POIDS

OU lorsque placés, Tua après l'autre, dans le même plateau d'une balance sensible, ils y font équiUbre à un troisième corps. L'équilibre se maintiendra où que l'on transporte la balance. La masse de deux corps réunis est la somme des masses de ces deux corps. On arrive ainsi à la notion d'une masse double, triple, quadruple,... de la masse d'un autre corps, et inversement à celle de la n**™*^ partie d'une masse.

Dans le langage usuel, auquel on se conformera ici, on dit poids dans le sens de masse, et cette confusion, dans les choses de la vie courante, n'entraîne aucun inconvénient. Au point de vue scientifîque, il conviendrait, dans ce qui suit, de remplacer le mot poids par le mot masse, ou, si Ton veut conserver au mot poids sa signification mécanique, de supposer que tout se passe à Paris.

351. L'unité de poids est le gramme; d'après les auteurs du système métrique, c'est le poids d'un centimètre cube d'eau distillée à 4"* au-dessus de zéro. Les multiples usités sont le décagramme, l'hectogramme, le kilogramme, qui valent respectivement dix, cent ou mille grammes; les sous-multiples usités sont le décigramme, le centigramme, le milligramme, qui sont respectivement la dixième, la centième, la millième partie du gramme. Le kilogramme doit être déGni, en réalité, comme le poids, dans le vide, d'un étalon en platine, déposé le 4 messidor an VII aux Archives nationales. Le gramme est la millième partie de ce poids. 11 est bien entendu que ces dernières définitions ne diffèrent des premières que de quantités insensibles dans la pratique (*).

Un décimètre cube, un mètre cube d'eau pèsent donc respectivement un kilogramme, mille kilogrammes.

Les règles pour l'écriture ou la lecture des nombres mesurant des poids et pour le changement des unités sont toutes pareilles à celles qui ont été exposées avec détail pour les longueurs; je n'y reviendrai pas. Signalons seulement les abréviations kg, hg, g, dg, cQy ^9 pour désigner les mots kilogramme, hectogramme, gramme, décigramme, centigramme, milligramme, et que Ton place en haut et à droite du chiffre des unités simples pour rappeler la nature de l'unité choisie.

Les mesures.effectives en poids correspondent aux poids suivants, tous évalués en grammes :

I. D'après les recherches récentes, le ooids d'un cenlimètro cube d'eau à 4* serait i^0000l3.

318 LEÇONS D'AUITHMÉTIQUR

352. On fabrique des poids en fonte de 50000 grammes k 50 grammes, des poids en cuivre ou en laiton de 20000 grammes à 1 gramme; les poids en fonte ont la forme d'un tronc de pyramide à base hexagonale; ils sont munis d'un anneau; les poids en cuivre ou en laiton ont la forme d'un cylindre surmonté d'un bouton; les neuf derniers poids à partir de 0«,5 sont en cuivre, argent ou platine; ils ont la forme d'une plaque mince, rectangulaire, dont un coin est relevé pour qu'on puisse les manier plus aisément.

Une boîte de poids moyens très usitée dans le commerce et les ménages comporte un poids d'un gramme, deux poids de deux grammes, un de cinq, deux de dix, un de vingt, un de cinquante, deux de cent, un de deux cents, un de cinq cents : elle permet de peser, à un gramme près, tous les objets dont le poids est égal ou inférieur à un kilogramme. Des combinaisons de ce genre peuvent être poussées aussi loin qu'on le veut.

Les fortes pesées s'évaluent en tonnes et quintaux . La tonne métrique vaut 1000 kilogrammes, le quintal métrique vaut 100 kilogrammes.

;^ 5. — Digression sur les grandeurs proportionnelles. Densité. Titre d*un alliage.

353. Une matière est dite homogène lorsque des corps formés de cette matière ont des poids égaux s'ils ont des volumes égaux. Réciproquement, ils auront des volumes égaux s'ils ont des poids égaux (*). Remarquons que si l'on prend deux corps d'une telle matière et qu'on les réunisse en un seul, le volume et le poids du corps total seront respectivement la somme des volumes et la somme des poids des deux corps. Si Ton prend, par exemple, 2 litres d'eau et 3 litres d'eau, pesant 2 kilogrammes et 3 kilogrammes, en les réunissant, on formera 5 litres d'eau pesant 5 kilogrammes.

