CALCULS APPROCHÉS
leur somme sera donc comprise entre fl + A+c + rf — (t + ^) ^^ a + A + c + rf + (a + p) ; par suite a-^-b + c-^-d sera une valeur approchée de celle somme, avec une erreur moindre que la plus grande des deux sommes obtenues en faisant d'une part la somme des erreurs en moins, d autre part la somme des erreurs en plus.
266. Soustraction, — Si a, 6 sont des valeurs approchées des nombres A, B avec des erreurs moindres que a, p, le nombre a — h sera une valeur approchée de A — B avec une erreur moindre que a + p. Si a et A sont approchés dans le même sens, tous deux par défaut, ou tous deux par excès, Terreur commise en prenant a — ù pour valeur approchée de A — B est moindre que la plus grande des quantités a, p.
Je laisse au lecteur le soin de faire la démonstration.
267. Multiplication, — Soient a, b des valeurs approchées des nombres A, B avec des erreurs moindres que a, p : le produit AB sera compris entre les nombres
(a — a) (6 — p) = a* — ap — ^ + ap
et
(a + a) (6 + p) = aé + ap + 6a + ap,
qui diffèrent de ab d'une quantité égale ou inférieure au nombre
op + ia + ap = ap + (6 + p) a = 6a + (a + a) p, qui peut donc être regardé comme une limite supérieure de l'erreur que l'on commet en prenant ab pour valeur approchée de AB.
On calculera grossièrement cette limite en remplaçant respectivement a et 6 + p par des nombres plus grands qui permettent des calculs rapides, par exemple, par les nombres qui se déduisent do a et 6 en forçant le premier chiffre de gauche et remplaçant tous les autres par des zéros. — On n'oubliera pas que chaque facteur multiplie la limite de l'erreur que comporte l'autre.
11 n'y a rien à changer à cette règle lorsqu'on sait le sens des erreurs que comportent a et 6 si ces deux nombres sont approchés dans le même sens ; mais on peut l'améliorer si l'on sait que a et ^ sont approchés dans des sens contraires.
Supposons, par exemple, a approché par défaut, b par excès; A et B sont respectivement supérieurs à a, 6 — p et inférieurs à a -f «t* : leur produit est donc compris entre ab — ap, ab + ^«; dans ce cas on pourra donc prendre pour limite de l'erreur commise en substituant ab à AB le plus grand des nombres ap, ba,
268. Quand on fait le calcul avec des nombres décimaux, comme la
238 LEÇONS DARlTHAfftTKHIE.
multiplication revient toujours, au fond, à une multipficalion de nombres entiers, il est commode de proûter des remarques qui ont été faites au n^ 98 et d*où résulte immédiatement la proposition suivante.
Si les nombres A, B sont connus Tun et Fautre avec un certain nombre de chiffres (n"^ 259) au moins égal à />, si les nombres décimaux a, b sont les valeurs approchées de A, B formées avec ces chiffres, si Ton effectue le produit ab et que, tout en laissant virgule à sa place, on remplace les p derniers chiffres du produit par des zéros, les chiffres restants seront exacts, sauf peut-être le dernier et la répercussion possible sur les chiffres précédents : quant à ce dernier chiffre il peut se faire qu'il doive être augmente de une ou deux unités.
Cette remarque même montre que, en appliquant le procédé ordinaire de multiplication, on calcule beaucoup de chiffres inutiles : on évitera cet inconvénient en employant la multiplication dite abrégée.
