Lorsqu'un nombre est donné sous forme de fraction^, et

qu'on veut le remplacer par une valeur approchée, avec n

décimales, on a à choisir entre la valeur approchée à — ;; près

par défaut et la valeur approchée à —^ près, par excès. Désignons

ces valeurs approchées par A et A -| ;;; supposons qu'on ait calculé

1. La définition qui prëcôde ost préci»e; dans la pratique, on considère souvent comme exact le dernier chiffre à droite pourvu qu'il coïncide avec le chiffre de la valeur approchée par défaut ou par excès à une unité près do l'ordre de ce dernier chiffre. Il n'y a pas de raison, en général, pour préférer la valeur approchée en moins à la valeur approchée en plus ; toutefois dans ce qui suit, c'est à la définition précise qu'il convient de se reporter. — Observons,

en passant, que l'égalité — - = 3,U15929... est incorrecte; il faut entendre que, si Ton réduit

la fraction qui figure au premier membre en fraction décimale, les premien chiflk-es sont

DËPINITIONS DIVERSES. 981

la valeur approchée de - à près, par défaut, et désignons

par a le dernier chiffre de celle valeur, on aura

par conséquent Terreur commise en prenant A pour valeur appro-

a chée est supérieure ou égale à :f7;M="i' ^'^8^^*^ ^^ pouvant avoir lieu

que si la fraction - est exactement égale à un nombre décimal de n -f 1

chiffres décimaux, ou, comme Ton dit, si en poussant la réduction

plus loin, tous les chiffres après le (n-|-iy*"« sont des zéros; c'est

ce que j'appellerai le cas exceptionnel.

i 10 Supposons maintenant qu'on prenne A -| ;^ = \ r] j— pour

valeur approchée de - ; comme on a

onvoit que Terreur est plus grande que la différence entre les deux derniers nombres qui figurent dans ces inégalités, et au plus égale à la différence entre le dernier et le premier; Terreur est donc supérieure à

;j3:^ — ; elle est au plus égale à — ^^tt ^ Tégalité ne pouvant

avoir lieu que dans le cas exceptionnel signalé plus haut.

Si a est un chiffre inférieur à 5, en prenant la valeur approchée pai

défaut, on commet une erreur inférieure à — -r, = , en prenant

au contraire la valeur approchée par excès, on commeltraît une

erreur supérieure à tt = » c'est la valeur approchée par

10"^* 2x10" défaut qui est la plus avantageuse : si a est 5 ou un chiffre plus fort, en prenant la valeur approchée par défaut, on commettrait une

erreur au moins égale à — tt = : , Tégalité ne pouvant avoir

lieu que si Ton a a = 5 et si Ton est dans le cas d'exception ; en prenant la valeur approchée par excès, on commet une erreur au

plus égale à -rr = 1 régalilé ne pourrait avoir lieu que

pans les mêmes conditions doublement exceptionnelles : ce sera

donc la valeur approchée par excès qui sera la plus approchée.

a En résumé, on peut toujours remplacer une fraction ^r par une

fraction décimale, ayant n chiffres décimaux, avec une erreur (en

moins ou en plus) inférieure ou égale à r — rr; » pour cela on réduit

- en fraction décimale avec n -}- 1 chiffres décimaux au moins ; si le

(n-(- 1)*^"** chiffre est inférieur à 5, on ne garde que les n premiers; si le (n -|- 1 )<*«»« chiffre est 5 ou un chiffre plus fort, on augmente d'une unité le n'*™* chiffre décimal, ou, comme Ton dit, on fo7'Ce le «'*"' chiffre. Cette modification ne porte en général que sur le n'*"* chiffre ; si, toutefois, il était un 9, elle se répercuterait sur le chiffre précédent, etc. L'erreur, en opérant ainsi, ne peut atteindre la limite

que dans le cas où le (n + IV*"'* chiffre est un 5 et tous les

chiffres suivants des zéros.

En outre, les raisonnements précédents fournissent des limites inférieure et supérieure de Terreur commise ainsi; expressions qui dépendent du (n + !)•*'"• chiffre.

11 est à peine utile de dire que les résultats qui précèdent subsistent quand la fraction ^r est elle-même un nombre décimal, avec plus

de n décimales; ils sont, dans ce cas, presque intuitifs et cela permet de les retenir aisément dans le cas général, en substituant

par la pensée à la fraction 7 une fraction décimale avec un nombre

indéfini de chiffres.

/exemple ; Soit

si l'on prend comme valeur approchée 3,14 Terreur sera moindre

^^® lÔÔÔ ^^' ^ foriion, que j^ ou — ; si Ton prend comme

valeur approchée 3,141 Terreur sera supérieure k et moindre

que ; si Ton prend comme valeur approchée 3,142 Terreur

sera moindre que :i^ = ^ et plus grande que i^ = ^-^^ ;

si Ton prend 3,1416 pour valeur appK)chée, Terreur sera moindre 10-9 1

261. Le nombre dont on part, pour lui substituer ainsi une valeur approchée, peut lui-même être entaché d'une erreur ; dans Tévaluation de Terreur finale, il faut naturellement tenir compte des deux erreurs commises. Dans tous les cas, on aura une limite supérieure de cette erreur finale en ajoutant les limites des deux erreurs. Si Ton sait que Tune des erreurs est en plus, et que Tautre est en moins, il est clair que Ton pourra prendre pour limite supérieure de l'erreur finale la plus grande des deux limites.