11 résulte des remarques qui précèdent une relation importante entre les volumes et les poids d'un corps homogène.

Comme le raisonnement qui conduit à cette relation se retrouve très souvent en mathématiques, on me permettra d'y insister (fuelquepeu.

354. Supposons d'abord que le corps que l'on considère soit de l'eau, et supposons que le gramme soit exactement le poids d'un centimètre cube d'eau, ce qui aura lieu si l'eau est à une température convenable.

I. Il est aous-entendu que les circonstances toiles que la pression, la température qui peuvent influor sur le volume des corps, sont suppost'cs constantes.

Dès lors si Ton mesure les volumes en prenant le centimètre cube pour unité, et les poids en prenant le gramme pour unité, le nombre qui mesure un certain volume d*eau est le même que le nombre qui mesure le poids de cette eau. Cela est évident si le volume est un nombre entier de centimètres cubes : à chaque centimètre cube correspond un gramme; autant de centimètres cubes, autant de grammes. Supposons que le volume soit mesuré par une frac-

tion, — par exemple; cela veut dire que ce volume s'obtient en divisant un centimètre cube en 7 parties égales et en réunissant 1 i do ces parties ; or, si on divise en 7 parties égales un centimètre cube d'eau, chacune de ces parties pèse autant que l'autre; ensemble, elles pèsent un gramme; Tune d*elles pèsera donc un septième de gramme; le poids de H de ces parties sera donc mesuré par le

nombre -=•; c'est ce qu'il fallait démontrer.

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'un autre corps homogène, de l'or (fondu) par exemple : un centimètre cube d'or pèse 19«,26. 11 est aisé de voir que le nombre qui mesure le poids d*une certaine quantité d'or, quand on prend le gramme pour unité, s'obtient en multipliant 19,26 par le nombre qui mesure le volume de cette quantité d'or, quand on prend le centimètre cube pour unité. Cela est clair si ce dernier nombre est entier : le poids de 11 centimètres cubes d*or, par exemple, sera la somme de 11 nombres égaux à 19,26 ou 19,26x11, en prenant le gramme pour unité. Supposons

que le volume s exprime par -=- : le nombre qui mesure le poids d'un

septième de centimètre cube d'or s'obtiendra en divisant

en sept parties égales; ce sera (n» 203)

et le poids de onze septièmes de centimètre cube d'or sera

1926 ., 1926 11 Xll =-7-t:7X-=-'

en prenant le gramme pour unité

320 LEÇONS D'ARITHMÉTIQLE.

Le lecteur observera que cette proposition résulte du théorème du n^' 327, en raisonnant comme il suit :

Si Ton prenait pour unité de volume le centimètre cube, et pour unité de poids le poids d'un centimètre cube d'or, les nombres qui mesureraient le volume, ou le poids, d'une certaine quantité d'or seraient les mêmes; donc, si l'on prend pour unité de poids le gramme, en conservant la même unité de volume, le nombre qui mesurera le poids d'une certaine quantité d'or s'obtiendra en multipliant le nombre qui mesure le volume de cet or par le nombre qui exprime l'ancienne unité de poids au moyen de la nouvelle, c'est-àdire par le nombre qui mesure le poids d'un centimètre cube d'or quand on prend le gramme pour unité.

On appelle densité d'un corps homogène le nombre qui mesure le poids (Tun centimètre cube de ce co^ys^ quand on p^end le gramme pour unité.

Le nombre qui mesure le poids d'un corps homogène est égal au nombre qui mesure le volume de ce corps, quand on prend le centimètre cube pour unité, multiplié par la densité de ce corps.

Inversement, en conservant les mêmes unités, on voit que le nombre qui mesure le volume s'obtient en divisant (exactement) le nombre qui mesure le poids par la densité, et que le rapport des nombres qui mesurent le volume et le poids, pour une même matière homogène, est un nombre constant égal à la densité.

On pourrait donc défmir la densité d'un corps homogène comme le rapport des nombres qui mesurent le poids et le volume d'une certaine quantité de ce corps, quand on prend le gramme pour unité de poids, le centimètre cube pour unité de volume.