269. Division. — Soient a, b des valeurs approchées de A, B avec des
erreurs moindres que a, p; la fraction — sera comprise, comme -r-,
entre les fractions . , ^ et t ^ : la différence entre t et - sera
donc inférieure (n® 67) à la plus grande des différences a a — a a-f- « « .
on a d*ailleurs
a a — a __ a (6 + p) — b{à — a) __ ap -j- Aa
b ~" Hhp - ^TH=PJ ~ 676TP)
a +a a __ (a + a) b — a (^— p) ap -f 6a ô— P l— 6(6— p) "~6(6— P)^
cez deux différences sont inférieures à
ap + 6tt
On pourra donc prendre cette expression pour limite supérieure
de Terreur commise quand on substitue la fraction r^à la fraction - ;
CALCULS APPROCHÉS. Sd9
pour la calculer on remplacera a, b au numérateur par des nombres plus grands, par exemple par ceux qu'on en déduit en forçant le premier chiffre djB gauche, et en remplaçant les autres chiffres par Mes zéros; au contraire, on remplacera au dénominateur b — p par un nombre plus petit, par exemple, par le nombre qu'on déduit de b en remplaçant par des zéros tous les chiffres autres que le preaiier de gauche.
Il n'y a rien à changer à cette règle quand on connaît le sens des erreurs que comportent a, b si ces erreurs sont de sens contraire ; mais on peut l'améliorer si les erreurs sont de même sens.
Supposons, par exemple que a et 6 soient approchés par excès ;
le rapport - est compris entre — r — et 7 5 ; on a d'ailleurs
a ap ap
on pourra prendre comme limite de l'erreur commise en remplaçant - par 1 la plus grande des fractions B b
a gp
Le lecteur ne manquera pas d'observer que le cas où le diviseur b est très petit constitue une circonstance très défavorable, la limite de l'erreur pouvant alors devenir très grande.
270. Ici encore, il sera souvent commode, lorsqu'on fait les calculs avec des nombres décimaux, de se reporter aux remarques des n" 112, 113, 114. Comme la division des nombres décimaux se ramène à celle des nombres entiers, il nous suffira d'examiner le cas où les valeurs approchées que l'on considère sont entières. Supposons donc que les parties entières des nombres A, B soient a, 6, et que la seconde comporte p chiffres.
Le rapport ,- est compris entre les deux fractions — ^ — et , . ; si
Ton réduit ces fractions en fractions décimales, on obtiendra des valeurs
approchées de -|r , et ce rapport sera certainement connu avec autant de
chiffres exacts que l'on trouvera de chiffres communs en poussant la division de rt + 1 par 6, ou de a par b -f 1 aussi loin qu*on voudra. Ces divisions, si on doit les pousser jusqu'à ce qu'on obtienne un quotient de n
chiffres décimaux, reviennent aux divisions de (a + 1) X iO" par b ou de a X 10*^ par 6 -)- 1, entendues au sens de la théorie des nombres entiers. La remarque finale du n* 114 trouve donc ici son appjication, et Ton en conclut que si l'on effectue la division de a par 6-f 1, en poussant cette* opération jusqu'à ce qu'on ait obtenu p — 1 chiffres au quotient (*), pourvu toutefois que le nombre de chiffres décimaux que Ton est amené à écrire au quotient ne dépasse pas non plus p — 1, les chiffres ainsi obtenus seront exacts, sauf peut-être le dernier et la répercussion possible sur les précédents : quant au dernier chiffre, s'il n'est pas exact, il devra être augmenté de une ou deux unités.
§ 3. — Applications.
271. Venons maintenant à Tapplication de ces règles. Les calculs à faire se composant d'additions, de soustractions, de multiplications et divisions successives, on n'aura aucune peine à calculer une limite supérieure des erreurs commises sur chaque opération, et par conséquent de l'erreur finale. Si l'on fait les calculs en nombres décimaux, il ne faudra pas négliger les erreurs qui peuvent résulter de la suppression des dernières décimales, après chaque opération partielle ; il sera nécessaire de faire entrer en ligne de compte ces erreurs.
Les problèmes qui présentent le plus de difficulté sont ceux où, voulant arriver au résultat avec une erreur moindre qu'une limite donnée à l'avance (limite qui doit être évidemment supérieure à celle qui résulterait nécessairement des erreurs que comportent les données, avec quelque précision qu'on fit les calculs), on veut faire les calculs avec le moins d'effort possible, c'est-à-dire en opérant sur des nombres décimaux qui ont le moins de chiffres possible. La détermination de ce nombre de chiffres exige quelque soin. Les exemples qui suivent feront connaître suffisamment et la nature des problènies qui se posent et la façon d'opérer.
