OPÉRATIONS FONDAMENTALES

§ 1. — Addition.

48. Aux nos 10, 11, 12, 13, 14, on a défini l'addition, ou plutôt, on a expliqué, au moyen d'une représentation concrète, en quoi consistait l'opération et quelles en étaient les propriétés principales.

L'addition est liée si élroitement à l'idée de nombre, de collection, qu'il est naturel en en parlant, de se reporter à l'origine concrète de cette idée. Toutefois, il importe de dégager nettement les propriétés essentielles de

l'opération.

Nous admettons qu'on sache ce que c'est qu'ajouter 6 à a, nous représentons le résultat par a + 6 et nous admettons que l'on a (*) :

Ayant défini a + b, on défînit a + 6 + c comme la somme obtenue en ajoutant c à a + 6 ; on pourrait écrire d'une façon plus explicite [a + b) + c ; nous admettons que l'on a

c'est-à-dire que l'on obtient le même résultat (*) en ajoutant c à a + 6, ou b+c k a. Du cas de trois nombres on s'élève successivement à celui de quatre, cinq, ..., nombres.

Enfin, par définition, on a

1. On énonce cette propriété en disant que l'addition est une opération e<mmutative, S. On énonce cette propriété en disant que l'addition est une opération atsociative.

et, à cause de cette définition, les propriétés précédentes subsistent quand J'un quelconque des nombres a, 6, c est nul.

En répétant un raisonnement que, pour suivre les habitudes, nous ne développerons qu'à propos de la multiplication (n*» 77, 78), le lecteur un peu exercé reconnaîtra sans peine que les propositions qui précèdent sufûsent à ilémorUrer' que dans une somme d'un iwmbre quelconque de paHies, on peuL mns changer la somme, inteitertir l'ordre des parties et remplacer telles parties que ron veut par leur somme effectuée. Ces dernières propositions, dans le chapitre précédent, ont été admises comme résultant de la représentation concrète de l'addition (*).

1. J'indique ci-dessous comment, en restant exclusivement au point de vue du n* 4, M. von IlelmhoUz démontre les postulats fondamentaux de Taddition, qui sont d'ailleurs les seuls postulats de l'arithmétique et do l'algèbre.

Rappelons d'abord que, à ce point de vue, les noms de nombre zéro, un, deux, trois, ... sont simplement des signes différents qui se suivent dans un ordre déterminé. De même les nombres écrits dans le système décimal 0, 1, 2, 3, ..., 9, 10, 11, ... sont simplement des signes différents écrits les uns à la suite des autres d'après la loi suivante. On écrit d*abord les chiffres 0, 1, S, ..., 9 puis on les récrit en les faisant précéder du chiffre 1, puis on les récrit en les faisant précéder du chiffre t, puis encore en les faisant précéder du chiffre 3, ..., pois enAn en les faisant précéder du chiffre 9 ; ensuite on récrit encore les chiffres 0, 1, 8, ... 9, en les faisant précéder du symbole 10, puis du symbole il , du symbole 13, ..., du symbole 99, etc

Deux nombres sont égaux s'ils sont représentés par le même symbole.

Venons maintenant à l'addition et écartons d'abord le cas où le nombre que Ton ajoute est 0. Ajouter 1 à un nombre, c'est remplacer ce nombre par celui qui le suit immédiatement dans la suite naturelle; en d'autres termes, écrire a -f 1, c'est écrire le nombre qui suit a; écrire a + 2, c^est écrire le nombre qui suit a 4- 1 ; écrire a + 3, c'est écrire le nombre qui suit a 4- 2; 6 étant un nombre quelconque, autre que séro, occupant un rang déterminé dans la suite naturelle, on s'élève ainsi do proche en proche & la notion du nombre a -\- b obtenu en ajoutant bka; par définition, ajouter 6 + 1 à a c'est ajouter 1 à a + 6; en d'autres ternies, on a par définition

0) a + (6 -h 1) = (a 4- ft) -h 1.