355. En réfléchissant à la démonstration précédente, on voit de suite qu'on peut énoncer le précédent théorème sous une forme plus générale :

Quelles que soient les unités de poids et de volume, le nombre qui mesure le poids d'un corps homogène est égal au nombre qui mesure son volume multiplié par le nombre qui mesure le poids de la matière considérée contenue dans l'unité de volume.

Ce dernier nombre change naturellement avec les unités de volume et de poids; mais il importe de remarquer qu'il reste invariable si, au lieu du centimètre cube et du gramme, on prend pour unités de volume et de poids les mêmes multiples (ou sous-multiples) du centimètre cube et du gramme, par exemple le décimètre cube et le kilogramme, qui valent respectivement mille centimètres cubes et mille grammes : en effet, le poids d'un décimètre cube de la matière

considérée de densité d sera, si on l'évalue en grammes, mesuré par le nombre rfxlOOO; si donc on prend le kilogramme pour unité il sera mesuré (n* 326) par le nombre '

rfxiooo

Le raisonnement est général.

356. Soient Vp V,,..., V„ les nombres qui mesurent, quand on prend le centimètre cube pour unité, les volumes de corps formés d'une même matière homogène, de densité rf; soient P^, P„ ..., P» les nombres qui mesurent les poids de ces mêmes corps quand on prend le gramme pour unité; les nombres P^, P,,..., P^ sont proportionnels aux nombres V„ V„ ..., V„ puisqu'ils peuvent se déduire de ces derniers en les multipliant par un même nombre d. 11 résulte de là que le rapport de deux nombres P, F pris dans la suite Pj, P„ ..., P^ est égal au rapport des nombres correspondants V, V'pris dans la suite V„ V,, ..., Vn ; en d'autres termes, on peut écrire

On a vu, au n* 326, que chacun de ces rapports est indépendant de l'unité qui a servi à mesurer, soit les volumes, soit les poids : on d donc ce théorème : Si l'on considère deux corps formés avec une matière homogène, le rapport de leurs volumes est égal au rapport de leurs poids : c'est ce qu'on exprime en disant que les volumes sont proportionnels aux poids.

357. Je vais maintenant essayer de dégager ce qu'il y a de général dans ce qui précède. Nous venons de voir comment les poids et les volumes d'une même matière homogène étaient liés, de telle façon que la connaissance de l'une entraînait la connaissance de l'autre; mais on conçoit qu'une liaison de même nature puisse se présenter dans bien des cas, entre des grandeurs de même espèce ou d'espèce différente.

Pour citer un autre exemple familier, il est clair que le prix d'une matière dépend de la quantité de cette matière que l'on vend. Supposons, pour simplifier, que les échanges se fassent de la façon suivante : en échange d'une certaine quantité de la matière considérée qui sera, si l'on veut, du vin d'une certaine qualité, l'acheteur livre un certain poids d'un métal précieux, d'argent, si l'on veut. Nous appellerons franc un poids déterminé d'argent : ce sera l'unité de

Tanî^ery. 2 1

monnaie. Les conventions suivantes s'imposent en quelque sorte d'elles-mêmes : Pour une même quantité de vin, on livrera toujours le même poids d'argent; pour deux quantités de vin, prises ensemble, on paiera la somme des poids d'argent qui auraient servi à payer chacune d'elles. On reconnaît là des conditions toutes pareilles à celles qui ont été énoncées au n* 353; elles entraîneront des conséquences toutes pareilles (n®* 354, 355, 356) : je me contenterai de les énoncer.

Si l'unité qui sert à mesurer le vin, le litre par exemple, se payait un franc, les nombres qui mesureraient une quantité quelconque de vin et le prix de cette quantité de vin seraient égaux.

En général, le prix d'une certaine quantité de vin, en prenant le franc pour unité, s'obtient en multipliant le prix d'un litre de vin par le nombre qui mesure cette quantité de vin, quand on prend le litre pour unité.

Si on considère, d'une part, diverses quantités de vin et les nombres qui les mesurent, puis les nombres qui en mesurent les prix, les nombres de la seconde suite sont proportionnels aux nombres de la première.