272. 1* Trouver une valeur approchée de la somme des trois nombres 31.428; 7,825 ; 14,642, les erreurs étant toutes moindres que 0,001. On fera raddilion indiquée ci-dessous :
1. Od compte ces chiffres, comme on l'a expliqué k la fin da n* 359, & partir du premier chiffre de gauche qui n'est pas un zéro.
Terreur dont peut être entachée la somme 53,895 est moindre que 0,003 ; la somme cherchée est comprise entre 53,898 et 53,892 ; 53,89 est une valeur approchée dont les chiffres sont exacts.
2^ Calculer avec une erreur moindre que rr-j la somme des fractions
On pourrait sans doute réduire ces fractions au même dénominateur, les ajouter, puis réduire le résultat en fraction décimale, en poussant les calculs jusqu'à la 4* décimale. Ces calculs seraient assez pénibles.
En calculant chacune des fractions avec 5 décimales, et faisant la somme
des valeurs approchées, Terreur qui concerne cette somme sora moindre
que rjji et a fortiori que rrrj ; ces valeurs approchées ont été écrites ci-
dessous« ainsi que leur somme,
La valeur 7,6873 est approchée par défaut, avec une erreur moindre que
— — I , c'est donc la valeur approchée de la somme des trois
fractions à 777^ près, lu*
Pour calculer, en général, la somme de plusieurs nombres, avec une
erreur moindre aue — , il sufflt, s'il y en a moins de 1 0, d'avoir des valeurs ^ 10"
approchées de ces nombres avec une erreur moindre que — J^^ .
3* Un nombre inconnu est représenté, avec une erreur moindre que
, par la somme des fractions
on demande une valeur approchée avec une erreur moindre que — .
La première fraction peut être évaluée exactement en fraction décimale ; les huit autres peuvent être calculées avec n décimales de façon que Terreur
pour chacune soit moindre que ; il suffira de prendre n assez grand
Taîcnery. *
m LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE,
pour avoir
2 X iO** 3 X lO'ï ^ lU^'
ou encore
< r ou
on satisfera à cette inégalité en prenant n = 7.
Nous calculerons donc les huit dernières fractions avec 7 décimales, en forçant, s'il y a lieu, le dernier chiffre ; les valeurs approchées des neuf fractions sont écrites ci-dessous, on a marqué d*un astérisque celles dont le dernier chiffre a été forcé, on en a fait la somme :
On observera que, pour trois des valeurs approchées, Terreur est en moins, elle est en plus pour cinq, l/erreur provenant de la substitution dans la somme des nombres décimaux aux fractions est donc moindre que
^ : l'erreur totale est moindre que
Ainsi la valeur approchée 2,7182819 du nombre cherché comporte une
erreur moindre que -rr^ < 77^5 î ^e raisonnement précédent ne permet pas 10 lU
de décider si Terreur est en plus ou en moins. Il permet toutefois d'avoir
une valeur approchée du nombre cherché avec une erreur moindre
que T^Tç, et ne comportant que six décimales : ce nombre cherché est, en
effet, compris entre les nombres 2,7182822 et 2,7182816 que Ton obtient
en ajoutant et en retranchant —^ au nombre 2,7182819; il en résulte que
2,718282 est une valeur approchée avec une erreur, en plus ou en moins,
inférieure à j^. Les cinq premières décimales sont exactes.
4* Los valeurs approchées de deux nombres sont 18,751 et 0,093i; les
erreurs correspondantes sont moindres que - — —- et — ^ ; trouver une
valeur approchée du produit.
En prenant 18,751X0,0034 pour valeur approchée de ce produit, on
commet une erreur moindre que
on a d'ailleurs
18,751 X 0,0984= 1,7513434; en prenant pour valeur approchée 1,75, on commettra, du fïiit de la suppression des chiffres décimaux qui suivent, une erreur moindre que -^ ;
Terreur totale sera donc moindre que^-f j^ ^" 2ÔÔ ' '^ «ombre 1,75
est donc approché à une demi-unité près de Tordre du dernier chiiTre décimal.
