partie de Aj; nous désignerons par A, la cinquième partie de Ap et
par Bs la grandeur de Tespèce (B) qui correspond à A3. Puisque la
grandeur A, est 5 fois plus grande que A,, la grandeur Bj, qui
correspond à A,, devra de même être 5 fois plus grande que B,;
puisque la grandeur A, est 4 fois plus grande que A,, la grandeur B,
doit être 4 fois plus grande que B,; B^est donc la somme de quatre
grandeurs égales à B3, dont chacune est la cinquième partie de B, :
le rapport ^ est donc, comme le rapport —, égal à;^. La proposition Bj A, o
est démontrée.
Pour en finir avec ce sujet, disons quelques mots des grandeurs inversement proportionnelles.
361. Les grandeurs que Ton a définies jusqu'à présent comme proportionnelles sont dites aussi directement proportionnelles; l'adverbe directement peut se sous-entendre ; Tadverbe inversement ne se sous-entend jamais.
Deux grandeurs (A), (B) sont dites inversement proportionnelles si elles sont liées de telle façon qu'à un état déterminé de Tune corresponde toujours un état déterminé de l'autre et si, désignant par Aj, A3 deux états de la première et par B,, B^ les deux états correspondants de la seconde, on a toujours
S'il en est ainsi et si l'on considère la grandeur (A) dans divers états A,, Aj, A3, ... et la grandeur (B) dans les états correspondants Bp Bj, Bj, ...; si l'on désigne par Oj, a„ flg, ... les nombres qui mesurent Aj, A,, A,, ..., par ôj, 6„ 63, ... les nombres qui mesurent B,, B„ Bg, ..., les deux suites
fli, «j. Oj. . .,
seront inversement proportionnelles. En eflet, on a, par exemple, ^r=-*, 5? = ^,
et Risque Ton doit avoir -i = -?, on aura aussi - =7*
Le produit de deux termes correspondants pris dans les suites
ûp «r ^31 • •»
sera toujours le même; les deux suites
^ii ^i^ ^3^ ••-
seront directement proportionnelles.
Inversement, si les grandeurs (A), (B) sont liées de telle façon que, en désignant par a^^ a,, a„ ... les nombres qui mesurent la première grandeur dans les états A,, A|, A„ ... et par b^, b^, 6,, ... les nombres qui mesurent la seconde grandeur dans les états Bj, B„ B,, . .. , qui correspondent à A„ A„ A3, ..., les deux suites
«p «ji «S' •••»
soient toujours inversement proportionnelles, les grandeurs (A), (B) seront inversement proportionnelles.
Exemples, Il y a une infinité de rectangles qui ont la même surface; chacun de ces rectangles est déterminé si Ton se donne l'une de ses dimensions,la base ou la hauteur; supposons que A,, A„ A3, ... soient les bases de quelques-uns de ces rectangles et B^ B,, B3, ... les hauteurs correspondantes; si, en prenant le mètre pour unité de longueur, les bases Aj, A,, A3, ... sont mesurées par les nombres a„ a,, 03, ... et les bauteurs Bi, B,, B,, ... par les nombres 6|, 62, 63, ..., les deux suites
sont inversement proporlionnelles ; car chacun des produits ai6,, ajô,, «363, ... représente la surface de ces rectangles en mètres carrés.
Ainsi la base d*un rectangle d'une surface donnée est inversement proportionnelle à sa hauteur.
Si l'on considère des tonneaux, de volumes différents, contenant des vins différents et tels que chaque tonneau coûte le même prix, le volume de chaqoe tonneau sera inversement proportionnel au prix du litre devin qu*il contient.
Si Ton considère des ouvriers dont chacun fasse la même besogne dans le même temps, le temps nécessaire pour faire une besogne déterminée sera inversement proportionnel au nombre d'ouvriers employés pour la faire.
SMl s'agit, par exemple, de creuser un fossé d'une certaine longueur, cette longueur devra, en effet, être égale au produit du nombre de mètres que creuse chaque ouvrier en une heure par le nombre d'heures de travail.
Si diverses escouades d'ouvriers pour lesquels chaque heure de travail est payée le même prix, ont travaillé des temps différents et ont reçu chacune la même somme totale, le nombre d'ouvriers qui composent chacune de ces escouades est inversement proportionnel au temps pendant lequel elle a travaillé.
