SURFACES

sans omettre les zéros, en plaçant la virgule après le nombre qui correspond à runiié que Ton adopte. Ainsi, en prenant pour unité le mètre carré, la surface qui contiendrait 4 hectomètres carrés, 85 décamètres carrés, 67 mètres carrés, 23 décimètres carrés, 80 centimètres carrés sera représentée par le nombre 48567,2380.

On observera que, de cette façon, la partie décimale a toujours un nombre pair de chiffres, dont le dernier peut être un zéro.

On peut suivre la règle inverse pour énoncer un nombre écrit; on le partage en tranches de deux chiffres, à partir de la virgule, tant en remontant vers la gauche qu'en descendant vers la droite. La dernière tranche de gauche peut n'avoir qu'un chiffre, celle de droite en a nécessairement deux; au besoin on la complète par un zérj. Chaque tranche représente des unités connues, que Ton n'a aucune peine à énoncer, pourvu toutefois qu'elle corresponde à des unités dénommées, ce qui ne manquera guère d'arriver dans la pratique. On commence par la gauche. Ainsi le nombre 783,0020 s'énoncera 7 décamètres carrés, 83 mètres carrés, 20 centimètres carrés, en supposant que l'unité de surface soit le mètre carré. Le plus souvent on énonce un nombre décimal qui mesure une surface en deux fois : on énonce d'abord la partie entière en faisant suivre du nom de l'unité que représente le dernier chiffre ; puis on s'arrange, en ajoutant au besoin des zéros, pour que la partie décimale ait un nombre pair de chiffres, on Ténonce ensuite comme un nombre entier, en ajoutant décimètre carré, centimètre carré, millimètre carré, suivant qu'il y a deux, quatre ou six chiffres.

Ainsi, dans le dernier exemple, on dira : sept cent quatre-vingttrois mètres carrés, vingt centimètres carrés.

Signalons encore l'emploi des symboles my, dq^ cq^ placés à droite et en haut du chiffre des unités simples pour indiquer que l'unité de grandeur adoptée est un mètre carré, un décimètre carré, un centimètre carré; q est l'initiale du mot quadralus (carré, ou quarré dans l'ancienne orthographe).

Il n'existe pas de mesures effectives de surfaces ; celles-ci s'évaluent au moyen de calculs effectués sur des longueurs mesurées, d'après des règles qu'enseigne la Géométrie.

Ainsi la surface d'un rectangle dont la base et la hauteur seraient 1 mètre et 1 décimètre, serait mesurée, en prenant le mètre carré pour unité, par le nombre i X 0,1 = 0,1 ; elle serait égale à dix décimètres carrés.

I^ surface d'un carré dont le côté est mesuré par le nombre 1 ,2 en prenant le mètre pour unité serait mesurée par le nombre (1,2)^ = 1,44 : elle serait égale à un mèlre carré, 44 décimètres carrés.

341. Mesures agraires, — Pour la mesure des champs, Tunité principale est Tare; Tare est un décamètre carré, ou cent mètres carrés. Le seul multiple de lare que Tusage ait consacré est Thectare, qui vaut cent ares : c'est un hectomètre carré; et le seul sous-multiple qui soit resté usité est le centiare, ou centième de Tare : c*est un mètre carré.

La surface qui, en prenant pour unité le mètre carré, serait mesurée par le nombre 2873654 serait, en prenant Tare pour unité, mesurée par le nombre 28736,54 que Ton pourrait énoncer vingtliuit mille sept cent trente-six ares, cinquante-quatre centiares, ou

deux cent quatre-vingt-sept hectares, trente-six ares, cinquantequatre centiares.

342. La mesure des volumes donne lieu à des observations analogues à celles que Ton a faites pour les surfaces.

Rappelons d'abord que Ton appelle parallélépipède rectangle le volume construit comme il suit :

Considérons un rectangle ABCD que le lecteur pourra se figurer comme étant situé dans un plan horizontal; par les sommets A,B,C, D menons au plan de ABCD des perpendiculaires du même côté du plan et prenons sur elles des longueurs égales AA', BB', CC, l)D'; complétons, enjoignant A' et B', B' et C, C et D', D' et A', les rectangles ABB'A^ BCC'B', DCC'D', ADD'A'; le volume limité d'une part par ces quatre rectangles latéraux, d'autre part par les deux rectangles ABCD, A'B'C'D' sera un parallélépipède rectangle. Les six rectangles qui le limitent sont ses faves^ ils sont deux à deux égaux et situés dans des plans parallèles; les côtés de ces rectangles sont les arêtes du parallélépipède; il y en a douze; elles sont, quatre par quatre, égales et parallèles : telles sont AB, CD, A'B', CD'. Chacune des douze arêtes est égale à l'une des trois arêtes qui partent d'un mémo sommet : ces trois arêtes sont les trois dimensions du parallélépipède. L'une quelconque des faces peut être prise pour la base du parallélépipède; la hauteur correspondante est alors l'arête perpen diculaire au plan de cette face.

