SURFACES
§ 3. — Syslème métrique : surfaces, volumes.
336. La définilioD précise du nombre qui mesure une surface donnée, quand on a choisi l^unité de surface, n'est pas sans difficultés, même quand cette surface est plane. Cette définition et les moyens de trouver ce nombre sont du ressort de la Géométrie : je ne peux en donner ici qu'un idée très incomplète.
Je ferai d'abord les observations suivantes :
Si on se donne une longueur quelconque AB, on peut construire un carré ABCD dont le côté soit égal à AB; et si l'on considère un plan, on peut imaginer qu'il soit décomposé en carrés égaux à ABCD; le carrelage d'un plancher, un morceau de papier quadrillé, fournissent des exemples familiers au lecteur de la figure ainsi formée. Si Ton considère une portion du plan qui soit ainsi entièrement remplie par des carrés égaux à ABCD, et qui contienne un nombre entier n de ces carrés, on dira que cette surface est égale à n fois le carré ABCD, ou
qu'elle est mesu- g , iR
rée par le nombre entier n quand on prend ce carré pour unité de surface.
Tel sera le cas d'un rectangle PQRS dont les
deux côtés PQ, PS contiendraient chacun la longueur AB un nombre exact de fois; supposons que le côté PQ contienne, par exemple, 3 fois cette longueur, et que le côté PS la contienne 5 fois; il est clair, sur la figure, que le rectangle PQRS contient 3 fois 5 carrés égaux à ABCD : si on prenait le carré ABCD pour unité de surface, le rectangle PQRS serait mesuré par le nombre 5x3 ou 15. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Si Ton choisit une certaine unité de longueur et si l'on prend pour unité de surface le carré construit sur l'unité de longueur, la surface d'un rectangle dont la base et la hauteur sont mesurées par des nombres entiers est mesurée par le produit de ces nombres. En particulier un carré dont le côté contiendrait exactement n fois Tunité de longueur, sera mesuré par le nombre «xn=w*, ou, comme l'on dit, par le carré du nombre qui mesure son côté.
337. Considérons par exemple le mètre carré, c'est-à-dire le carré
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dont le côté est un mètre; si Ton prenait le décimètre pour unité de longueur, le côté du mètre carré serait mesuré par le nombre 10, et par conséquent, si Ton prenait pour unité de surface le carré dont le côtfé est égal à un décimètre, carré auquel on donne le nom de décimètre carré, la surface du mètre carré serait mesurée par le nombre 10x10 ou 100; c'est-à-dire que le mètre carré contient 100 décimètres carrés, ou, si Ton veut, que le décimètre carré est la centième partie du mètre carré.
On désigne sous les noms de myriamètre carrée kilomètre carré, hectomètre carrée décamètre carré, mètre cairé, décimètre carré, centimètre catré, millimètre carré, des carrés dont les côtés sont respectivement un myriamètre, un kilomètre, un hectomètre, un décamètre, un mètre, un décimètre, un centimètre, un millimètre.
En vertu des raisonnements précédents, chacune de ces surfaces contient exactement cent fois celle qui la suit, ou est la centième partie de celle qui la précède ; ces surfaces, si Ton prend le mètre carré pour unité, sont donc mesurées respectivement par les nombres
Nous pouvons maintenant généraliser le théorème du n* 336 et établir la proposition suivante :
338. Sî ton pend pour unité de surface le carré construit sur t unité de longueur, la surface d'un rectangle quelconque, dont les côtés sont commensurahles à cette unités a pour mesure le produit des nombres qui mesurent sa base et sa hauteur.
Supposons que les nombres qui mesurent la base et la hauteur
du rectangle considéré soient deux fractions de même dénomi-
3 5 naleur, 7^ et - par exemple.
A B Soit AB Tunité de longueur; divisons-la
^' — B' en 7 parties égales; soit A'B' Tune de ces
parties. Si l'on prenait pour unité de longueur A'B' et pour unité de surface le carré construit sur A'B' comme côté, les côtés du rectangle considéré seraient mesurés par les nombres 3, 5, et sa surface par le nombre 3 X 5 ; alors le carré construit sur AB comme côté serait mesuré par le nombre 7 X 7 ; il résulte de là et du théorème établi au n® 326, que si l'on prend pour unité de surface le carré construit sur AB comme côté, la surface du rectangle considéré est mesurée par le nombre ^ = - x = ; c'est ce qu'il fallait démontrer.
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En particulier, si l'on prend pour unité de surface le carré construit sur funité de longueur, la surface Sun catTc quelconque est mesurée par le carré du nombre qui mesure son côté.