Le rapport du nombre qui mesure la quantité de vin qu'on achète au nombre qui mesure le prix dont on la paie est constant : il est égal au prix d'une quantité de vin égale à l'unité, d'un litre de vin si on mesure le vin en litres.

Le rapport des prix de deux quantités de vin est égal au rapport de leurs volumes.

358. Voici encore un autre exemple dont nous aurons bientôt besoin : supposons qu'on fonde ensemble deux lingots de métaux différents, d'or et de cuivre, par exemple, et que le mélange en soit parfait : on aura ainsi un alliage.

En disant que le mélange est parfait, on entend que, si l'on prend deux quantités égales de l'alliage, deux poids égaux, pour fixer les idées, ces deux quantités contiendront toujours le même poids d'or. Il est clair aussi que, si on prend deux morceaux quelconques de l'alliage, le poids d'or contenu dans les deux morceaux réunis sera la somme du poids d'or contenu dans chacun des morceaux, de môme que le poids total des deux morceaux réunis est la somme des poids de ces deux morceaux.

On reconnaît encore ici des conditions analogues à celles du n** 353 et qui entraînent des conséquences semblables (n**» 354, 355, 356).

On appelle titre d'un alliage formé d'un métal précieux ou métal fin et d'un autre métal le nombre qui mesure le poids du métal fin

contenu dans un gramme d'alliage, quand on prend pour unité de poids le gramme. Habituellement, on donne à Talliage le nom du métal fin qui y domine.

Ainsi dire qu'un alliage d or est au titre t-> c'est dire que, si on

prend un gramme de cet alliage, il contiendra un poids d'or égal à ()«,9.

Si l'on considère un poids quelconque de l'alliage, on obtiendra le poids d'or qu'il contient, exprimé en grammes, en multipliant le titre par le nombre qui mesure le poids de l'alliage.

Cela est évident si le poids de l'alliage est un nombre entier, 11 par

exemple : chaque gramme d'alliage contenant un poids d'or mesuré

par le nombre 77-1 si le titre est 77:1 le poids d'or contenu dans

11 grammes sera 77: X 1 ^ •

Supposons maintenant que le poids d'alliage soit mesuré par une

fraction — par exemple. Si l'on divise un gramme d'alliage en 7 parties égales, chaque partie contiendra le même poids d'or : comme

les 7 parties, en tout, contiennent un poids d'or mesuré par le

nombre—, chacune en contiendra un poids mesuré par le

nombre t- =; 11 de ces parties contiendront un poids d'or mesuré

par le nombre

10X7^^^ ~"lO^ 7*

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Si l'on considère plusieurs morceaux de l'alliage dont les poids respectifs soient mesurés par les nombres

quand on prend le gramme pour unité, et que l'on désigne par

Ôp 63, ..., bn

les nombres qui mesurent les poids d'or contenus dans ces morceaux, quand on prend encore le gramme pour unité, les seconds

nombres s'obtiendront en multipliant les premiers par un même nombre, le titre : ils seront proportionnels aux premiers.

En divisant le nombre qui mesure le poids d*or contenu dans un morceau d'alliage, quand on prend le gramme pour unité, par le nombre qui mesure le poids du morceau, on obtient toujours le même nombre, le titre de Talliage.

Puisque le titre d'un alliage est le rapport du poids du métal fin et du poids d'alliage pour un même morceau, et que ce rapport ne dépend pas (n"* 326) de Tunité de poids, que Ton suppose seulement être la même pour le métal fin et l'alliage, on peut dire que le titre d'un alliage quelconque est le nombre qui mesure le poids de métal fin contenu dans l'unité de poids de l'alliage.

Enfin il résulte encore de ce qui précède que le rapport des poids de métal fin contenu dans deux morceaux d'un même alliage est égal au rapport des poids de ces deux morceaux.

359. Considérons généralement deux sortes de grandeurs(*) (A), (B) qui dépendent l'une de Tautre, qui varient ensemble, de telle sorte que l'une soit déterminée quand l'autre Test aussi ; on dit que les deux grandeurs sont proportionnelles lorsque le rapport de deux grandeurs A,, A, de la première espèce est toujours égal au rapport des deux grandeurs correspondantes B^, B^ de la seconde espèce.