5* Deux nombres sont donnés par les valeurs approchées 3,14159265 et 2,71828182 qui comportent des erreurs en moins, inférieures l'une et
l'autre à — rj ; on demande une valeur approchée de leur produit avec une
erreur moindre que r^.
En faisant le produit des deux nombres tels quels, on aurait, d après los règles précédentes, une valeur approchée avec une erreur moindre qjie 4 -j~ 3 1 1Ô«~ "^ W ' ^^ serait aisé d*en déduire une valeur approchée avec une
erreur moindre que jTTj; mais les calculs faits ainsi seraient pénibles et on
peut procéder plus rapidement.
Désignons par a et 6 les valeurs approchées dont on se servira pour calculer les valeurs approchées du produit, et par a, p les limites des erreurs qu'elles comportent; on cherchera à satisfaire à l'inégalité
On y parviendra en satisfaisant aux inégalités
comme a et 6 -{- p sont respectivement inférieurs à 4 et à 3, il suffira de supposer
*^ ^ 2 X lu*»' *^* ^ Fx^hP'
244 LEÇONS D'ARITHMÉTIOUE.
et par conséquent * et p inférieurs à jr-j. En prenant pour a et 6 les valeurs
3,1416 et 2,7183, les erreurs seront inférieures à ; le produit est égal
à 8,53981128 et Terreur qu'il comporte est certainement inférieure à -— ,
on voit même qu*elle est inférieure à ^^ ^ = ^. En remplaçant
8,53981128 par 8,540 Terreur qui résulte de ce fait est moindre que
<.> V 7 fi I
^; Terreur totale sera donc moindre que -^ -\~ ^y-^ "^ TÔ* "^ 7(F'
Celte valeur sera donc approchée avec une erreur moindre que — ri.
Nous avons profité ici des circonstances mêmes du calcul pour obtenir un résultat ne comportant que trois chiffres décimaux et affecté d'une
erreur moindre que -— . Des circonstances de celte nature peuvent ne pas
se présenter; après avoir calculé un résultat dont on est assuré qu'il est
approché avec une erreur moindre que — et qui comporte plus de trois
chiffres décimaux, si Ton supprime purement et simplement les chiffres décimaux qui suivent le troisième, on peut simplement affirmer que le
résultat est approché avec une erreur moindre que j-^. Ou pourrait
demander de diriger les calculs de façon à obtenir avec sécurité un produit tel que, en y gardant trois chiffres décimaux. Terreur fût moindre
que -rrr^, Ou v parviendra en cherchant d'abord un produit approché pour
lequel Terreur soit moindre que .^ w tr^r ^^ appliquant ensuite la règle
du n* 260, c'est-à-dire en ne conservant que trois décimales au produit, sauf à forcer la dernière, s'il y a lieu, on en déduira une valeur approchée
qui différera de la précédente d'une quantité moindre que ^ ; en
adoptant cette valeur, on obtiendra donc une valeur approchée avec une
erreur finale moindre que -rr-j. L'observation d'ailleurs se généralise
immédiatement. Il est à peine besoin de dire que Ton peut, dans les opérations de ce genre, utiliser le procédé abrégé pour la multiplication. 6* On a les valeurs approchées de trois nombres, savoir:
on demande une valeur approchée du produit, avec deux décimales,
comportant une erreur moindre que —--r. Il faut, d'après ce qu'on a dit,
calculer d'abord une valeur approchée du produit avec une erreur moindre
On calculera une valeur approchée du produit des deux premiers facteurs, puis une valeur approchée du produit de celte valeur approchée par le troisième facteur:
Désignons par d la valeur approchée du produit des deux premiers facteurs dont on se servira, par « la limite de Terreur qu'elle comporte, par c la valeur approchée du 3'*">« facteur dont on se servira, par -f la limite de Terreur qu'elle comporte ; on s'arrangera pour avoir
rfY + (e + Y)«- ^
D'ailleurs le produit des deux premiers fadeurs est évidemment inférieur à 20 X 0,03 = 0,6 ; on pourra supposer d < 0,6; c + y < 3 ; il suffira de s'arranger pour que Ton ait