Quand toutes les dimensions d'un parallélépipède rectangle sont égales, ce parallélépipède prend le nom de cube ; toutes les faces

sont alors des carrés égaux ; toutes les arêtes sont égales au c6té de TuD de ces carrés. Deux cubes de même arête sont égaux.

343. On peut empiler des cubes égaux de manière que la base inférieure de chacun d'eux recouvre exactement la base supérieure du cube placé au-dessous de lui.

On a figuré ci-contre trois cubes empilés ainsi les uns sur les autres ; ils forment dans leur ensemble un parallélépipède rectangle qui peut être regardé comme ayant une base carrée ABCD et une hauteur AAj égale au Iriple du côté de cette base.

On peut placer aussi des cubes égaux de façon que leurs faces latérales coïncident.

On peut enfm supposer que Tespace tout entier soit rempli de cubes égaux, ne laissant entre eux aucun vide cl placés de façon que chaque face soit commune à deux cubes. Un tas de paves cubiques, bien rangés, donne un exemple familier de la figure formée ainsi par des cubes placés les uns à côté des autres.

Si Ton considère un volume qui puisse être ainsi formé en ajoutant des cubes égaux, on obtient immédiatement le nombre qui mesure ce volume quand on prend pour unité de volume l'un de ces cubes, c'est le nombre (entier) de cubes qu'il contient.

Tel sera, par exemple, le cas, si Ton prend pour unité de volume le cube construit sur AB comme arête, d'un parallélépipède rectangle PQRSP'Q'R'S' pour lequel chaque dimension contiendrait AB un nombre exact de fois : Supposons, par exemple, que PQ, PS, PP' contiennent AB respectivement 4 fois, 5 fois, 3 fois. La base PQRS pourra être décomposée en 4 X 5 carrés égaux au carré construit sur AB comme côté ; sur chacun de ces carrés on pourra empiler trois cubes dont l'arête soit égale à AB; on aura ainsi rempli entièrement le parallélépipède rectangle de cubes égaux, et il y en aura en tout autant de fois 3 qu'il y a de carrés dans la base; dans la base il y a 4 X 5 carrés; il y aura donc en tout 4x5x3, c'est-à-dire un nombre égal au produit des nombres entiers qui expriment combien de fois AB est contenu dans chacune des dimensions du parallélépipède : si l'on prenait AB pour unité de longueur et le cube construit sur AB comme unité de volume, les dimensions du parallélépipède seraient mesurées par les nombres 3, 4, 5 et le volume du cube, par le produit 3x4x5. D'où la conclusion suivante :

Si Von prend pour unité de volume le cube construit sur Vuniié de longueur, le volume d'un parallélépipède rectangle dont les dimensions ^ont mesurées par des nombres entiers, est mesuré lui-même par le produit de ces trois nombres entiers.

En particulier, le volume d'un cube dont Tarête est mesurée par

il ! ■7'—'' ;

cL Il ^ ^ y

un nombre entier est mesuré lui-même, dans ces conditions, par le cube de ce nombre entier.

Si, par exemple, l'arête d'un cube contient 2, 3, 4, ... fois AB, ce t ube contiendra 8, 27, 64,... fois le cube construit sur AB.

344. On appelle mètre cube, décimètre cube, centimètre cube, millimètre cube des cubes dont les arêtes sont respectivement un

mètre, un décimètre, un centimètre, un millimètre. Les mots décamètre cube, hectomètre cube, etc., qu'il faudrait prendre dans un sens analogue, ne sont guère employés.

Si Ton prenait pour' unité de longueur le décimètre et pour unité de volume le décimètre cube, les dimensions du mètre cube seraient toutes les trois mesurées par le nombre 10; le mètre cube contient donc 10x10x10= 10* = 1000 décimètres cubes; en d'autres termes, le décimètre cube est la 1000'*""' partie du mètre cube ; de même le décimètre cube contient 1000 centimètres cubes, le centimètre cube contient 1000 millimètres cubes, le mètre cube contient 1000x1000 = 1000000 centimètres cubes, il contient

1000000 x 1(K)0= iOOOOOOOOO millimètres cubes.