Par exemple, si Ton prend pour unité de longueur le mètre, pour unité de surface le mètre carré, les surfaces des carrés dont les côtés sont respectivement un décimètre, un centimètre, un millimètre, seront mesurées par les nombres
ce qui est bien conforme aux résultats précédemment obtenus.
339. Supposons maintenant qu'on ait à mesurer une surface plane quelconque; imaginons que le plan qui contient cette surface soit recouvert d'un quadrillage formé de carrés égaux, dont les côtés soient une fracUon connue de Tunité de longueur, la w*^'»* partie par exemple : si Ton prend toujours pour unité de surface le carré construit sur funité de longueur, ce carré contiendra n* carrés du quadrillage. On pourra compter ceux des petits carrés qui sont à Fintérieur de la surface S : supposons qu*il y en ait j[>, et qu'il y en ait q qui soient traversés par le contour de S ; la surface S' formée par les p petits carrés diffère très peu de la surface S, si n est très grand ; si Ton prenait pour unité de surface Tun des petits carrés, la surface S' serait mesurée par le nombre entier p, et la surfaceS peut être regardée comme mesurée approximativement, avec la même unité, par le même nombre; avec la véritable unité de surface, la surface S est
P donc mesurée approximativement par le nombre ■^; elle est en réalité comprise entre deux surfaces S', S" formées chacune d'un nombre exact de petits carrés, la première de p petits carrés, tous intérieurs à la surface donnée, la seconde de /? + g carrés, parmi lesquels il y en a 9 qui débordent au delà de la surface S et forment une bande étroite aux environs du contour de cette surface. La surface S doit être regardée comme mesurée par un nombre compris
entre -^ et - — -~ . On démontre que, si n est assez grande ces deux
nombres diffèrent très peu, en sorte que l'un ou l'autre peut être pris comme une mesure approchée, Tune par défaut, l'autre par excès, du nombre cherché, qui n'est ici défini que d'une manière très imparfaite. On arrive, en Géométrie, à donner à ce nombre un sens précis et, dans une suite de cas simples, à établir des règles qui permettent de le calculer, en ne mesurant que des longueurs rectilignes.
308 LEÇONS DARITIIMÉTIQUE.
340. Dans le système métrique, Tunité principale de surface est le mètre carré; les unités secondaires sont d'une part le décamètre carré, Theclomèlre carré, le kilomètre carré, d'autre part le décimètre carré, le centimètre carré, le millimètre carré, qui ont été définis au n** 337, où Ion a étudié aussi leur ordre de grandeurs relatives. Ici les multiples successifs ne sont pas de dix en dix fois, mais bien de cent en cent fois plus grands; de même les sous-multiples successifs ne sont pas de dix en dix fois, mais bien de cent en cent fois plus petits.
II en résulte que si on a écrit, dans le système décimal, la mesure d'une surface en prenant pour unité de surface le mètre carré, si Ton veut écrire le nombre qui mesure la môme surface en prenant pour unité le décamètre carré, l'hectomètre carré, le kilomètre carré, ..., on devra reculer la virgule, vers la gauche, de deux, quatre, six rangs; si l'on veut prendre, au contraire, pour unité le décimètre carré, le centimètre carré, le millfmètre carré, on devra avancer la virgule de deux rangs, de quatre rangs, de six rangs, ... vers la droite. Si les chiffres manquent pour cela, on y suppléera par des zéros.
Supposons, par exemple, qu'une surface S, en prenant pour unité le mètre carré, soit mesurée par le nombre 48567,238.
En prenant successivement pour unité le kilomètre carré, l'hectomètre carré, le décamètre carré, le mètre carré, le décimètre carré, le centimètre carré, le millimètre carré, le nombre qui mesure S s'écrira
Si l'on évalue une surface en disant successivement combien elle contient de myriamètres carrés, puis de kilomètres carrés, ..., puis de millimètres carrés, c'est-à-dire en disant successivement quelle est sa mesure à un myriamètre carré près, par défaut, puis la mesure de ce qui reste quand on a ôté les myriamètres carrés, à un kilomètre carré près par défaut, puis la mesure de ce qui reste, à un hectomètre carré près par défaut, etc., les nombres que l'on énonce successivement sont moindres que cent, sauf peut-être le premier, qui se rapporte à la plus haute unité secondaire à laquelle on ait donné un nom ; chacun de ces nombres (sauf peut-être le premier) s'exprimera au moyen de deux chiffres, dont Fun ou l'autre peut d'ailleurs être un zéro. Pour écrire la mesure de la surface, on écrira ces nombres les uns à la suite des autres, en commençant par celui qui représente les unités secondaires les plus fortes,