et c'est ce qui aura lieu si Ton a
on est disposé tout d'abord à prendre c = 2,603 ou c = 2,604 puisque
l'erreur serait moindre que rjjjrjr ; il suffira ici de prendre c = 2,60 puisque
l'erreur sera moindre que jr-r-r ou ^— : et, par conséquent, moindre que
ÂFvnTvirfi ^" 9ÏÂ* H feut ensuite s'arranger pour que fi soit moindre que
-rKKR * désignons par a, 6 les valeurs approchées des deux premiers facteurs dont on se servira; par a, p les limites des erreurs correspondantes; on s'arrangera pour avoir
mais il convient, en outre, de s'arranger pour que d n'ait pas trop de chiffres décimaux, afin d'éviter les longueurs inutiles dans le calcul du produit d X c; cherchons donc une valeur approchée du produit des deux
premiers facteurs, avec une erreur moindre que j^ ; en négligeant la
quatrième décimale et les suivantes, on pourra, en forçant au besoin la troisième, s'arranger pour que Terreur provenant de cette suppression soit
moindre que , en sorle que l'erreur totale sera moindre que
2X1000 ^ 10000 ^ 1200' il suffira de prendre, puisque a et 6 + p sont inférieurs à 20 et à 0,03,
P< 4lU>^ 90' *^
et, « fovtiorij
on prendra donc a = 17,873; b = 0,02845, le produit est 0,50848685; en supprimant les décimales qui suivent la troisième, on n'a pas à forcer celle-ci; on prendra donc d = 0,508; il restera à faire le produit de 0,508 par 2,60 ce qui donnera 1,3208; la valeur approchée du produit sera donc 1,32 avec une erreur moindre que 0,01. 7" Les valeurs « = 3,1415927 et 6 = 0,0178964 sont approchées de deux
nombres A, B, par excès, avec des erreurs moindres que ^- ; avec
Z X »o \ combien de décimales exactes peut-on avoir le quotient — ?
L'erreur commise en prenant- pour valeur approchée de ^ ^st moindre
que le plus grand des nombres
\2 X lOV
2XiO^ 2
c'est-à-dire moindre que 0,002 ; en s'arrêtant dans la réduction de r à la
troisième décimale, on commettra, de ce fait, une erreur moindre que 0,001 ; en adoptant la valeur ainsi obtenue pour le quotient, on commet une erreur moindre que 0,002 + 0,001 = 0,003. On trouve d'ailleurs, en faisant la
réduction, le nombre 175,543...; ^ est donc compri: entre 175,546 et
175,540; sa valeur approchée à 0,01 près est 175,54. 8" Les données étant les mêmes que précédemment, on demande une
valeur entière approchée de ^, avec une erreur moindre que un.
Les calculs précédents répondent sans doute à la question ; mais on peut opérer plus rapidement, en remplaçant le dénominateur 6 par un nombre ayant moins de chilTres. Il n'y a pas lieu de modifier le numérateur, carie nombre de chifl'res du dividende est sans importance pour la simplicité d'une division.
Soit 6' une valeur approchée par excès de 6, avec une erreur moindre que
p; en substituant— à -, on commet de ce fait (n? 269), une erreur
aâ moindre que -^ et par conséquent que
prenons ici 6' = 0,0179, on aura P < ttj^ , et Terreur résultant de ce fait
a A sera momdre que 0,4; Terreur résultant de la substitution de r-, à -nsera
donc moindre que 0,4 -f 0,002, moindre par suite que 5 ; si ensuite on
prend pour -p la valeur entière qui en diffère de moins de -, on aura
une valeur entière dont la différence avec - sera moindre que un. En
effectuant d'ailleurs la division de 3,1415927 par 0,0179 on trouve 175,50... La rè^le précédente conduit à prendre le résultat 1 76 ; on observera d'ailleurs, en se reportant aux raisonnements précédents, que Terreur qui consistait à prendre 175 pour valeur approchée serait moindre que 0,51 + 0,402 et par
suite, plus petite que un; 175 et 176 étaut des valeurs approchées de ^ avec
des erreurs moindres que un, la première est sûrement la partie enlière
de g.