345. Plus généralement, si l'on prend toujours pour unité de volume le cube construit sur Vunité de longueur, le volume d'un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont commensurables à l'unité de longueur, a pour mesure le produtt des trois nombres qui mesurent ses dimensions.

Supposons que ces trois derniers nombres soient des fractions ; rien n'empêche de supposer que ces fractions aient le même déno-

3 4 5 minateur, qu'elles soient, par exemple, égales à =, -, - : si Ton prenait pour nouvelle unité de longueur le T'*""*" de cette unité, et pour nouvelle unité de volunje les cubes construits sur celte nouvelle unité de longueur, les dimensions du parallélépipède seraient mesurées par les nombres entiers 3, 4, 5, son volume par le nombre 3x4x5; l'ancienne unité de volume serait de même, avec la nouvelle, mesurée par le nombre 7 X 7 X 7 ; donc le nombre qui mesure le parallélépipède rectangle avec l'ancienne unité de volume est bien

c'est ce qu'il fallait démontrer.

En particulier, si l'on prend pour unité de volume le cube construit sur l'unité de longueur, on voit que le volume d'un cube quelconque, dont l'arête est commensurable à l'unité de longueur, est mesuré par le cube du nombre qui mesure son arête.

Si l'on prend pour unité de longueur le mètre' et pour unité de volume le mètre cube, les volumes du décimètre cube, du centi-

mètre cube, du millimètre cube seront mesurés respectivement par les nombres

ce qui est conforme aux résultais antérieurs.

346. Considérons maintenant un volume V limité par une surface quelconque S. Imaginons que Tespace soit rempli de petits cubes égaux, Taréte de chacun de ces cubes étant la n**™« partie de Tunité de longueur; en sorte que Tunité de volume, le cube construit sur Tunité de longueur, contienne n^ de ces petits cubes. Imaginons que IVn compte combien il y a de ces cubes qui remplissent Tespace, à ri n ter ieur de S ; supposons qu'il y en ai t /> ; ces p cubes pris ensemble forment un volume V plus petit que V, mais qui en diffère très peu si n est assez grand.

En désignant par ç le nombre des petits cubes de l'espace traversés par la surface S, le volume formé par ces cubes est très peu épais, et le volume V" formé par cesp + Ç petits cubes déborde un peu au delà du volume V; ce volume V doit être regardé comme mesuré par un

nombre compris entre les deux nombres — . et - — ^-^ qui mesurent

les volumes V et V"; on démontre que, si l'on prend n assez grand, ces deux nombres diffèrent très peu; ils peuvent être pris comme dos valeurs approchées de la mesure de V; par défaut et par excès.

347. L'unité principale de volume est le mètre cube, ses sousmultiples usités sont le décimètre cube, le centimètre cube, le millimètre cube, définis plus haut. Les mots décamètre cube, hectomètre cube, ... sont, comme on l'a déjà dit, peu usités.

Quand on a écrit un nombre représentant un volume en prenant le mètre cube pour unité, il suffit de multiplier ce nombre par 1000, 1000000, 1000000000, ou d'avancer la virgule de trois, six, neuf rangs vers la droite, pour écrire le nombre qui représente le même volume quand on prend pour unité le décimètre cube, le centimètre cube, le millimètre cube.

Pour évaluer un volume, on peut dire combien ce volume contient de mètres cubes, puis de décimètres cubes, puis de centimètres cubes, puis de millimètres cubes, c'est-à-dire énoncer la mesure du volume à un mètre cube près, puis la mesure de ce qui reste quand on a ôlé les mètres cubes, à un décimètre cube près, etc.. Les nombres qui représentent les décimètres cubes, les centimètres

cubes, les millimètres cubes sont moindres que mille; on les regardera comme représentés par des nombres de trois chiflFres, chiffres qui peuvent d*ailleurs être des zéros.

Pour écrire le nombre qui mesure le volume, on écrira d^abord le nombre de mètres cubes, puis le nombre de décimètres cubes, puis le nombre de centimètres cubes, puis le nombre de millimètres cubes, sans omettre les zéros, et en plaçant la virgule après le nombre qui correspond à Tunité choisie.