362. Revenons au cas général et reprenons les mêmes notations.
Si on désigne par (A), (B) des grandeurs inversement proportionnelles, et par A,, A^ des états de la première, par Bp B, les états correspondants de la seconde, on aura
A, Bj
Si le premier rapport est égal à un nombre entier n, c'est-à-dire si la grandeur A, est la somme de n grandeurs égales à Aj, B, devra de même être la somme de n grandeurs égales à B,, c'est-à-dire que B,, qui correspond à Aj, sera la w'*"® partie de B^ qui correspond à A,. C'est ce qu'on exprime en disant :
Si deux grandeurs d'espèces (A), (B) sont inversement proportionnelles, lorsque Tune d'elles devient n fois plus grande, l'autre devient n fois plus petite.
Réciproquement, si deux grandeurs d'espèces (A), (B), liées entre elles de façon que Tune soit déterminée quand l'autre est déterminée, sont telles que l'une devenant n fois plus grande, l'autre devienne toujours n fois plus petite, ces deux grandeurs sont inversement proportionnelles.
En effet supposons que les grandeurs d'espèces (A), (B) vérifient cette condition : désignons par A,, A, deux grandeurs de la première espèce, par Bp B, les grandeurs correspondantes de la seconde. Supposons que Ton ait
Âj 3
c'est-à-dire que A^ soit la somme de quatre grandeurs égales à la cinquième partie de A,; désignons par A, celte cinquième partie, et par Bj la grandeur de l'espèce (B) qui correspond à A,. Par hypothèse, la grandeur A, est égale à cinq fois A,, donc B, est la cinquième partie de B,; A, est égale à quatre fois A,, donc B, est le quart de B,; en résumé, B, s'obtient en divisant en 5 parties égales la grandeur B3, qui est la somme de 4 grandeurs égales à B,; si donc on prend B, pour unité, B3 sera mesuré par le nombre 4, et B„ qui est le cinquième
de B3, par le nombre -; c'est dire que le rapport -^ est bien égal o i>i
^6. — Système métriqae; monnaies.
363. L'unité monétaire est le franc. D'après la loi du 18 germinal
an 111, le franc est constitué par 5 grammes d'argent au titre de — .
C'est-à-dire que c'est un poids de métal de 5 grammes dans lequel il
y a un poids d'argent égal à 5 X j^l = 4,5 en prenant le gramme
pour unité.
Le seul sous-multiple du franc qui soit usité est le centime ou centième partie du franc.
Cette unité est, actuellement, théorique : les pièces (Tun franc ne sont pas au titre — •
264. D'après la convention monétaire (6 novembre et 23 décembre 1865), à laquelle ont adhéré la France, la Grèce, ritalie, la
Suisse et la Belgique, des pièces d'or sont frappées au titre de — dont
les valeurs, en francs, sont inscrites au tableau suivant, dans la colonne de gauche, et les poids, en grammes, dans la colonne de droite :
so
Les mêmes Ëtats frappent des pièces d'argent dont les valeurs
et les poids sont de même inscrits ci-dessous, avec les mêmes unités :
La pièce de 5 francs (argent) est seule au titre de —, les autres
pièces d*argent sont au titre de Tjfjfjj-
Ainsi, dans une pièce d'or de 10 francs, le poids d'or pur s'obtient
comme le produit 3,2258 X rr: ; il est égal à 2^,90 à un centigramme
près. De même le poids d'argent pur contenu dans une pièce d'un
franc est 4«,175.
On frappe en outre des pièces de bronze dont les valeurs respectives sont données ci-dessous, en prenant toujours le franc pour unité :0,10; 0,05; 0,02; 0,01. Le poids d'un centime en bronze est 1 gramme.
Les poids des monnaies ne peuvent pas être réalisés exactement : ( n admet pour chaque espèce de monnaie une tolérance, les pièces pour lesquelles l'écart entre le poids réel et le poids théorique dépasse celte tolérance doivent être rejetées. La loi fixe aussi les dimensions des monnaies : on trouvera dans V Annuaire du Bureau (les longitudes, en particulier, tous les renseignements désirables à cet égard.
365. Le prix d'un certain poids d'argent monnayé (c'est-à-dire de monnaie d'argent) s'obtient très aisément au moyen des nombres précédemment donnés.
En effet ce prix (n** 357) est proportionnel au poids. Il suffit donc d'avoir le prix d'un gramme d'argent monnayé ; puisque 5 grammes
d'argent monnayé valent 1 franc, 1 gramme d'argent vaut -, en
prenant le franc pour unité, ou 0,20. Le prix d'un poids quelconque d'argent monnayé s'obtiendra en multipliant 0,20 par le poids d'argent évalué en grammes. Ainsi le prix d'un kilogramme d'argent monnayé est 200 francs.