On aurait pu, pour le même résultat, utiliser les remarques du n* 113.
273. Si Ton a une suite d'opérations à faire dans un certain ordre, si Ton veut arriver au résultat avec une erreur moindre qu'une limite donnée, en faisant les calculs au moyen de nombres décimaux, et en ne conservant que le nombre nécessaire de décimales, on opérera comme il suit.
Désignons pour un instant par A,, A,, ..., A^ les nombres que fourniront les diverses opérations à effectuer, dans Tordre où elles doivent être effectuées : A^ est le résultat final, le nombre pour lequel Terreur doit être moindre qu'une limite fixée e. L'opération dont A^ est le résultat immédiat porte sur certains nombres; pour que Ton puisse avoir le résultat avec une erreur moindre que e, il faut que les erreurs réparties sur les nombres qui fournissent A^, et qui appartiennent soit aux données, soit aux nombres précédemment calculés, soient moindres que certaines limites que les exemples précédents ont appris au lecteur à déterminer; en d'autres
termes, il faut que les nombres dont dépend Â^ comportent un certain nombre de décimales que l'on aura à déterminer. Cela fixera les limites d'erreurs avec lesquelles devront être connus certains des résultats qui précèdent Â^; en remontant ainsi de proche en proche, on déterminera l'approximation que doivent avoir les premiers nombres sur lesquels on a à opérer, et le nombre de décimales qu'il convient de conserver à chaque opération.
On a donné dans le cas du produit de trois nombres un exemple de cette façon de faire.
Il faut reconnaître que ces recherches préliminaires, pour peu que les opérations à faire soient un peu nombreuses, peuvent devenir fastidieuses et même difficiles, d'autant qu'elles exigent souvent, comme on l'a vu dans l'exemple rappelé, une première connaissance approximative, grossière il est vrai, des résultats que l'on cherche. On ne procède pas toujours aussi régulièrement; on conserve trop de décimales, au risque d'allonger quelque peu les calculs. Quoi qu'il en soit, et même quand on procède un peu au hasard, et comme à vue de pays, il est toujours essentiel, à chaque opération, de faire attention à la limite de l'erreur qu'elle comporte et qu'il est toujours facile d'évaluer, de façon à avoir une limite de l'erreur finale. On risquerait singulièrement, en procédant autrement, ou d'arriver à un résultat pour lequel un très grand nombre de chiffres n'auraient aucune valeur, ou même à un résultat entaché d'une erreur grossière, beaucoup plus grande que celle que les données comportent.
274. Pour calculer des limites des erreurs qui correspondent aux diverses opérations, on peut procéder autrement qu'on ne l'a fait, et la niai-che qui va être indiquée sera souvent plus commode, au moins pour le lecteur qui est familier avec les éléments de l'Algèbre.
Supposons qu'on se donne des valeurs approchées «, 6, c, ... des nombres A, B, C,...; on a à faire une suite d'opérations, qui devraient porter sur les nombres exacts A, B, C... ; on fait ces opérations sur les nombre* a, 6, c,..., et Ton veut avoir une limite de l'erreur commise.
Désignons par cK.,%f.., non plus les limites supérieures des erreurs, mais les erreurs elles-mêmes: Les nombres A, B, C,... seront respectivement égaux à a ± a, 6 ± p, c db f,„,; en prenant le signe 4- ou le signe — suivant que Terreur considérée est en moins ou en plus (').