On déduit de là, par induction, que Ton a, quel que soit le nombre e, autre que zéro,

(2) a -f (^ + «) = (û + ft) + c.

La proposition est vraie en effet quand e est égal à 1 *, admettons qu'elle soit vraie quand e est égal au nombre n, je vais montrer qu'elle subsiste quand e est égal au nombre suivant p = a <h 1. En effet, 6 + P est égal, d'après l'égalité (1) à (6 + ») + > ; ajouter 6 + p ka, c'est donc, en vertu de la même égalité, la même chose que d'igouter 1 à a + (^ + »)« nombre égal, par hypothèse, & (a + ^) + n; on a donc

mais le nombre qui figure dans le second membre n'est autre, toujours en vertu do l'égalité (i), que le résultat obtenu en ajoutant n + 1 ou p à a + ^ ; on a donc bien

Ainsi l'égalité (2), vraie pour c = 1, est vraie, par cela même, pour e =: 1 + 1 s 2, pour e = 2 4- i = 3, pour c = 3 4- 1 =s 4, etc. ; elle est vraie quel que soit e. On va prouver de même que l'on a, quel que soit le nombre a, autre que 0,

la proposition est vraie quand a est égal à i ; admettons qu'elle soit vraie quand a est égal k n; je vais montrer qu'elle subsiste quand a est égal au nombre suivant p ==i n 4- !• En effet 1 4- p ou 1 4- (« 4- i) est, k cause de (1), égal à (I 4- «) + *» «« *^P + *» puisque, par hypothèse, 1 4* n est la même chose que n 4- 1 • De même encore, on a, quels que soient les nombres a et b, autres que 0,

l.a proposition est vraie quand 6 est égal k 1 ; admettons qu'elle soit yraie quand 6 est égal

Rappelons enfin cette proposition, qui résulte immédiatement de ce qui précède et qui d'ailleurs a déjà été énoncée au n* 14 : En ajoutant deux nombres différents à un même nombre, on obtient deux nombres différents.

49. Il me reste à expliquer comment on effectue pratiquement Taddition de plusieurs nombres; le problème est le suivant (') :

Plusieurs nombres étant écrits dans le système décimal, écrire leur somme dans ce système.

Je distinguerai plusieurs cas.

1® Supposons qu'on ait à ajouter un nombre d'un seul chiffre à un nombre terminé par un zéro.

Soit par exemple à ajouter 7 à 340; le résultat s'obtient immédiatement, c'est 347, puisque le dernier nombre (n* 42) n'est autre chose que 340 + ?•

Il suffit donc de remplacer le zéro du second nombre par le chiffre qui représente le premier.

2® Supposons maintenant que les nombres à ajouter soient tous terminés par un zéro.

Soit par exemple à ajouter 870, 9200, 350, 80, ou 87 dizaines, 920 dizaines, 35 dizaines, 8 dizaines; la somme sera (n® 20) un nombre de dizaines égal à la somme de 87, 920, 35, 8. Si l'on sait écrire la somme de ces derniers nombres, on lui fera représenter des dizaines en plaçant un zéro à sa droite.

Ainsi, pour ajouter des nombres qui sont tous terminés par un zéro, on peut supprimer ce zéro, ajouter les nombres que l'on obtient ainsi, puis placer un zéro à la droite du résultat.

à n, je vais prouver qu'elle subsiste quand h est égal au nombre suivant p = n -f 1 . En effet a -i- p est, comme on Ta déjà observé, la même chose que (a + n) -f i, on que (n + a) + i* puisque, par hypothèse, n -^ a wi la même chose que a -{- n; d'ailleurs, toujours à cause de l'égalité (1), (n + a) + 1 eat U même chose que n + (a + 1), ou que n + (1 + «)i puisqu'on vient de prouver que a + 1 est le même nombre que 1 + a ; enfin, en vertu de l'égalité (3), n + (1 + a) est égal & (n + 1) + a ou à p + a ; on a donc bien

L'égalité (1), qui sert de définition, subsiste quand le nombre a est égal à 0; on en conclut, encore par le même mode de raisonnement, que l'on a, quel que soit le nombre a, autre que 0.