Ainsi, un volume comprenant 3 mètres cubes, 72 décimètres cubes, 5 centimètres cubes s'écrira 3,072005 en prenant le mètre cube pour unité, et 3072,005 en prenant le décimètre cube pour unité.

En opérant ainsi, la partie décimale a trois, six ou neuf chiffres, dont les derniers peuvent d'ailleurs être des zéros.

Pour énoncer un nombre décimal qui mesure un volume, on peut suivre une règle inverse; supposons que Tunité soit le mètre cube : on s'arrangera d'abord, par Tadjonction de zéros à droite, pour que la partie décimale contienne trois, six ou neuf chiffres, et on la séparera en tranches de trois chiffres; la première, à partir de la virgule, correspondra aux décimètres cubes, la seconde aux centimètres cubes, la troisième aux millimètres cubes. On énoncera d'abord la partie entière en faisant suivre des mots mètres cubes, puis chaque tranche en faisant suivre du nom de Tunité correspondante ; on peut aussi énoncer le nombre en deux fois : d'abord la partie entière en faisant suivre des mots mètres cubes, puis la partie décimale, en faisant suivre des mots décimètres cubes, centimètres cubes, millimètres cubes, suivant qu'elle a trois, six ou neuf chiffres.

Ainsi le nombre 21,0102, en supposant que le mètre cube soit l'unité, s'énoncera vingt et un mètres cubes, dix décimètres cubes, deux cents centimètres cubes, ou bien vingt et un mètres cubes, dix mille deux cents centimètres cubes.

Le lecteur verra sans peine comment ces règles devraient être modifiées si l'on prenait pour unité le décimètre cube, le centimètre cube, ... au lieu du mètre cube.

Notons enfin l'emploi des signes me, de, ce, mmc pour désigner l'unité adoptée,. m être cube, décimètre cube, centimètre ou millimètre cube, etc., que l'on place quelquefois à droite et en haut du chiffre des unités simples, afin de rappeler la nature de l'unité : ainsi O"',! veut dire 100 décimètres cubes; 3",02 veut dire 3 centimètres cubes, vingt millimètres cubes, etc.

Sauf pour les grains et les liquides, on ne construit pas de mesures

eflfeclives de volume. On enseigne en Géométrie, au moins dans les cas simples, des règles qui permettent d'obtenir la mesure d'ua volume en ne mesurant que des longueurs rectilignes.

348. Mesures de capacité. — Pour les liquides, grains ou matières analogues, l'unité principale est le litre : le litre est un décimètre cube. Les multiples usités du litre sont le décalitre et l'hectolitre qui valent dix et cent litres; les sous-multiples usités sont le décilitre ou un dixième de litre, et le centilitre ou un centième de litre.

349. Les mesures effectives pour les liquides sont au nombre de treize, cinq grandes et huit petites.

Les cinq grandes, construites en cuivre, tôle ou fonte, ont la forme de cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur : le calcul des dimensions résulte facilement de 1 application des règles de Géométrie. Ces mesures sont Thectolitre, le demihectolitre, le double décalitre, le décalitre, le demi-décalitre. Les huit petites, construites généralement en étain, sont des cylindres dont la profondeur est double du diamètre intérieur : ce sont le double-litre, le litre, le demi -litre, le double-décilitre, le décilitre, le demi-décilitre, le double-centilitre, le centilitre. Pour le lait et l'huile, ces huit petites mesures sont en fer^blanc; ce sont des cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur.

Pour les graines et matières sèches, les mesures effectives sont au nombre de onze, depuis l'hectolitre jusqu'au demi-décilitre. Ce sont des cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur, construits en bois, cuivre ou tôle.

§ 4. — Système métrique. Poids.

350. Le poids absolu d'un corps, considéré comme la force qui attire ce corps vers le centre de la terre ne dépend pas que de ce corps, mais bien de sa position par rapport à la terre : il n'est pas le même au pôle et à léquateur, quand on s'enfonce dans la terre ou qu'on s'élève dans l'air. Dans ces diverses positions un même corps, suspendu à un ressort suffisamment sensible, ne lui donnerait pas la môme extension. Ces variations sont d'ailleurs très faibles à la surface de la terre, ou lorsqu'on s'en écarte peu.

Au contraire, la masse d'un corps reste absolument invariable, quelle que soit la position de ce corps. C'est, au fond, les masses que l'on compare et que l'on mesure avec la balance : les masses de deux corps sont égales lorsque, placés dans les deux plateaux d'une balance juste et sensible, ces doux corps se font équilibre;