1. Le lecteur, habitué au maniement des nombres positifs et négatifs, remarquera que les nombres A, B, C,... peuvent être représentés par a-\-a, 6+p, c-fy...» on convenant de regarder comme positives les erreurs on moins, comme négatives les erreurs en plus ; a, % Y,... sont alors des nombres positifs ou négatifs. Os', une convention qu'il ne manquera pas d'adopter, en raison de la grande simplification qu'elle apporte dans l'écriture et les calculs.
Oïl effectue les opérations indiquées sut les nombres a d: a, 6 ±: p, c ±: y» •.. et Ton en retranche le résultat des mêmes opérations faites sur les nombres a, 6, c,... : cette différence est l'erreur finale. L Algèbre enseigne à en transformer lexpression, de manière à se rendre compte du rôle qu'y jouent les nombres a, p, f, ... et à calculer une limite supérieure de la valeur qu'elle peut atteindre, dans les circonstances les plus défavorables, quand les nombres a, p, Y* ••' sont astreints à rester inférieurs à certaines limites données.
Une observation importante à faire est celle-ci : si toutes les erreurs sont très petites, le produit de deux erreurs, le carré d*une erreur seront des nombres très petits par rapport à ces erreurs; par exemple, si toutes les
erreurs sont inférieures à jr-^, le produit de deux erreurs sera inférieur
à rrrjj, et Ton conçoit que les termes qui contiennent un pareil produit,
s'il n'est pas multiplié par un très grand nombre, puissent être négligés, au moins dans une première évaluation de Terreur. Par rapport au produit de deux erreurs, le produit de trois erreurs sera un nombre très petit ; et, si même on conservait, dans l'évaluation de Terreur, les produits de deux erreurs, on pourrait négliger les produits de trois erreurs, etc.
275. Notons à ce propos, et sans chercher à leur donner un sens très net qu'elles ne comportent pas, les expressions usuelles « quantités du premier, du second, du troisième ordre,..., de petitesse ou de grandeur».
On fixera d'abord, d'une façon plus ou moins précise des limites /, L, comprenant entre ellesTunité, et que Ton pourra prendre inverses Tune de Tautre ; elles dépendront d'ailleurs du genre de questions que Ton traite, des nombres que Ton y rencontre habituellement. Elles seront, par exemple, 0,1 et 10. Les nombres compris entre ces limites serout regardés comme n'étant ni grands ni petits. Deux nombres seront dits du même ordre^ ou d'une façon plus vague, comparables entre eux, quand leur rapport tombera entre / et L. On choisira ensuite un nombre t, petit par rapport à la limite inférieure /, qui sera le type des quantités du premier ordre de petitesse : ce sera, par exemple, 0,001 ; les nombres comparables à t seront dits du premier ordre; les nombres comparables à •', •',... seront dits du second, du troisième ordre, ... . Les nombres du premier ordre et tous ceux qui sont plus petits que c seront dits au moins du premier ordre, les nombres du second ordre et ceux qui sont plus petits que •« sont dits au moins du second ordre, etc... D'ordinaire une somme ou une différence de nombres qui sont au moins du premier ordre, est elle-même une quantité petite an moins du premier ordre, pourvu que les nombres à ajouter ne soient pas trop nombreux. De même, pour la somme ou la différence de nombres du second ordre de petitesse, etc.. Le produit de deux, de trois, ... nombres du premier ordre est, en général, un nombre du second, du troisième ordre, ... Il conviendra de regarder les nombres comparables à
-, --,, ... comme étant grands du premier, du second ordre, ... de grandeur.
2S0 LEÇONS D'AItlTHMÉTIQUE.
276. Quand on veut évaluer approximativement une quantité du premier ordre de petitesse, on néglige habituellement les quantités du second ordre : on ne fait pas autre chose, en supposant que les erreurs soient au moins du premier ordre, lorsqu'on néglige le produit de deux erreurs, même s'il est multiplié par un nombre qui ne soit pas grand. On conçoit qu'on puisse ainsi simplifier beaucoup l'expression de Terreur qui résulte d'une suite d'opérations. En particulier, quand une erreur se trouve multipliée ou divisée par un nombre, on peut substituer à ce nombre une valeur qui n'en diffère que d'une quantité comparable à Terreur : on a par exemple, en supposant que « et P soient deux quantités petites du premier ordre, et que le nombre a ue soit pas petit,
si donc en remplace — ; par -, on commettra une erreur —, — ; — r»
qui sera, en général, du second ordre.