en ettoK l'égalité est vraie, par définition, quand a est égal à 1, et elle s'étend sans peine à un nombre quelconque. Enfin, par une définition nouvelle, on a, quel que soit te nombre d.

et l'on voit dès lors très aisément que les propriétés (i), (î), (3) subsistent lorsque Tan ou l'autre des nombres a, é, e est nul. — Les indications qui précèdent, très intéressantes au point de vue philosophique, m'ont été fournies par M. Lamaire, professeur au lycée de Lille. 1. Je dois & M. de Pellieux, professeur au lycée Henri IV, cette façon très claire de poser le problème.

3^PlaçoDS-nous maiotenant dans le cas général et soit à ajouter les quatre nombres 3872, 607, 8749, 1621. Je vais montrer comment on peut déterminer le chififre des unités du total et ramener la recherche des autres chiffres à un problème analogue au problème proposé, mais plus simple. On peut écrire les nombres donnés 3870 + 2, 600 + 7, 8740 + 9, 1620 + 1; la somme de tous ces nombres, d'après les principes relatifs à l'addition {n? 14) peut s'obtenir en faisant d'une part la somme des nombres 2, 7, 9, 1, c'est-à-dire des unités simples des nombres proposés, puis la somme des nombres 3870, 600, 8740, 1620^ qui rentrent dans le cas que nous venons d'examiner; la somme des nombres d'un seul chiffre 2, 7, 9, 1 s'obtient sans difficulté, c'est 19 ou 10 + 9; il faudra ajouter ce nombre à la somme des nombres 3870, 600, 8740, 1620; il reviendra au même d'ajouter 9 à la somme des nombres 10, 3870, 600, 8740, 1620. Cette dernière somme sera terminée par un zéro ; pour lui ajouter 9, on remplacera ce zéro par 9; 9 est le chiffre des unités du total cherché. On a maintenant à faire la somme des nombres, tous terminés par un zéro, 10, 3870, 600, 8740, 1620. Il suffira pour cela de faire la somme des nombres 1, 387, 60, 874, 162 et de placer à sa droite ce zéro qui doit être remplacé par un 9; on écrira tout simplement cette somme à la gauche de ce chiffre 9, que je suppose déjà écrit, en sorte que le chiffre des unités, dans la somme des nombres 1, 387, 60, 874, 162, se trouvera être le chiffre des dizaines dans le total cherché. Quant à la somme des nombres 1, 387, 60, 874, 162, on déternoiînera le chiffre de ses unités exactement de la même façon ; ce chiffre sera le chiffre des dizaines du total cherché; on voit comment on pourra déterminer ainsi successivement le chiffre des unités, des dizaines, des centaines,... de ce total. Les explications qui précèdent justifient la règle suivante.

50. Règle, — Pour ajouter plusieurs nombres, on les écrit les uns au-dessous des autres de manière que les chiffres représentant des unités de même espèce soient dans une même colonne verticale ; nous appellerons ces colonnes : colonnes des unités simples, des dizaines, des centaines, des mille, etc.. Sous le dernier nombre on tire un trait horizontal, qui séparera le dernier nombre du total cherché; on ajoute ensuite successivement les nombres d'un chifire contenus dans la colonne des unités simples; si le résultat n'a qu'un chiffre, on écrit ce chiffre à la place du total, sous la colonne des unités simples; ce sera le chiffre des unités simples du total; s'il en a plusieurs, on écrit seulement le dernier chiffre de droite, qui sera encore le chiffre des unités simples du total, et l'on rettentle nombre