Si l'on prenait pour unité de monnaie une pièce d'or fictive pesant le même poids qu'une pièce d'un franc en argent, on aurait, pour
évaluer ensuite en francs une somme quelconque évaluée avec cette unité fictive, à faire un changement d*unité (n« 327), c'est-à-dire à multiplier la somme, évaluée avec l'unité fictive, par le nombre qui représenterait le prix, en francs, de cette unité fictive. Ce nombre est fixé par la loi, il est égal à 15,5. D'où la règle suivante :
Pour évaluer, en francs, le prix d'un cei'iain poids d'or monnayé, on évalue le prix du même poids d'argent monnayé et Von multiplie le résultat par 16,5.
Amsi, le prix d'un kilogramme d'or monnayé est
200X15,5 = 3100, en prenant le franc pour unité.
Exemple, Quel est le prix d'une pièce d*or monnayé dont le poids est 32,25806 en prenant le gramme pour unité? Ce prix, en prenant le franc pour unité, est mesuré par le nombre
La différence entre ce nombre et le nombre 100 que donne le tableau du n* 364 est 0,000014 c'est-à-dire quatorze fois la dix-millième partie d'un centime.
366. La valeur intrimèque d'un linj^ot d'or ou d'argent est, par dêfinilion, la valeur du métnl fin que contient ce lingot, calculée en supposant que 4 gr. 50 d'argent pur valent 1 franc, et que le prix du même poids d'or pur soit 15,5. — On rappelle que 4 gr. 50 est le poids d'argent pur contenu
dans une pièce (théorique) d'un franc au titre de — •
Dans cette hypothèse, en multipliant 4,50 par le prix d'un gramme d'argent pur, on doit trouver 1 comme produit; inversement, en prenant le
frauc pour unité, le nx dun gramme d argent pur sera t-Tç: = n- ~ «»
et leprixd'ungramme d'or pur sera - X 15,5 = -^. Les deux fractions - et
-j- réduites en fractions décimales, conduisent aux deux fractions périodiques 0,222... et 3,444... . On voit que la valeur intrinsèque d'un kilogramme d'argent pur est 222 fr. 22, à un centime près, celle d'un kilogramme d'or pur est, à la même approximation 3444 fr. 44. En général, pour avoir la valeur intrinsèque d'un lingot d'argent ou d'or, on calculera le nombre qui mesure le poids de métal fin, en multipliant par le titre le poids du lingot
évalué en grammes, et Ton multipliera ce nombre par -ou -^suivant qu'il
s'agira d'argent ou d'or.
Ainsi la valeur intrinsèque de la pièce d'un franc (argent) réelle au titre 0,835 sera
la fraction rr^. réduite en fraction décimale, donne la fraction périodique
C'est, pour les monnaies étrangères, la valeur intrinsèque qui sert de base au change,
367. La valeur au taiif des matières d'or et d'argent est la valeur intrinsèque diminuée des frais de fabrication pour le monnayage.
Cette retenue, d'après la loi du 31 octobre 1879, est supposée proportionnelle au poids de métal fin contenu dans le lingot considéré : elle s'ob-
tient en multipliant ce poids, évalué en grammes, par le nombre -q^qq
pour l'or, par le nombre ^tr^ pour l'argent.
Pour avoir la valeur au tarif d'un lingot, on calculera donc la valeur intrinsèque, la retenue et l'on fera la différence. Ainsi les valeui-s au tarif du kilogramme d'or aux titres 1 et 0,900 sont respectivement, en francs, 3437 et 3093,30 ; les valeurs au tarif du kilogramme d'argent aux mêmes titres sont 220,56 et 198,50.
J'extrais ces exemples de l'excellent Traité d'Arithmétique commerciale de M. Brasilier (*), où j'ai d'ailleurs largement puisé pour les renseignements d'ordre pratique.
368. Enfin, chaque jour la cote officielle de la Bourse publie la valeur commerciale du kilogramme d'or et d'argent, telle qu'elle résulte de l'offre et de la demande. Si cette valeur est notablement supérieure à la valeur au tarif, il en résulte un danger pour l'État dont les monnaies risquent d'être accaparées par les marchands d'or et d'argent : c'est une crise monétaire. Le danger peut se produire dans l'autre sens, si la valeur commerciale est très inférieure à la valeur au tarif. Enfin, un autre danger résulte de ce que le rapport entre la valeur commerciale de For et de l'argent peut différer notablement du rapport légal 15,5 : il est actuellement beauconp plus grand ; c'est pour cette raison que la convention monétaire limite pour les différents États qui l'ont adoptée la quantité de monnaie d'argent qui peut être frappée. C'est la même raison qui fait rechercher les payements en or.
Par exemple, le 21 mai 1893, la cote officielle de la Bourse donnait les nombres suivants :
Or en barre, à 1000/1000, le kil. 3437 francs. 1 à 2 Voo prime. Argent en barre à 1000/1000, le kil. 218,89. 365 à 378 7oo perte.