L'application de ces principes généraux sera aisée pour le lecteur familier avec le calcul algébrique; l'emploi des nombres négatifs, en lui permettant de regarder les erreurs en moins comme positives, les erreurs en plus comme négatives (ou inversement), lui évitera la distinction très fastidieuse de cas qui peuvent être très nombreux. Je me bornerai à une application des remarques précédentes, elle se rapporte à l'évaluation des erreurs relatives dans le cas d'un produit ou d'un quotient, et fournit une règle simple, qui, toutefois, doit élre appliquée avec précaution.
277. Soient a, 6, deux valeurs approchées par défaut; soient a -{- *,
6 + P les valeurs exactes correspondantes. Si Ton prend ab pour valeur
approchée du produit (a -j- *) (6 -f- P)> on commet une erreur qui, en
négligeant les quantités du second ordre, seraap-f 6a; pour avoir
Terreur relative commise ainsi au produit, on doit diviser Terreur
absolue par le produit exact (a + *) (6 + P) ; on peut tout aussi bien
diviser par le produit approché ab, qui ne diffère du produit exact que
d'une quantité qui est du même ordre que celle qu*on veut évaluer :
« P ou obtient ainsi — h t » c'est-à-dire la somme des erreurs relatives a b
a P commises sur les facteurs; à vrai dire, cette somme est '
mais, en général, les quantités-— — , ^ ^ ne diffèrent respectivement
. , « p des quantités -» r que de quantités qui sont habituellement du second
ordre. En examinant les divers cas qui peuvent se présenter, on reconnaît que Terreur relative commise sur un produit dont les deux facteurs sont approchés est égale à la somme ou à la différence des erreurs relatives commises sur les facteurs, suivant que les erreurs sont de même sens ou
de sens contraire. De même, en prenant j- pour la valeur d'un rapport
dont les deux termes ne sont connus qu'approximativement, on commet une erreur relative qui peut, en général, être regardée comme la difTérence on la somme des erreurs relatives commises sur les deux termes, suivant que ces erreurs sont de même sens ou de sens contraire. En général, pour peu qu^on force ces limites, on peut regarder la somme des limites supérieures des erreurs relatives des deux facteurs du produit, ou des deux termes du rapport, comme une limite supérieure de Terreur relative commise sur le produit ou le rapport.
La proposition qui concerne le produit de deux facteurs, si elle était rigoureusement vraie, s'étendrait sans aucune difficulté au cas de trois, quatre, ... facteurs. On peut énoncer, au moins comme donnant des indications utiles, la proposition suivante :
Quand les facteurs d'un produit sont des nombres approchés, la somme des limites supérieures des erreurs relatives des facteurs est une limite supérieure de terreur relative du produit.
Connaissant une limite de Terreur relative, on est en mesure (n* 264) d'avoir une limite de Terreur absolue, et par suite de reconnaître les chiffres exacts du résultat.
Exercices.
213. En admettant que la durée de Tannée tropique soit égale à 365,242917, quand ruoité de temps est le jour (solaire moyen), on demande quelles erreurs on commet quand on prend pour valeur approchée de cette durée les nombres
365 4--— 4;' 365 + ;^» 365 + 7-4-» 365 4-r-fA*
4 400 Si 4 128 5 ' 21
La première valeur approchée est la base du calendrier grégorien, qui consiste à compter Tannée ordinaire de 365 jours, à ajouter un jour tous les 4 ans, sauf 3 fois tous les 400 ans. La seconde est la base du calendrier persan qui consiste à ajouter un jour tous les 4 ans pendant une période de 28 ans, puis un jour au bout de 5 ans, soit en tout 8 jours tous les 33 ans. Formuler des règles analogues pour les autres valeurs approchées.