formé par Tensemble des autres chiffres; à ce nombre on ajoute successivement les nombres d'un chiffre contenus dans la colonne des dizaines; si le résultat n'a qu'un chiffre, on écrit ce chiffre au total, sous la colonne des dizaines, à gauche du chiffre des unités simples du total, de manière à lui faire représenter des dizaines; s'il en a plusieurs, on n'écrit à cette même place que le dernier chiffre de droite, et l'on retient le nombre formé par les autres chiffres pour lui ajouter les nombres d'un chiffre contenus dans la colonne des centaines; si le résultat n'a qu'un chiffre, on l'écrit au total, à la place des centaines; s'il en a plusieurs, on n'écrit à cette même place que le dernier chiffre de droite et l'on retient le nombre formé par les autres chiffres pour lui ajouter successivement les chiffres des mille; on continue ainsi jusqu'à l'épuisement des colonnes; quand on a fait la somme du dernier nombre retenu et des nombres d'un chiffre contenus dans la dernière colonne de gauche, on place le résultat tel quel, k la gauche des chiffres déjà écrits au total.

Pour l'exemple qui a été développé, on disposera l'opération comme ci-dessous :

et l'on dira 2 et 7 font 9, et 9 font 18, et 1 font 19 ; je pose 9 et je retiens 1; 1 et 7 font 8, et 0 font 8, et 4 font 12, et 2 font 14; je pose 4 et je retiens 1 ; 1 et 8 font 9, et 6 font 15, et 7 font 22, et 6 font 28; je pose 8 et je retiens 2; 2 et 3 font 5, et 8 font 13, et 1 font 14, que j'écris. Le résultat est 14849.

51. On voit que l'opération a été ramenée à des additions partielles, dans lesquelles on n'a jamais à ajouter à un nombre, qui peut d'ailleurs être quelconque, qu'un nombre d'un chiffre. Quant à cette dernière opération, il convient d'en acquérir l'habitude de bonne heure ; théoriquement, on pourrait l'effectuer à part, en écrivant les deux nombres à ajouter, et en appliquant la règle même qu'on vient d'exposer; on n'aurait alors à ajouter que des nombres d'un chiffre, et s'il y avait une retenue, elle ne pourrait excéder 1. Mais l'opération est assez simple pour se faire de tète, car elle ne porte habituellement que sur le dernier chiffre ou les deux derniers

chiffres du nombre qui en a plusieurs; il y a exception quand la première addition partielle donne une retenue et que les chiffres des dizaines, des centaines,..- dans le nombre de plusieurs chiffres sont des 9; auquel cas, ils sont remplacés dans le total par des 0, et le chiffre qui précède à gauche ces 9 doit être augmenté d'une unité. Par exemple, 789997 + 4 = 790001 ; 99999 + 3 = 100002, Au surplus, quand on effectue une addition, des nombres d^une pareille grandeur ne pourraient se présenter dans les additions partielles que si Ton avait beaucoup de nombres à ajouter, et il y aurait alors tout intérêt à fractionner l'opération, c'est-à-dire à n'ajouter ensemble qu'une partie des nombres, puis une autre partie, ... et à réunir toutes les sommes partielles.

Ce fractionnement de l'opération est à recommander en particulier quand les nombres à ajouter ont beaucoup de chiffres. Dans ce cas, quelques calculateurs n'additionnent jamais que deux nombres à la fois, de manière à éviter presque toutes les causes d'erreur. Au contraire, dans les calculs usuels, chez les commerçants, où d'ordinaire chaque nombre n'a que deux ou trois chiffres, les comptables s'habituent à additionner à la fois plusieurs chiffres dans une même colonne, ou encore deux nombres de deux et même de trois chiffres.

Pour ajouter de tête des nombres de deux ou de trois chiffres, il convient d'effectuer l'opération en commençant par les plus hautes unités, et en corrigeant mentalement le résultat si les chiffres suivants fournissent des retenues.

Au reste, la pratique de l'opération suggère k chacun des abréviations sur lesquelles nous n'avons pas à insister.

52. Preuve de Vaddition. — On appelle preuve d'une opération une autre opération dont le résultat permet de contrôler le résultat de la première. La vérification n'est jamais complète ; si la preuve, comme on dit, ne réussit pas, c'est qu'on s'est trompé dans l'opération, ou dans la preuve, ou dans les deux. Si la vérification réussit, il peut arriver que la première opération soit inexacte et que l'erreur commise ne soit pas mise en évidence par la preuve, ou qu'une seconde erreur commise dans la preuve compense la première.

