CALCULS APPROCHÉS

§ 1. — Valeurs approchées. — DéflniUons diverses.

257. Nous avons vu comment les calculs faits avec des nombres décimaux ont la plus parfaite ressemblance avec les calculs faits avec des nombres entiers. Au lieu de calculer avec des fractions, il semble préférable de calculer avec des nombres décimaux, de manière que toutes les additions, soustractions, multiplications et divisions portent sur des nombres décimaux ; toutefois si Ton veut procéder ainsi, on est obligé de remplacer, le plus souvent, les fractions et les quotients exacts par des valeurs approchées ; les calculs ainsi faits ne peuvent conduire qu'à des résultats approximatifs. D'un autre côté, les nombres décimaux que Ton emploie peuvent avoir un grand nombre de chiflFres décimaux; ce nombre s augmente considérablement, dans les calculs, si Ton a, par exemple, à effectuer des multiplications; alors les derniers chiffres décimaux peuvent représenter des unités tellement petites qu'elles n'offrent aucun intérêt dans la pratique ; ces dernières décimales peuvent n'inspirer aucune confiance, si les calculs proviennent de données qui ne sont elles-mêmes qu'approchées, et l'on peut penser avec raison qu'en les déterminant, on a fait des calculs inutiles. On voit se poser divers ordres de questions : quand on fait des calculs exacts sur des noml»*es qui ne sont qu'approchés, quel degré de confiance est-ce que méritent les résultats? Si l'on veut avoir des résultats suffisamment approchés, quel degré d'approximation faut-il avoir dans les données, et, en particulier, avec combien de décimales doiton connaître ces données? Combien de décimales convient-il de conserver aux résultats du calcul? Comment doit-on s'y prendre pour éviter autant que possible des calculs laborieux et inutiles? Ces questions se posent d'une façon plus pressante, s'il se peut, pour les problèmes d'ordre pratique. Là les données ne sont jamais exactes ; on sait seulement, pour chacune d'elles, qu'elle est comprise entre certaines limites, fournies par les instruments de

mesure (*). Cest aux questions de ce genre que Ton va essayer de répondre. Le lecteur reconnaîtra d'ailleurs que les principes qui vont être développés trouvent leur application, lors même que Ton ne s'astreint pas à calculer avec des nombres décimaux.

258. Lorsqu'on substitue à un nombre a regardé comme exact, un autre nombre approché a', Verreur commise est la différence entre a et a' ; elle est a — a', ou a' — a suivant que a est plus grand ou plus petit que a' ; dans le premier cas, elle est en moins ; dans le second, en plus. D'ordinaire, l'erreur n'est pas connue, non plus que le nombre exact; on connaît seulement un nombre auquel l'erreur doit rester inférieure, ou comme l'on dit, une limite supérieure de l'erreur : je dirai souvent « une limite », en sous-en tendant Tépithète «supérieure ».

Si, par exemple, on mesure une longueur rectiligne avec une bonne règle divisée en centimètres, on conçoit que l'extrémité de la longueur à mesurer tombera, d'ordinaire, entre deux divisions, et qu'on pourra avoir le nombre qui la mesure avec une erreur moindre que 1 si on prend le centimètre pour unité, avec une erreur moindre que 0,01 si l'on prend le mètre pour unité.

Dans beaucoup de cas, on sait en outre le sens de l'erreur, c'està-dire si elle est en plus ou en moins.

Ainsi, si l'on connaît une valeur approchée a! d'un nombre a et si l'on sait que le nombre e est une limite supérieure de l'erreur commise, on peut affirmer, dans tous les cas, que le nombre a est compris entre a' -f- c et a' — c ; si l'on sait que l'erreur est en moins, on pourra afOrmer que a est compris entre a' et a'-}-c; si l'on sait que Terreur est en plus, on pourra affirmer que a est compris entre a' et a' — c.

Dans ces conditions, nous dirons que a' est une valeur approchée de a, avec une erreur moindre que e, par défaut ou par excès, suivant que l'erreur est en moins ou en plus : on dit souvent dans le même sens, une valeur approchée à moins de c, ou même, plus brièvement, à e près. J'éviterai cette dernière façon de parler ; on a donné, en effet, un sens précis à cette expression : valeur approchée à c près (par défaut ou par excès) ; ce que l'on a nommé ainsi est bien une valeur approchée avec une erreur moindre que c, mais l'inverse n'est pas vrai : ainsi 3,14 et 3,15 sont les valeurs approchées de

1. Il est à peine utile de prévenir que le mot limite est pris ici dans un sens tout dilTérent de celui qui lui a été donné au n* 238 ; dire qu'un nombre est compris entre les limites a, 6 c'est dire simplement qu'il est compris entre les deux nombres a, 6; le plus petit de ces nombres est une Imite inférieure; le plus grand, une limite supérieure.

jj^ à 0,01 près par défaut et par excès ; -=- et 3,139 sont, ainsi qu'il

est aisé de le vérifier, des valeurs approchées de —, avec une

erreur moindre que 0,01 , Tune par excès, Tautre par défaut.