Si l'on suppose que les deux grandeurs soient mesurées dans divers états. Tune avec une unité, Tautre avec une autre unité, aux états de la première grandeur correspondront des nombres

aux états de la seconde correspondront des nombres

ôj, Aj, ..., b^\

le rapport de deux nombres de la première suite sera toujours égal au rapport des nombres correspondants de la seconde suite : les deux suites de nombres seront donc proportionnelles (n* 216). Réciproquement si les suites de nombres qui mesurent les grandeurs dans leurs différents états sont proportionnelles, les grandeurs sont elles-mêmes proportionnelles, dans le sens qu'on vient de donner à ce mot. La proportionnalité des suites ne peut dépendre des unités

1. Le symbole (A) ne désigne pas ici une grandeur déterminée, mais seulement l'espèce de cette grandeur : en disant une grandeur (A), j'entends une grandeur de l'espace (A); quand je voudrai parler de grandeurs déterminées de cette espèce, j'emploierai les notations A i , A,, . . ; de même pour les grandeurs de l'espèce (B).

qu'on a choisies pour mesurer les grandeurs, car si Ton change l'une de ces unités, tous les nombres a^ a^, ..., a^, ou tous les nombres 6,, 6,, ..., 6^ sont multipliés par un même nombre (n'*327); et si les deux suites étaient proportionnelles avant la multiplication, elles le resteront après.

Tous les nombres de la seconde suite s'obtiennent en multipliant par un même nombre les termes de la première suite. Le rapport d'un nombre de la seconde suite au nombre correspondant de la première est constant : il est égal au nombre de la seconde suite qui correspondrait au nombre 1 de la première; c'est lé nombre qui mesure la grandeur de l'espèce (B) qui correspond à l'unité de grandeur de l'espèce (A).

Si l'on prend pour mesurer les deux espèces de grandeur (A) et (B) deux grandeurs correspondantes, les nombres 1 et 1 se correspondent dans les deux suites, tous les nombres d'une suite sont égaux aux nombres correspondants de l'autre; le nombre qui mesure une grandeur de l'espèce (A) est égal au nombre qui mesure la grandeur correspondante de l'espèce (B).

Il résulte des n*»* 3S3, 354, 355, 356 que les grandeurs (A), (B) sont proportionnelles si les conditions suivantes sont vériflées* : à deux grandeurs égales de l'espèce (A) correspondent des grandeurs égales de l'espèce (B); à la somme de deux grandeurs de l'espèce (A) correspond la somme des deux grandeurs correspondantes de l'espèce (B).

Inversement si les grandeurs (A), (B) sont proportionnelles, on voit de suite que les conditions précédentes sont vérifiées : les conditions sont nécessaires et suffisantes.

360. Si les deux grandeurs (A), (B) sont proportionnelles, on a par déflnition,

en désignant par A,, Aj deux grandeurs de la première espèce (A), par Bj, B, les deux grandeurs correspondantes de l'espèce (B); si le premier rapport est un nombre entier n, c'est-à-dire (n° 323) si A, est la somme de n grandeurs égales à Aj, le second rapport est égal au même nombre entier, B, est la somme de n grandeurs égales à Bp c'est ce que l'on exprime en disant :

Si deux grandeurs (A), (B) sont proportionnelles, lorsque la

t. Ces notions seront reprises sous une forme plus abstraite au chapitre ziii.

première devient n fois plus grande (ou plus petite), la seconde devient aussi n fois plus grande (ou plus petite).

Réciproquement, si deux grandeurs (A), (B) sont liées de telle façon que la première devenant n fois plus grande (ou plus petite), la seconde devienne aussi n fois plus grande (ou plus petite), et cela quel que soit n, ces deux grandeurs sont proportionnelles.

Soient, en effet, Aj, A^ deux grandeurs de Tespèce (A), B„ B. les deux grandeurs correspondantes de l'espèce (B).

Supposons, par exemple, que le rapport -p soit égal à -, c'est-à-dire

que la grandeur A, soit la somme de 4 grandeurs égales à la cinquième