Quel est le plus grand des deux nombres

195. Si a est un nombre entier donné, autre que 1, la condition nécessaire et suffi-

p santé pour qu'une fraction irréductible ^ puisse être mise sous la forme

où «0 est un nombre entier et «i, «,, ..., «„ des nombres entiers tous inférieurs à o,

est que le dénominateur q, décomposé en facteurs premiers, ne contienne pas d'autres

facteurs premiers que ceux qui figurent dans a.

P Une fraction - ne peut être mise sous cette forme que d'une seule façon.

198. Toute fraction plus petite que 1 peut être représentée, avec telle approximation qu'on voudra, par une somme de fractions dont les numérateurs sont égaux à Tunité et les dénominateurs à des puissances de 2, toutes différentes.

En conclure que l'on peut réaliser approximativement la division d'une grandeur en n parties égales, en ne faisant jamais que des divisions par ï. — Par exemple, pour diviser approximativement une longueur en 00 parties égales on peut la diviser en 61 parties égales, ajouter à l'une de ces parties son seizième, puis le seizième de ce seizième.

Trouver une construction approchée pour inscrire dans un cercle un polygone régulier de sept côtés.

497. Si a est un nombre entier autre que 1, la valeur approchée d'un nombre

fi-nctionnaire A à — près, par défaut, pourra se mettre sous la forme a"

en désignant par o^ un nombre entier et par a,, «„ o^, ..., oi,^ des nombres entiers (qui peuvent être nais), tous plus petits que a. Si l'on suppose connus les nombres

ot^ «„ a,, a,, ...,«„, quelles seront les valeurs approchées de A à-, — , — "T^i' 1i

près par défaut ou par excès?

296 LEÇONS DARITHMËTIQUE.

198. Si le nombre A est mis sous forme d*une fraction irréductible -, et si le déno-

minateur 7, décomposé en facteurs premiers, contient un facteur qui ne fi^re pas

dansa, la recherche des valeurs approchées de A à •>, —, --, ..., --, ... pourra

être poursuivie indéfiniment; montrer comment cette recherche conduira à une suite de nombres entiers oh, 04, «,, ..., tous inférieurs & a, qui finira par être périodique.

Si a désigne un nombre entier autre que un, le nombre

a pour limite Tunité quand le nombre n augmente indéfiniment.

199. Si Ton réduit en fraction décimale une fraction irréductible -, qui donne

naissance à une fraction décimale périodique simple, le nombre de chiOY^s de la période est le plus petit nombre entier n tel que 10** — 1 soit divisible par b; il est par conséquent indépendant du numérateffi* a.

200. Si en désignant par a et 6 des nombres premiers entre eux on considère la progression géométrique indéfinie

et que Ton en divise tous les termes par 6, les restes se reproduiront périodiquement Le nombre de termes contenus dans une période est le plus petit entier n tel que a" — 1 soit divisible par b. (On reviendra sur ce sujet dans le chapitre final.)

201. Si a et 6 sont premiers entre eux et premiers à 10 et si m, n sont respectivement les nombres de chiffres des périodes dans les fractions décimales périodiques engendrées par deux fractions irréductibles dont les dénominateurs sont a et 6, toute fraction irréductible dont le dénominateur est ab engendrera une fraction décimale périodique dans laquelle le nombre de chiff'res de la période sera le plus petit commun multiple de m et de n. Tel sera le cas, en particulier, pour la somme des deux fractions proposées.

202. Quels sont les dénominateurs des fractions irréductibles qui peuvent servir de fraction génératrice à des fractions décimales périodiques simples dont les périodes aient un, deux, ou trois chiffres?

203. Trouver les dénominateurs des fractions irréductibles qui, réduites en fractions décimales, donnent naissance à une fraction décimale périodique mixte qui a deux chifi'res irréguliers et une période de trois chiffres.

204. Étant donné un nombre entier quelconque a, on peut en écrivant d*abord des 9 puis des 0, former un nombre qui soit divisible par a.

205. Étant donné un nombre entier a premier à 30, on peut trouver un nombre dont tous les chifTres soient des 1 et qui soit divisible par a.

Étant donné un nombre impair a, il existe un nombre entier n tel que 2^—1 soit divisible par a. (Cette proposition est aussi bien un cas particulier de celle qui est énoncée dans rexercice 200.)

206. Si b est un nombre premier et si la fraction irréductible ~ donne naissance à

b une fraction décimale périodique dans laquelle la période ait un nombre pair 2/1 de chiffres, la somme du nombre formé par les n premiers chiffres de la période et du nombre formé par les n derniers sera un nombre dont les n chiffres seront des 9.

207. Si 7 est une fraction irréductible donnant naissance & une fraction décimale

périodique simple dont la période ait 6 — 1 chiffres, et si Ton range sur un cercle.

FRACTIONS DÉCIMALES. $2l

d'après leur ordre, les 6 — l chiffres, ou les 6 — 1 restes partiels correspondants, diacune des figures ainsi obtenues restera la même quel que soit le numérateur a. Si Ton a effectué la réduction en fraction décimale pour une pareille fraction, on n*aura plus aucun calcul à faire pour effectuer la réduction de n'importe quelle autre fraction dont le numérateur sera un nombre premier à 6 et inférieur à b. Cette circonstance se présente en particulier pour les nombres 6=7, 17, 19, Î3, 29, 47, 59, 61, 97. 208. Trouver la limite vers laquelle tend le nombre

quand 72 augmente indéfiniment. (V. Ex. 173.) 209. Étant donnée une suite indéfinie de nombres entiers

a„ (y^flj, ...,«„, ...

tous plus grand que un, la valeur approchée par défaut d*un nombre fractionnaire

A à près, peut être mise sous la forme

Ui ai a^ flj ^t ^9 ^1 ^ ^h ••• A>i

a^ étant un nombre entier et «i, 04, ..., «„ des nombres entiers respectivement moindres que Ai, o,, ..., a„. Elle ne peut être mise sous cette forme que d'une façon. Supposant que Ton connaisse les nombres ««, «i, «i, ..., o^, on demande quelles sont les valeurs approchées par défaut et par excès de A à

près.