Si, par exemple on sait que r^ est une valeur approchée d'un

nombre avec une erreur moindre que — , on peut être assuré que

3,14159 est une valeur approchée de ce nombre avec une erreur

momdre que — + ou ;j^, , moindre a fortiori que [^ ^ ^^^ ; si l on

savait que — est une valeur approchée, par excès, d'un nombre,

avec une erreur moindre quer-i, Terreur commise en remplaçant

3Sb 1

jj^ par 3,141592 étant une erreur en moins, inférieure aussi à —,

on pourrait affirmer que 3,141592 est une valeur approchée du

nombre considéré, avec une erreur moindre que — .

262. Étant donné un nombre décimal a qui est une valeur approchée d'un nombre inconnu A, et connaissant une limite supérieure c de Terreur dont est entaché a, on peut se demander combien il y a dans a de chifiFres dont on puisse garantir l'exactitude (n® 259).

Le nombre A est compris entre a — c eta + c; si Ton réduit ces deux nombres en fractions décimales, les chiffres communs aux deux

I. observons que la même règle s'applique à la détermination du nombre entier qui approcbe d'an nombre décimaldonné à moins de -^ près (n* 251).

résultats, à gauche, sont évidemment exacts. Le calcul des quantités

a — c, a4-« se fait de tète, quand c est, comme d'habitude, une frac-

lion décimale simple, par exemple une expression de la forme — ;^,

a étant un nombre entier d'un seul chiffre. — Si Ton sait dans quel sens a est approché, il sera évidemment avantageux d'employer les limites a et a + c, ou a — e et a.

Supposons, par exemple, que Terreur soit inférieure à — -^\ si la

yjième décimale de a n*est ni un 0, ni un 9, les nombres a — c et a + e auront en commun n — 1 décimales, qui seront sûrement exactes; quant à la n'*"* décimale du nombre A (réduit en fraction décimale), on a le choix entre trois valeurs, le dernier chiffre décimal de a, ou bien ce dernier chiffre augmenté ou diminué de un.

L'erreur étant toujours supposée moindre que — ;;;- , on est assuré

de l'exactitude des n — 1 premiers chiffres pourvu que le n**"»* chiffre

ne soit pas un 9, si Ton sait que Terreur est en moins ; pourvu que le

yjièmc chiffre ne soit pas un 0, si Ton sait que Terreur est en plus.

Enfin, rappelons que si le nombre décimal a comporte seulement

n décimales, et si Terreur est momdre que — , le nombre a sera

sûrement Tune des valeurs approchées de A, à — ;; près, par excès,

ou par défaut. Si Ton connaît le sens de Terreur, on sera donc fixé sur les n premiers chiffres décimaux de A.

263. Lorsque Ton sait seulement d'un nombre qu'il est approché

avec une erreur moindre que — ;;, il est clair qu'il n'y a pas d'intérêt à conserver beaucoup de décimales après la n'*"*, la suppression de ces décimales ne modifiant pas notablement la limite de Terreur commise; il peut y avoir intérêt à en conserver une ou deux.

264. L'erreur, telle qu'elle a été définie est Terreur absolue.

L'erreur relative est le rapport de Terreur absolue au nombre vrai.

Ainsi, si a' est une valeur approchée du nombre a. Terreur absolue

sera a — a, ou a — a, 1 erreur relative sera , ou ; l epi-

thète « absolue » se sous-entend souvent; Tépilhète « relative » ne

se sous-entend jamais.

Il est clair que, dans une mesure, c'est la petitesse de l'erreur relative qui importe. Si Terreur relative est petite, la mesure est bonne. Dans des mesures kilométriques, une erreur de quelques décimètres est insignifiante ; dans l'évaluation d*une hauteur barométrique, une erreur d*un millimètre serait considérable.

Quand on a une limite supérieure de Terreur absolue, on obtient une limite supérieurede Terreur relative en ladivisant par un nombre qui soit certainement inférieur ou égal au nombre véritable. Par exemple, si a' est une valeur approchée de a, avec une erreur moindre que e, on pourra prendre pour limite supérieure de

e Terreur relative — ; d'ordinaire, on remplace a' — c par le nombre

que Ton déduit de a' en remplaçant tous les chiffres autres que le premier par des zéros ; souvent même on remplace le premier chiffre par Tunité (*)• Ainsi en supposant a' = 72,543 et Terreur absolue

moindre que r— - on pourra prendre pour limites de Terreur relative

^'' '''''^^''^wéîm' » mro ^"^ ««pp^^^^ «' = 0'^^354i

et Terreur absolue moindre que — , on pourra prendre pour

limite de Terreur relative le nombre

2 X 10« X 0,003 G X 10' Quand on se donne une valeur approchée a' d*un nombre a et une limite supérieure a de Terreur relative, on peut obtenir une limite supérieure de Terreur absolue en multipliant a par un nombre au moins égal à a.

Dans la pratique, lorsque a' est un nombre écrit dans le système décimal, on obtiendra facilement une telle limite en multipliant la limite a de Terreur relative par le nombre qui se déduit de a' en augmentant le premier chiffre de a' d'une unité et remplaçant les autres chiffres par des zéros; on peut même, si Ton veut, remplacer le premier chiffre par 10.

Supposons par exemple a' = 72,645 et Terreur relative inférieure

à — , Terreur absolue sera plus petite que — et a fortiori que -r— :

ou — et Ton voit, puisque Terreur absolue est moindre que t-^ et

1. Aa cai oh a' serait précisément égal à une unité d'un certain ordre, par exemple à 1000 ou à 0,1, on pourrait remplacer a' — t par 900, ou par 0,09 ; une observation analogue trouverait plntiears fois sa place dans la suite ; je ne m*y arrêterai pas.

que le troisième chifiFre décimal 5 de al n'est ni un 0 ni un 9, que les deux premiers chiffres décimaux sont certainement exacts. Soit de même a' = 0,0018937; supposons Terreur relative

inférieure ^-r r-r et le nombre a! approché par défaut; Terreur

2x10* vv V