou
0,000001 près, par défaut. On devra diviser 31 X 10« = 31000000 par 7 au sens de la théorie des nombres entiers; le quotient est 4428571, le reste est 3; la valeur approchée s'obtient en divisant 4428571 par 1000000, c'est-à-dire en séparant six chiffres décimaux; on a d ailleurs, en vertu de la division,
31000000 = 4428571 X 7 + 3, d'où, en divisant (exactement) par 1000000 X 7,
égalité qui montre que la différence entre -=- et 4,428571 est égale
aux trois septièmes de un millionième (n<* 197).