Toutefois, le contrôle augmente beaucoup les chances d'exactitude, et il n'est guère d'opération d'arithmétique qui ne doive être contrôlée.

Un premier moyen de contrôle consiste à. recommencer l'opération. L'expérience montre qu'en faisant deux fois de suite la même opération on commet souvent deux fois de suite la même faute, au même

endroit, en raison de la tendance que nous avons à prendre des habitudes. Aussi convient-il d'avoir à sa disposition d'autres preuves. Pour Taddition, on peut recommencer l'opération en rangeant les nombres à ajouter dans un autre ordre : il est commode, pour ne pas les écrire deux fois, de faire les additions partielles de bas en haut, au lieu de les faire de haut en bas.

Exercices.

13. D*après les recensements publiés entre 1880 et 1891 la population des États qui suivent, États que l'on peut regarder comme formant l'Europe occidentale, était représentée par les nombres placés en regard de ces États :

Grande-Bretagne et Irlande 37888158

Pays-Bas 45IU15

Belgique 55Î0009

Grand-duché de Luxembourg 911088

France 38318903

Monaco 13804

En supposant ces nombres exacts, quelle serait la population de TEurope occidentale ?

14. Sur 7 nombres qui doivent être rangés par ordre de grandeur, on connaît le premier qui est 8, et Ton sait que chacun des autres s'obtient en ajoutant 2 au précédent : quels sont ces 7 nombres?

15. 10 nombres correspondent aux numéros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Celui qui correspond au numéro 0 est 12, chacun des autres s'obtient en ajoutant le numéro auquel il correspond au nombre qui correspond au numéro immédiatement inféiieur. Quels sont ces dix nombres?

16. u^ tfi, u^, ..., u^ étant des nombres inconnus, sauf le premier, et Of, Ot, ..., a des nombres connus, on sait qu'on a pour toutes les valeurs de p, à partir de 1 jusqu'à n,

démontrer que Ton a

17. Pour former une table d'addition qui donne à la simple lecture la somme de deux nombres quelconques pris dans la suite 1, 3, 3, ..., ti, on peut procéder comme il suit :

Prenant une feuille de papier quadrillé, on écrit sur une première ligne horizontale, dans les cases du papier, les nombres 3, 3, 4, ..., n + 1; puis sur une seconde ligne horizontale, dans les cases situées au-dessous des précédentes, les nombres 3, 4, 5, ..., n + 3; puis, au-dessous encore les nombres 4, 5, 6, ..., n + 3, et ainsi de suite ; la dernière ligne horizontale contiendra les nombres it + li ^ + 3, ..., n + n. On a ainsi formé une table carrée contenant n* cases : il reste à écrire les nombres qui permettent de la consulter (et qui ne doivent pas être regardés comme faisant partie de la table). Au-dessus des cases de la première ligne horizontale on placera les numéros 1, 3, 3, ..., n : ce seront les numéros des colonnes verticales de la table ; en face des cases de la première colonne verticale, à gauche, on place les numéros 1, 3, 3, ...,n; ce seront les numéros des lignes horizontales, La case qui appartient à la fois à la colonne qui porte le numéro a et à la ligne qui porte le numéro b contient la somme a + 6. La disposition qu'on vient de décrire est la disposition d'une table à double entrée.

18. Sur une feuille de papier quadrillé, on écrit, dans les cases du papier, sur une ligne horizontale les nombres 1, 2, 3, ..., n. Dans les cases au-dessous, en commençant par celle qui se trouve au-dessous du chiffre 1, on écrit les nombres 2, 3, 4, ..., n — 1, puis, au-dessous en commençant toujours dans la môme colonne verticale, les nombres 3,4,5,..., n — 3, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on soit amené à écrire dans la première colonne verticale de gauche le seul nombre n. On forme ainsi un sorte de triangle :

Démontrer que la somme de tous les nombres écrits est égale à la somme des carrés des nombres 1, 3, 3, ..., n.